《常微分方程》试题

1、常微分方程试卷1、填空题(每题3分，共15 分)1 一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线.2 二阶线性齐次微分方程的两个解y1(X), y (x)为方程的基本解组充分必要条件是5.区间.方程y-2y + y =0的基本解组是 一个不可延展解的存在在区间一定是 方程包=J1 -y2的常数解是dx、单项选择题(每题3分，共15 分)6. 方程 +y满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是(A)上半平面7. 方程9 = Jy +1 ()奇解.dx(A)有一个(B) xoy平面(C)下半平面).(D)除y轴外的全平面(B)有两个8. f(y)连续可微是保证方程 矽dx(A)必要(B)充分9

2、.二阶线性非齐次微分方程的所有解( (A )构成一个2维线性空间(C)不能构成一个线性空间210.方程=3y3过点(0, 0)有( dx(A)无数个解 (B)只有一个解(C)无(D )有无数个=f (y)解存在且唯一的)条件.(C)充分必要).(B )构成一个3维线性空间(D)构成一个无限维线性空间(D)必要非充分).(C)只有两个解(D)只有三个解9三、计算题(每题6分，共30分)求下列方程的通解或通积分:11.dydx12.13.dydx业dx=y + xy514.2)dy =02xydx 中(X2 y y = xy，+ 2y 3四、计算题(每题10分，共20 分)科、216.求方程y -

3、5y = -5x的通解.17求下列方程组的通解.dx=-x何1snr五、证明题(每题10分，共20分)dt18.设f(x)在0,中处)上连续，且lim f(x)=0，求证：方程 一*be乎f(X)dx 的一切解 y(x)，均有 lim y(x) =0 .19.在方程 y+p (x)y+q(x)y =0 中，p(x), q(x)在(虫，+处)上连续，求证：若 p(x) 恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式W(x)是(述，+K)上的严格单调函数.常微分方程试卷1答案及评分标准、填空题（每题3分，共15 分）2线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）x xe , xe开y =1、单项选择

4、题（每题3分，共15 分）6. D 7. C8. B 9. C 10. A三、计算题（每题6分，共30分）11.解当y H0，y工1时，分离变量取不定积分，得几“C（3 分）通积分为In y =CeX（6 分）12.解dy令 y = xu，则=udx+ x，代入原方程，得dx（3 分）du Tx=v1 -udx分离变量，取不定积分，得r dur dx 丄，c7= = V1 nC v1 -ux（6 分）通积分为：arcsin = In Cxx13.解方程两端同乘以dyy dx=z，则-4y-业-虫=yd +xdx dx代入上式，得1 dz（3 分）-z4 dx通解为原方程通解为y Ce-4x-x

5、+丄4（6 分）孑 MFN14.解 因为=2x = L，所以原方程是全微分方程.dy次取(X0, y。)=(0, 0)，原方程的通积分为Xy 2J02xydx J0 y dy =Cx2y -ly3 =C315.解 原方程是克莱洛方程，通解为3y =Cx +2C3四、计算题(每题10分，共20 分)16.解 对应齐次方程的特征方程为 A -5a = 0， 特征根为人1 = 0，初=5，5 x齐次方程的通解为y =C1 +C2e因为a =0是特征根。所以，设非齐次方程的特解为2y1(x)=x(Ax +Bx+C)代入原方程，比较系数确定出A，B =3_2-25（2 分）（4 分）（6 分）（6 分）（4 分）（6 分）原方程的通解为y =6 +C2e5x+ 1x33+ 1x2 +2x525（10 分）17.解先解出齐次方程的通解FLg 严 LczF叫 忖 -Sint cost令非齐次方程特解为F1忖= Ci（t） Icost（4 分）cost Sint