圆周角与圆心角的关系

1、教案示例圆周角和圆心角的关系教学目标（ 一 ） 教学知识点1掌握圆周角定理几个推论的内容2会熟练运用推论解决问题（ 二 ） 能力训练要求1培养学生观察、分析及理解问题的能力2.在学生自主探索推论的过程中，经历猜想、推理、验证等环节，获得正 确的学习方式.（ 三 ） 情感与价值观要求培养学生的探索精神和解决问题的能力教学重点圆周角定理的几个推论的应用教学难点理解几个推论的 “题设”和“结论 ”教学方法指导探索法教学过程I.创设问题情境，弓I入新课 师 请同学们回忆一下我们前几节课学习了哪些和圆有关系的角 ?它们之间 有什么关系 ? 生 学习了圆心角和圆周角、 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角

2、的一 半.即圆周角定理. 师 我们在分析、证明上述定理证明过程中，用到了些什么数学思想方法 生 分类讨论、化归、转化思想方法.师同学们请看下面这个问题:已知弦AB和CD交于O0内一点P,如下图.求证：PAPB=PCPDE.由此考虑证明以PA PC 为边的三角形与以PD PB为边的三角形相似.由于图中没有这两个三角形，所 以考虑作辅助线 AC和 BD要证PASAPDB由已知条件可得/ APC与/DPB 相等，如能再找到一对角相等.如/ A=/D或/C=/ B.便可证得所求结论.如 何寻找/ A=/D或/C=/ B.要想解决这个问题.我们需先进行下面的学习.n.讲授新课师请同学们画一个圆，以 A

3、C为端点的弧所对的圆周角有多少个?（至少 画三个）它们的大小有什么关系？你是如何得到的？生弧AC所对的圆周角有无数个，它们的大小相等，我是通过度量得到的.师大家想一想，我们能否用验证的方法得到上图中的/ ABC=/ ADC= / AEC?同学们互相交流、讨论）生由图可以看出，/ ABC / ADC和/AEC是同弧(弧AC)所对的圆周角， 根据上节课我们所学的圆周角定理可知，它们都等于圆心角/AOC勺一半，所以这几个圆周角相等.师通过刚才同学的学习，我们上面提出的问题/ A=/D或/C-/B找到答 案了吗？生找到了，它们属于同弧所对的圆周角.由于它们都等于同弧所对圆心角 的一半，这样可知/ A=

4、/D或/C=/ B.师如果我们把上面的同弧改成等弧，结论一样吗生一样，等弧所对的圆心角相等，而圆周角等于圆心角的一半，这样，我 们便可得到等弧所对的圆周角相等.师通过我们刚才的探讨，我们可以得到一个推论.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.师若将上面推论中的 学们互相议一议.同弧或等弧”改为 伺弦或等弦”，结论成立吗？请同生如图，结论不成立. 径的情况下是不相等的.因为一条弦所对的圆周角有两种可能，在弦不是 直注意：(1)同弧”指伺一个圆”.(2)等弧”指在同圆或等圆中”.(3)同弧或等弧”不能改为 伺弦或等弦”.师接下来我们看下面的问题:如图，BC是OO的直径，它所对的圆周角是锐角、

5、直角，还是钝角？你是如何判断的?（同学们互相交流，讨论）生直径BC所对的圆周角是直角，因为一条直径将圆分成了两个半圆，而 半圆所对的圆心角是/ B0C=180，所以/ BACM 90 .师反过来，在图中，如果圆周角/ BAC=90,那么它所对的弦BC经过圆心 0吗？为什么？生弦BC经过圆心0,因为圆周角/ BAC=90 .连结0B 0C所以圆心角 / BOC=180，即B0C是一条线段，也就是 BC是OO的一条直径.师通过刚才大家的交流，我们又得到了圆周角定理的又一个推论:直径所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.注意：这一推论应用非常广泛，一般地，如果题目的已知条件中有直径时，

6、往往作出直径上的圆周角 一直角：如果需要直角或证明垂直时，往往作出直径 即可解决问题.师为了进一步熟悉推论，我们看下面的例题.（出示投影片 3. 3. 2 B）例如图示，AB是OO的直径, BD与 CD的大小有什么关系？为什么？BD是O0的弦，延长BD至U C,使AC=AB师生共析由于AB是OO的直径，故连接AD.由推论直径所对的圆周角是 直角，便可得ADIBC，又因为 ABC中, AO AB所以由等腰三角形的二线合一, 可证得BD=CDF面哪位同学能叙述一下理由？生BD=CD理由是:连结ADVAB是O0的直径,/ ADB=90.即 ADIBC又 V AO AB, BD= CD师通过我们学习圆

7、周角定理及推论，大家互相交流，讨论一下，我们探索 上述问题时，用到了哪些方法？试举例说明.在这三种情况中，第 其他两种情况都可以转化为第一种情况来 可由前面学习列的圆心角类比得出圆周角生在得出本节的结论过程中，我们用到了度量与证明的方法，比如说在研 究同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；还学到了分类与转化的方法.比 如说在探索圆周角定理过程中，定理的证明应分三种情况， 一种情况是特殊情况，是证明的基础， 解决，再比如说，学习圆周角定义时， 的概念m .Pi07随堂练习1.为什么有些电影院的坐位排列 性.（横排）呈圆弧形？说一说这种设计的合理答：有些电影院的坐位排列呈圆弧形，这样设计的理由

8、是尽量保证同排的观 众视角相等.2.如下图，哪个角与/ BACH等？答:/ BDC=/ BACD3.如下图，O0的直径A吐10 cm C为O0上的一点，/ ABC= 30 求AC 的长.解：TAB为OO的直径. ACB=90.又/ ABC=30 ,ac2ab2 xi0=5(cm).4.小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形, 哪个是半圆形？为什么？根据下图，你能判断答：图 是半圆形、理由是：90。的圆周角所对的弦是直径.W.下面我们一起来看一个问题：做一做(出示投影片 3 . 3. 2 C)危险角”时，就能避免触礁.船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁，如下图， A、B

9、表示灯塔，暗礁分布在经过 A、B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险 临界点，/ ACB就是 危险角”当船与两个灯塔的夹角大于 危险角”时，就有 可能触礁；当船与两个灯塔的夹角小于07(1) 当船与两个灯塔的夹角/a大于 危险角”时，船位于哪个区域？为什么？当船与两个灯塔的夹角/ a小于 危险角”时，船位于哪个区域？为什么？分析：这是一个有实际背景的问题，由题意可知：危险角” /ACB实际上就是圆周角，船P与两个灯塔的夹角为/ a, P有可能在OO夕卜，P有可能在OO 内，当/ a/ C时，船位于暗礁区域内；当/ aV/ C时，船位于暗礁区域外， 我们可采用反证法进行论证.解：（1）当船与两个

10、灯塔的夹角/ a大于 危险角” /C时，船位于暗礁区域 内（即OO内），理由是：连结BE假设船在（O0上，则有/ a=/ C,这与/ a/C矛盾，所以船不 可能在O0上；假设船在OO夕卜，则有/ aV/AEB即/ aV/C,这与/ a/ C 矛盾，所以船不可能在OO夕卜.因此.船只能位于OO内.当船与两个灯塔的夹角/ a小于 危险角” /C时，船位于暗礁区域外（即 OO夕卜）.理由是：假设船在OO 上；假设船在OO 不可能在OO内,上，则有/ a=/ C,这与/ a/ C.这与/ a/C矛盾，所以船 因此，船只能位于O0夕卜.注意：用反证法证明命题的一般步骤：（1） 假设命题的结论不成立；（2

11、）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾（3）山矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确V.课时小结本节课我们学习了圆周角定理的 2 个推论，结合我们上节课学到的圆周角定 理，我们知道，在同圆或等圆中，根据弦及其所对的圆心角，弧，弦、弦心距之 间的关系， 实现了圆中这些量之间相等关系的转化， 而圆周角定理建立了圆心角 与圆周角之间的关系， 因此，最终实现了圆中的角 （圆心角和圆周角 ），线段（弦、 弦心距 ）、弧等量与量之间相等关系的相等相互转化，从而为研究圆的性质提供 了有力的工具和方法.课本 P108 习题 3. 5%.活动与探究1.如下图，BC为OO的直径，ADLBC于D, P是弧AC上一动点，连结 PB 分别交AD AC于点E、F.(1)当弧 PA=fi AB时，求证：AE=EB 当点P在什么位置时，AF=EF证明你的结论.过程(1)连结 AB.证 AE=EB 需证/ ABE=/ BAE(2)执果索因寻条件：要 AF=EF即要/ A=/ AEF而/ AEF/ BED而要 / A=/ BED只需/ B=/ C,从而转化为弧 PC弧 AB.结果(1)证明：延长AD交O0于点M连结AB BM BC为O0的直径，ADIBC于D.弧 AB=fi BM/ BAD=/ BMD又弧 AB=弧 AP, / ABP2 BMD / BAO/ ABP AE= BE当弧PC弧 AB