山东省枣庄市2013届高三数学4月模拟考试文(枣庄市二模)(含解析)新人教A版

1、2013 年山东省枣庄市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1（ 5 分）（2013?枣庄二模）已知集合A=0，1，2 ，B=x|x=2a ，a A ，则 AB中元素的个数为（）A 0B 1C2D 3考点 ： 交集及其运算专题 ： 计算题分析： 有题目给出的已知条件，用列举法表示出集合B，取交集运算后答案可求解答： 解：由 A=0 ， 1， 2 ，B=x|x=2a ， a A=0 ，2， 4 ，所以 AB=0， 1，2 0 ， 2， 4=0 ， 2 所以 AB中元素的个数为2故选 C点评：

2、 本题考查了交集及其运算，考查了集合中元素的特性，是基础的概念题2（ 5 分）（2013?枣庄二模） 已知 i 是虚数单位， 若纯虚数z 满足（ 2 i ）z=4+2ai ，则实数 a 的值为（）A 2B 2C 4D 4考点 ： 复数相等的充要条件专题 ： 计算题分析： 由给出的已知条件利用复数的除法运算求解复数z，然后利用实部等于0 且虚部不等于0 求解实数 a的值解答： 解：由（ 2 i ） z=4+2ai ，得=因为复数z 为纯虚数，所以，解得 a=4所以，实数a 的值为 4故选 D点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数是纯虚数的条件，复数为纯虚数，当且仅当实部等于 0 且虚

3、部不等于 0，是基础题3（ 5 分）（2013?枣庄二模）“”是“数列 a n 为等比数列”的（）A 充分不必要条件B必 要不充分条件C 充要条件D既 不充分也不必要条件考点 ： 必要条件、充分条件与充要条件的判断专题 ： 等差数列与等比数列分析： 根据等比数列的性质，对于数列a n ，“数列 a n 为等比数列”可以推出“”，对于反面，我们可以利用特殊值法进行判断；1解答： 解：若数列 a n 是等比数列，根据等比数列的性质得：，反之，若“”，当 an=0，此式也成立，但数列a n 不是等比数列，“”是“数列 a n 为等比数列”的必要不充分条件，故选 B点评： 此题主要考查等比数列的性质及

4、必要条件、充分条件和充要条件的定义，是一道基础题4（ 5 分）（2013?枣庄二模）已知函数，则的值是（）A 9B 9CD考点 ： 对数的运算性质专题 ： 计算题分析：因为，所以 f （ ） =log 2 =log 22 2 2=，故本题得解=20， f （ 2） =3解答：解：=f （ log2） =f （ log22 2，2） =f （ 2） =3=故选 C点评：本题的考点是分段函数求值，对于多层求值按“由里到外”的顺序逐层求值，一定要注意自变量的值所在的范围，然后代入相应的解析式求解5（ 5 分）（2013?枣庄二模）已知实数x， y 满足，则 2x y 的最大值为（）AB 0C 1D考

5、点 ： 简单线性规划专题 ： 不等式的解法及应用分析： 先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=x 2y 过 y 轴的截距最小，即 z 最大值，从而求解解答： 解：先根据约束条件画出可行域，目标函数 z=2x y， z 在点 A（ ， ）处取得最大值，max = ，可得 z =2故最大值为，故选 A2点评： 本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题6（ 5 分）（2013?枣庄二模）如图所示是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）A 6B 27C124D 168考点 ： 循环结构专题 ： 图表型分析： 根据题意，按照程序框图的顺序进行执行

6、，当n=4 时跳出循环，输出结果解答： 解：第一次： s=1， n=2；第二次： s=6，n=3；第三次： s=27， n=4；此时不满足n3所以输出S=27故选 B点评： 本题考查程序框图，按照程序框图的顺序进行执行求解，属于基础题37（ 5 分）（2013?枣庄二模）一名篮球运动员在5 场比赛中的得分为14， 16， 21， 24，25，则这组数据的平均数与标准差分别为（）A 18， 18.8B 20，18.8C20，D 18，考点 ：极差、方差与标准差专题 ：计算题分析：直接利用平均数及标准差公式进行计算解答：解：标准差=故选 C点评：本题考查了平均数及标准差的计算，解答的关键是熟记公式

7、及正确计算，是基础题8（ 5 分）（2013?枣庄二模）若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则此双曲线的渐近线方程为（）ABCD考点 ： 双曲线的简单性质专题 ： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用双曲线的标准方程即可得到一个焦点F（c， 0），及一条渐近线再利用点到直线的距离公式即可得出a， b 的关系解答：解：取双曲线的一个焦点F（ c，0），及一条渐近线则点 F 到此条渐近线的距离d=，化为 c=2b，两边平方得c2=4b2，a2+b2=4b2，化为 a2=3b2，双曲线的渐近线方程为故选 C点评： 熟练双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式是解题的关键9（ 5 分）

8、（2013?枣庄二模）如图所示是一几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为（）4A 3B 4C8D 9考点 ： 由三视图求面积、体积专题 ： 空间位置关系与距离分析： 由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，高为1，底面是腰长为2 的等腰直角三角形如图所示，建立空间直角坐标系取线段AB的中点，则DA=DB=DC设球心为O，则 OD平面 ABC又 |OP|=|OB|=R ，利用两点间的距离公式即可得出解答： 解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，高为1，底面是腰长为2 的等腰直角三角形如图所示，建立空间直角坐标系取线段AB 的中点，则DA=DB=DC设球心为O，则 OD平面 ABCD（ 1， 1

9、， 0），可设球心O（1， 1， z），又 B（ 0， 2， 0），P（ 0， 0， 1） |OB|=|OP|=R（球的半径） ，解得R=该几何体外接球的表面积S=9 故选 D点评： 由三视图正确恢复原几何体即掌握球的性质、两点间的距离公式是解题的关键10（ 5 分）（2013?枣庄二模） 已知 A，B 是 ABC的两个内角， 向量=（cos，sin），且 |=，则 tanA?tanB=（）A 3BC 3D考点 ： 三角函数的和差化积公式；向量的模；同角三角函数间的基本关系专题 ： 三角函数的求值5分析：由题意可得=2+= ，再利用二倍角公式化简可得2cos （ A+B） cos（ AB）=0

10、，再利用两角和差的三角公式化简求得 cosAcosB=3sinAsinB ，再由同角三角函数的基本关系求得 tanA?tanB 的值解答：解： A， B 是 ABC的两个内角，向量=（ cos， sin），且 |=， =2+= ， 1+cos（ A+B） +=化简可得2cos （ A+B） cos （ A B） =0， 2cosAcosB 2sinAsinB（ cosAcosB+sinAsinB ） =0， cosAcosB=3sinAsinB ， tanA?tanB=，故选 B点评：本题主要考查两角和差的三角公式、二倍角公式以及同角三角函数的基本关系，向量的模的求法，属于中档题11（ 5 分

11、）（2013?枣庄二模）函数的大致图象为（）ABCD考点 ：余弦函数的图象专题 ： 三角函数的图像与性质分析：由于当 x 趋于 +时，函数的值趋于，故排除B、 C，再利用导数可得在（，）上， y是增函数，在（，）上， y 是减函数，从而得出结论解答： 解：由于当 x 趋于 +时，函数的值趋于，故排除B、 C函数的导数 y= sinx ，在（，）上， y 0，y 是增函数在（，）上， y 0， y 是减函数，故排除D，故选 A点评： 本题主要考查函数的图象特征，利用导数研究函数的单调性，属于中档题12（ 5分）（2013?枣庄二模）已知函数f （ x）对任意 x R都有 f （ x+6） +f

12、（ x） =2f （ 3）， y=f （ x 1）的图象关于点（1， 0）对称，则 f （ 2013） =（）A 10B 5C5D 0考点 ：函数恒成立问题；函数的值专题 ：函数的性质及应用分析： 由 f （ x+6） +f （ x） =2f （ 3），可得函数的周期为12，由 y=f （ x 1）的图象关于点（1， 0）对称，可得函数为奇函数，由此可求结论解答： 解：由 f （ x+6） +f （ x） =2f （ 3），知 f （x+12）+f （ x+6）=2f （ 3），两式相减，得f （ x+12） =f （ x）6由 y=f （ x 1）的图象关于点（ 1， 0）对称，知 f （x

13、 1） +f （ 1 x）=0，故 f （x）是奇函数由 f （ x+6） +f （ x） =2f （ 3），令 x= 3，得 f （ 3）=f （ 3），于是 f （ 3） =f （ 3） =0，于是 f （ 2013）=f （ 201312167） =f （9） =f （ 3） =0故选 D点评： 本题考查函数的周期性与奇偶性，考查学生的计算能力，属于中档题二、填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共 16 分.13（ 4 分）（2011?辽宁）已知圆C 经过 A（ 5，1）， B（ 1， 3）两点，圆心在x 轴上则C的方程为（x22 2） +y =10考点 ： 圆的标准方程专题 ： 计

14、算题分析： 根据题意可知线段AB为圆 C 的一条弦， 根据垂径定理得到AB的垂直平分线过圆心C，所以由 A 和 B的坐标表示出直线AB的方程，然后根据两直线垂直时斜率乘积为1 由直线 AB的斜率求出AB 垂直平分线的斜率，又根据中点坐标公式求出线段AB的中点坐标，由中点坐标和求出的斜率写出AB 的垂直平分线的方程，又因为圆心在x 轴上，所以把求出AB的垂直平分线与x 轴的交点坐标即为圆心C 的坐标，然后根据两点间的距离公式求出线段AC的长度即为圆的半径，根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程即可解答： 解：由 A（ 5， 1）， B（ 1， 3），得到直线AB 的方程为： y 3=（ x 1），即

15、 x+2y 7=0，则直线 AB 的斜率为，所以线段AB的垂直平分线的斜率为2，又设线段AB 的中点为D，则 D 的坐标为（，）即（ 3， 2），所以线段AB 的垂直平分线的方程为：y 2=2（ x 3）即 2xy 4=0，令 y=0，解得 x=2，所以线段AB的垂直平分线与x 轴的交点即圆心C的坐标为（ 2， 0），而圆的半径r=|AC|=，综上，圆C 的方程为：（x 2） 2+y2=10故答案为：（ x 2） 2+y 2=10点评：此题考查学生掌握两直线垂直时斜率满足的关系，灵活运用中点坐标公式及两点间的距离公式化简求值，掌握垂径定理的灵活运用，会根据圆心和半径写出圆的标准方程，是一道中档

16、题14（ 4 分）（2013?枣庄二模） 若对于任意的实数x，ax2+2x+1 0 恒成立， 则实数 a 的取值范围是a 1考点 ： 函数的最值及其几何意义专题 ： 函数的性质及应用分析： 分类讨论，结合函数的性质，即可求实数a 的取值范围解答： 解：若 a=0，则对于任意的实数x， 2x+1 0 不恒成立；若 a0，则，解得 a 1综上， a 1故答案为： a1点评： 本题考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题715（ 4 分）（2013?枣庄二模）如图所示，墙上挂有一块边长为2 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为1 的扇形某人

17、向此木板投镖，假设每次都能击中木板，且击中阴影部分的概率为考点 ： 几何概型专题 ： 概率与统计分析： 欲求击中阴影部分的概率，则可先求出正方形的面积，再求阴影部分区域的面积，进而根据几何概型概率公式易求解解答： 解：根据题意，图中正方形的面积为22=4，图中阴影部分的面积为：244 1=4 ，则它击中阴影部分的概率P=；故答案为：点评： 本题考查几何概型的计算，注意正确计算出的各个面积，进而由几何概型公式计算即可16（ 4 分）（ 2013?枣庄二模） ABC中，AB=3，A=60，A的平分线 AD交边 BC于点 D，且，则 AD的长为考点 ： 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角专题 ： 平

18、面向量及应用分析：取 AC的一个三等分点 E，满足 AE= AC，作 DF平行于 AE，则由条件可得四边形AEDF为平行四边形，求得 AFD=120， FAD=30， FDA=30，可得 AFD 为等腰三角形， AF=DF= AC，故平行四边形 AEDF为菱形利用余弦定理求得AD、 BD、 CD的值，再由三角形的内角平分线性质可得，由此求得 的值，从而得到 AD的值解答：解： ABC 中， AB=3， A=60，A 的平分线 AD交边 BC于点 D，且，取 AC的一个三等分点 E，满足 AE= AC，作 DF平行于 AE，则由条件可得四边形AEDF为平行四边形， AFD=120， FAD=30

19、， FDA=30，故 AFD 为等腰三角形， AF=DF=AC，故四边形 AEDF为菱形再由 AF= AB=3 =DF= AC，可得 AC=9 ，菱形 AEDF的边长为 3 8AFD中，由余弦定理可得2222AD=（ 3 ）+（3 ） 2?3 ?3 ?cos120=27 ， AD=3 ABD中，由余弦定理可得BD2=32+27 2233cos30=27 2 27 +9，BD=3ACD中，由余弦定理可得CD2=81 2+27 229 3 cos30=27 2=3 再由三角形的内角平分线性质可得，即=，解得 =，或 =（舍去）故 AD=3 =3 =2，故答案为 2点评：本题主要考查两个向量的加减法

20、的法则，以及其几何意义，余弦定理以及三角形的内角平分线性质应用，求得 的值，是解题的关键和难点，属于中档题三、解答题：本大题共6 小题，共74 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17（ 12 分）（2013?枣庄二模）某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度（学历）的调查，其结果（人数分布）如下表：学历35 岁以下35 55 岁本科8030研究生12020按学历状况用分层抽样的方法在35 55 岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5 的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2 人，求至少有1 人的学历为研究生的概率考点 ： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分

21、层抽样方法专题 ： 概率与统计分析： 由分层抽样的规律可知需学历为研究生2 人，记为 A1， A2，学历为本科的3 人，记为B1， B2 ，B3，列举可得总的基本事件，找出符合题意得基本事件，由古典概型的公式可得解答： 解：由分层抽样的规律可知：在35 55 岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5 的样本，学历为研究生的人数为20=2 人，记为 A1，A2，学历为本科的人数为30=3 人，记为 B1， B2，B3，从中任意抽取2 人所有的基本事件为：A 1，A2 ， A 1， B1 ， A 1， B2 ， A 1， B3 ， A 2， B1 ，A 2， B2 ， A 2， B3 ，B 1，

22、B2B 1， B3B 2， B3 共 10 个，从中任意抽取2 人，至少 1 人的学历为研究生，所包含的基本事件为：A 1，A2 ，A 1，B1 ，A 1，B2 ，A 1， B3 ， A 2， B1 ，A 2， B2 ， A 2， B3 共 7 个，所以从中任意抽取2 人，至少1 人的学历为研究生的概率为：点评： 本题考查列举法求古典概型的概率，涉及分层抽样的特点，属基础题918（ 12 分）（2013?枣庄二模）已知函数f （ x） =cos（ x+）（ 0， 2 ）为偶函数，且其图象上相邻最高点与最低点之间的距离为（ 1）求函数 f （ x）的解析式；（ 2）求函数 f （ x）在区间 0

23、 ，4 内的所有零点之和考点 ： 由 y=Asin （ x+ ）的部分图象确定其解析式；函数的零点与方程根的关系专题 ： 三角函数的图像与性质分析：由条件求得 和 的值，可得函数 f （ x）=cosx ，令 g（ x）=0，可得 f （x）= ，即 cosx= ，由此求得 x 的解析式，再由 x0 ， 5 ），求得 g（ x）在区间 0 ， 5 ）内零点的值，从而求得函数 f （ x）在区间 0 ， 4 内的所有零点之和解答： 解：（1）函数 f （ x） =cos（ x+ ）（ 0）为偶函数， cos =1， =k ， k z再由 2 可得 = ，函数 f （ x）=cos（ x+）= c

24、os x，故其周期为，最大值为 1设图象上最高点为（ x1，1），与之相邻的最低点为（x ， 1），则 |x x|= = 221其图象上相邻最高点与最低点之间的距离为=，解得 =1，函数 f （ x） = cosx （ 2）函数 f （ x）在 0 ，4 内的所有零点为：，函数 f （ x）在 0 ， 4 内的所有零点之和为点评： 本题主要考查由函数 y=Asin （ x+ ）的部分图象求解析式，函数y=Asin （ x+）的周期性、最大值，求函数的零点，属于中档题19（ 12 分）（2013?枣庄二模）一多面体的三视图和直观图如图所示，它的正视图为直角三角形，侧视图为矩形，俯视图为直角梯形（

25、尺寸如图所示）直观图中的平面BEFC水平放置（ 1）求证： AE平面DCF；（ 2）当时，求该多面体的体积考点 ： 直线与平面平行的判定；由三视图还原实物图；棱柱、棱锥、棱台的体积专题 ： 空间位置关系与距离分析：（ 1）证法 1（线面平行的判定定理法） ：过点 E 作 EGCF 于 G，连结 DG，可证得四边形 ADGE为平行四边形，进而 AEDG，结合线面平行的判定定理得到答案10（ 1） 法 2：（面面平行的性 法） ：由四 形 BEFC 梯形，可得BECF， 合 面平行的判定定理可得 BE平面 DCF，同理由 ABDC，可 AB平面 DCF，由面面平行的判定定理得到平面ABE平面 DC

26、F， 而由面面平行的性 得到答案（ 2）由三 知AB平面 BEFC，AD平面 DCF，所以 AB、 AD分 四棱 A BEFC和三棱 ADCF的高，代入棱 体 公式可得答案解答： 明：（ 1） 法1（ 面平行的判定定理法） ： 点 E 作 EGCF 于 G， DG由 条件可得四 形BCGE 矩形，又 ABCD 矩形，所以 ADEG，且 AD=EG从而四 形 ADGE 平行四 形，故 AEDG（ 4 分）又因 AE?平面 DCF， DG?平面 DCF，所以 AE平面 DCF（ 6 分） 法 2：（面面平行的性 法）因 四 形 BEFC 梯形，所以 BECF又因 BE?平面 DCF， CF?平面

27、DCF，所以 BE平面 DCF（ 2 分）因 四 形 ABCD 矩形，所以 ABDC同理可 AB平面 DCF又因 BE 和 AB是平面 ABE内的两相交直 ，所以平面 ABE平面 DCF（ 4 分）又因 AE? 平面 ABE，所以 AE平面 DCF（ 6 分）（ 2）由三 知AB平面 BEFC，AD平面 DCF，所以 AB、 AD分 四棱 A BEFC和三棱 ADCF的高（ 7 分）在 RtEGF中，因 ，所以 GFE=60，且 GF=1又因 CEF=90故 CF=4从而 BE=CG=3（ 9 分）多面体的体 V=V四棱 +VABEFC三棱锥 ADCF（ 12 分）点 ： 本 考 的知 点是直

28、 与平面平行的判定，由三 原 物 ，棱 的体 ，其中（1）的关 是熟 掌握 面平行 明的方法和步 ， （ 2）的关 是分析出 AB、AD分 四棱 A BEFC和三棱锥 A DCF的高，将复 几何体体 的运算 化 棱 体 运算20（ 12 分）（2013? 庄二模）已知数列a n 足：（ 1）求数列 a n 的通 公式；11（ 2）设，数列 b n 的前 n 项和为 Tn若存在实数，使得 Tn，试求出实数 的最小值考点 ： 数列递推式；数列的求和专题 ： 等差数列与等比数列分析：+=2n+1 2，=2n 2，相减即可（ 1）当 n2时，由得出 a ，当 n=1 时，单独考虑；n（ 2）利用（ 1

29、）的结论即可得到b ，利用裂项求和即可得出T ，进而得出数列 T 的单调性，即可nnn得到 的值解答：+=2n+12解：（1）当 n2时，=2n 2，即当 n=1 时，解得 a1=1，也符合上式数列 a n 的通项公式为an=n；（ 2）由（ 1）可知：=，Tn=，Tn+1 Tn数列 T n 是单调递增数列，T 1 的最小值为T1=1由题意， 数列 T n 的最小值 =1，实数 的最小值为1点评：本题综合考查了求数列的通项公式、裂项求和方法、数列的单调性等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力21（ 12 分）（2013?枣庄二模）已知函数 f （ x） =2f （ 1）已知函数 f （

30、 x）的解析式及单调区间；1） ex 1x，e2.7 （ 2）若对任意的恒成立，求实数a 的取值范围考点 ： 导数在最大值、最小值问题中的应用；函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究函数的单调性专题 ： 导数的综合应用分析：（ 1）把原函数求导，在导函数中取 x=1 得到 f （1）的值，则函数解析式可求，由导函数分别大于 0 和小于 0 求出原函数的单调增区间和减区间；（ 2）把函数f （ x）的解析式代入，分离变量a 后构造辅助函数g（ x）=，利用导函数求函数g（x）的最小值，则实数a 的取值范围可求12解答： 解：（1）对 f （x）求导，得f （ x）=2f （ 1）ex 1 1令

31、 x=1，得 f （1） =2f （ 1） 1，解得 f （ 1） =1从而 f （ x） =2ex 1 x f （ x）=2ex 11f （ x） 0?2ex 1 1 0? x 1 ln2 ；f （ x） 0?2ex 1 1 0?x 1ln2 所以， f （ x）的增区间为（1 ln2 ，+），减区间为（，1 ln2 ）（2）当 x时，?x? e ax+1 ? a令 g（ x） =令 h（ x） =所以，函数h（x）在 所以，则，则 h （x） =xex 0，+）上单调递增所以当 x时，所以， g（ x）=在 ，+）上单调递增.由题意， a故所求实数a 的取值范围是a点评：本题考查了函数的解析式的求解及常用方法，考查了利用导数研究函数的，训练了分离变量法和构