立体几何专题讲义

1、立体几何专题讲义一、考点分析基本图形1棱柱一一有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面 所围成的几何体叫做棱柱。斜棱柱 棱柱棱垂直于底面直棱柱.底面是正多形，正棱柱直棱柱其他棱柱 四棱柱I底面为平行四边形I平行六面体I侧棱垂直于底面直平行六面体底面为矩形Ikb长方体底面为正方形正四棱柱侧棱与底面边长相等正方体底面侧棱底面 CHD 4O斜高侧面42.棱锥棱锥一一有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 正棱锥如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。3.球球的性

2、质：球心与截面圆心的连线垂直于截面；r =Jr2 -d2 （其中，球心到截面的距离为d、球的半径为 R、截面的半径为r）球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长方体，球与正方体等的内接与外切注：球的有关问题转化为圆的问题解决球面积、体积公式：$球=4兀只2 2球=4jiR3 （其中R为球的半径），3平行垂直基础知识网络平行与垂直关系可互相转化平行关系垂直关系1. a 丨，b . : = a/b2. a _ -,a/b= b _ ：3. a 丨，a . - = : / ：4. 工卜,a .a _ l：5. 、,. :- =.-平面几何知识平面几何知识线线平行线线垂直判定线面平行性质判定判定推论判

3、义面面面面平行线面垂直面面垂直质异面直线所成的角，线面角，二面角的求法1求异面直线所成的角 【三0 ,90 1：解题步骤：一找（作）：利用平移法找出异面直线所成的角；（1）可固定一条直线平移另一条与其相交；（2 ）可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。常用中位线平移法二证：证明所找（作）的角就是异面直线所成的角（或其补角）。常需要证明线线平行；三计算：通过解三角形，求出异面直线所成的角；2求直线与平面所成的角1-0 ,90丨：关键找“两足”：垂足与斜足解题步骤：一找： 找（作）出斜线与其在平面内的射影的夹角（注意三垂线定理的应用）；二证：证明所找（作）的角就是直线与平面所成的角（或其补角）（

4、常需证明线面垂直）；三计算：常通过解直角三角形，求出线面角。3求二面角的平面角二 0,二解题步骤：一找： 根据二面角的平面角的定义，找（作）出二面角的平面角；二证：证明所找（作）的平面角就是二面角的平面角（常用定义法，三垂线法，垂面法）；三计算：通过解三角形，求出二面角的平面角。、典型例题考点一：三视图侧（左）视图2.若某空间几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积是 3个几何体的三视图如图3所示，则这个几何体的体积为 4.若某几何体的三视图（单位:cm）如图4所示，则此几何体的体积是3正视图左视图俯视图第4题第5题5如图5是一个几何体的三视图，若它的体积是3：3，则a二6.已知某个几何体的

5、三视图如图6,根据图中标出的尺寸（单位： cm）,可得这个几何体的体积是2013822223俯视图那么这个几何体的侧面积为主视图左观图何体的主视图和俯视图20俯视图20正视图TI20侧视图第6题第7题3 cm8.设某几何体的三视图如图cm ）如图所示，则此几何体的体积是7.若某几何体的三视图（单位10所示（单位cm），则该三棱柱所示，一个空间几侧（左2）视图2正（主）视图（尺寸的长度单位为 m，则该几何体的体积为第8题i的正方形，俯视图是一个圆图1011如图1正视第7题9 一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为都是边长为1的正方形，俯视图是一4图910. 一个三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直

6、于底面，它的三视图及其尺寸如图的表面积为.个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为13图11图12图1312. 如图12, 一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么几何体的侧面积为.13. 已知某几何体的俯视图是如图13所示的边长为2的正方形，主视图与左视图是边长为 2的正三角形，贝V其表面积是.14.如果一个几何体的三视图如图14所示（单位长度：cm）,则此几何体的表面积是 2 f厶L左视图主视图主视图15. 个棱锥的三视图如图图图1429-3-7，则该棱锥的全面积（单位：cm）正视图左视图图1516图16是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表

7、面积是图1617. 如图17, 一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为 .18. 若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如图9-3-14所示，则这个棱柱的体积为正视图图18俯视图考点二 体积、表面积、距离、角注：体积表面积异面直线所成角线面角1. 将一个边长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了 .2. 在正方体的八个顶点中，有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与此正四面体的表面积的比值为3. 设正六棱锥的底面边长为 1,侧棱长为15，那么它的体积为 .14正棱锥的高和底面边长都缩小

8、原来的一，则它的体积是原来的 25已知圆锥的母线长为 8，底面周长为6n,则它的体积是 .6平行六面体 AC1的体积为30,则四面体 AB1CD1的体积等于 7 如图7,在正方体ABCD -ABC：!中，E,F分别是A1D1 , CiDi中点，求异面直线AB1与EF所成角的角8.如图8所示，已知正四棱锥 S ABCD侧棱长为 2，底面边长为 3 , E是SA的中点，则异面直线 BE与SC所成角的大小为第7题9正方体ABCD ABC D中，异面直线CD和BC所成的角的度数是 cU9-1-310 .如图9-1-3，在长方体ABCD -AiBiCiDi中，已知AB = 3BC, BC =CCi，则异

9、面直线AA与BCi所成的角是，异面直线AB与CDl所成的角的度数是图1311如图9-1-4，在空间四边形ABCD中，AC丄BD AC= BpE,F分别是AB、CD的中点，贝U EF与AC所成角的大小为12.正方体AC1中，AB1与平面 ABC1D1所成的角为 13.如图13在正三棱柱ABC -AEG中，AB AA1 ,则直线CB1与平面AAB所成角的正弦值为 图 9-3-6A1B1C1D1中，对角线BD1与平面ABCD所成的角的正切值为图 9-3-1D1A1CB1D15.如图9-3-1 ,已知 ABC为等腰直角三角形，P为空间一点,AB的中点为M，贝U PM与平面ABC所成的角为 图7且 AC

10、 = BC = 5.2, PC _ AC ,PC_ BC , PC =5 ,16 .如图7,正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为1 , O是底面A1B1C1D1的中心，贝U O到平面AB C1D1的距离为17.一平面截一球得到直径是 6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是 .18长方体 ABCD - ABGD,的8个顶点在同一个球面上，且 AB=2, AD=. 3， AA, = 1，则顶点A、B间的球 面距离是.19已知点 代 B,C, D 在同一个球面上， AB _ 平面 BCD , BC _ CD,若 AB = 6, AC 二 2.13, AD = 8，则 B,C

11、 两点间的球面距离是 .20.在正方体 ABCD A1B1C1D1中，M为DD1的中点，0为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则 直线0P与直线AM所成的角是.21 . ABC的顶点B在平面a内，A、C在a的同一侧，AB、BC与a所成的角分别是 30。和45 ,若AB=3 ,BC= 4, AC=5，贝U AC与a所成的角为 .22 .矩形ABCD中，AB=4 , BC=3，沿AC将矩形 ABCD折成一个直二面角 B AC D ,则四面体ABCD的外接球的体积为 .23.已知点 代 B,C,D 在同一个球面上， AB _ 平面 BCD, BC _ CD ,若 AB =6, AC =2

12、. 13, AD = 8，则 B,C 两点间的球面距离是 .24 正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为2 : 3，则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为25.已知S, A, B,C是球0表面上的点，SA_平面ABC , AB _ BC , SA= AB =1 ,BC = ，则球O表面积等于 .3226. 已知正方体的八个顶点都在球面上，且球的体积为一兀，则正方体的棱长为 .327. 一个四面体的所有棱长都为 J2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 考点四平行与垂直的证明A11.正方体 ABCD-A 1B1C1D1 , AA 1=2 , E 为棱 CC1 的中点.(I)求证：BP _

13、 AE ;(n )求证：AC / 平面 B1DE ；(川)求三棱锥 A-BDE的体积.2已知正方体 ABCD -A1B1C1D1 , O是底ABCD对角线的交点求证：(1 ) CiO /面AB Di ; (2) AQ _面ABQ .3如图，PA_矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB和PC的中点（I）求证：MN /平面PAD ;（n）求证：MN _ CD ；（川）若.PDA =45 ，求证：MN _ 平面 PCD.4. 如图（1） , ABCD为非直角梯形，点 E, F分别为上下底 AB , CD上的动点，且 EF丄CD。现将梯形AEFD 沿EF折起，得到图（2）图（2）（1）若折起后形成的空

14、间图形满足DF _ BC，求证：AD _ CF ;5. 如图，在五面体 ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD/BC/FE , AB _ AD , M 为 EC 的中点，1N 为 AE 的中点，AF=AB=BC=FE= AD2(I) 证明平面 AMD _平面CDE ;(II) 证明BN /平面CDE ;6. 在四棱锥 P ABCD中侧面PCD是正三角形， 且与底面 ABCD垂直，已知菱形 ABCD中/ ADC = 60M是PA的中点，0是DC中点.(1) 求证：0M /平面PCB;(2) 求证:FAX CD;(3) 求证：平面FAB丄平面 COM.EFNCD7. 如图，在四棱锥 P ABC

15、D中，底面 ABCD是正方形，侧棱 PD丄底面ABCD , PD=DC , E是PC的中点，作EF丄PB交PB于点F.AC(1)证明PA/平面EDB ; (2)证明PB丄平面EFD8.正四棱柱ABCD-AiBiCiDi的底面边长是.3，侧棱长是3,点E, F分别在BBi,DDi 上，且 AE 丄 AiB, AF 丄AiD .(1) 求证：AiC丄面AEF;(2) 求二面角A-EF-B的大小；(3) 点Bi到面AEF的距离.考点五 异面直线所成的角，线面角，二面角B1如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为正方形,(1) 平面 PAC丄平面 PBD ;(2) 求PC与平面PBD所成的角；PD丄底面

16、 ABCD , PD=AD.求证:G2.如图所示，已知正四棱锥 S ABCD侧棱长为 2，底面边长为.3 , E是SA的中点，则异面直线 BE与SC所成角的大小为3.正六棱柱 ABCDEF AiBiCiDiEiFi底面边长为1，侧棱长为.2 ,则这个棱柱的侧面对角线 EiD与BCi所成的角是4.若正四棱锥的底面边长为2 J3cm，体积为4cm3，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是 5.如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD中，AB 一 AC,PA 一平面ABCD，且PA= AB，点E是PD的中点.(1)求证：AC PB ； ( 2)求证：PB/ 平面 AEC ;(3)若PA = AB

17、=AC，求三棱锥E ACD的体积；(4)求二面角EAC D的大小.考点六 线面、面面关系判断题1已知直线I、m平面a、 B,且I丄a, m二给出下列四个命题：(1) a / B，则 I 丄 m(2)若 I 丄 m U a / B(3 )若 a 丄 B，则 I / m(4)若 I / m,则 a 丄 B其中正确的是.2. m门是空间两条不同直线，、-是空间两条不同平面，下面有四个命题： m _ ： , n八厂=m _ n; m _ n,：八，m 二=; m _ n, ： ： , m 八二n _ :; m _ ： ,mn, ：=n i ;其中真命题的编号是 (写出所有真命题的编号)。3. I为一条直线，为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：鳥-1:為. 工，7=- : I /, I .- -.其中正确的命题有 .4. 对于平面，和共面的直线 m、n，(1)若 m _，m _ n,则 n/ 二(2)若 m/,n /,则 m/ n(3)若m ，n/，则m/ n若m、n与所成的角相等，则 m/ n其中真命题的序号是 .5. 关于直线m n与平面与-，有下列四个命题：若ma, n P且a / P，则mn ；若m丄ct, n丄P且口丄P，则m丄n ；若