数值分析试题及答案汇总

1、数值分析试题、填空题(2 0 X 2)1.21,x设x=是精确值x*=的近似值，则x有2位有效数字。2.若 f(x)=x7f2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 f2 0,2 1,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2 7= _J3.设，| All 乂 =5II AXII 二 154.非线性方程f(x)=0的迭代函数x=?(x)在有解区间满足I ? (x)| 1要使V20的近似值的相对误差小于%至少要取 4，计算时不会放大f(Xi)的误差。位有效数字。.(k+1对任意初始向量X0)及任意向量g,线性方程组的迭代公式x(k+1)=B*k)+g(k=0,1,)收敛10.于方程组的

2、精确解x*的充分必要条件是?(B)V1X012y=f (X)-2-120由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是5011. 牛顿下山法的下山条件为lf(xn+1)|v|f(xn)|。12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差ri (i =0,1,，n)来实现的，其中的残差ri = (b i-ai1X1-ai2X2-ainXn)/a ii， (i =0,1,，n)。13. 在非线性方程f(x)=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f(x)阶导数不变号，则初始点Xo的选取依f(x0)f ”(x0)014.使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、选取初值、迭代计算。二、判断题（10

3、X 1）1、若A是n阶非奇异矩阵，则线性方程组AX b一定可以使用高斯消元法求解。2、3、若A为n阶方阵，且其元素满足不等式解非线性方程f（x）=0的牛顿迭代法在单根X*附近是平方收敛的。则解线性方程组gb的高斯一一塞德尔迭代法一定收敛。4、样条插值一种分段插值。5、如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。6、从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差。7、解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX b。迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计，直到最后一步迭9、代计算的舍入误差。数值计算中的总误差如

4、果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断误差=舍入误差。10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。三、计算题（5X 10） 1、用列主元高斯消元法解线性方程组。解答:（1, 5，2）最大元5在第二行，交换第一与第二行:L21=1/5=,I 31=2/5=方程化为:（,）最大元在第三行，交换第二与第三行:L32=,方程化为:回代得：x入13.00005X25.99999X31.000102、用牛顿埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式P4(x)，并写出其截断误差的表达式(设f(x)在插值区间上具有直到五阶连续导数)。Xi012f(Xi)1-13f (Xi)15解答:

5、做差商表xiF(xi)Fxi,xi+1F+2Fxi,xi+1,xi+2,xi+3Fxi,xi+1,xi+2,xi+3,xi+4011-1-21-113234302351-2-1P 4(x)=1-2x-3x(x-1)-x(x-1)(x-1)(x-2)R4(x)=f(5)(?)/5!x(x-1)(x-1)(x-2)(x-2) 3、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组，使之应用雅克比迭代法和高斯一一强 德尔迭代法均收敛，写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯一一赛德尔迭代法的 迭代公式，并简单说明收敛的理由。解答: 交换第二和第四个方程，使系数矩阵为严格对角占优:雅克比迭代公式：X4 1计算

6、机数学基础(2)数值分析试题x2 4x3x4 8x 一、单项选择题5每小题3分，共15分)11. 已知准确值5*与其有t位有效数字的近似值x = anX 10s(ai?0)的绝对误差?x* x?()(A) X 10 s1t (B) X 10 st (C) X 10s+1t (D) X 10 s+12. 以下矩阵是严格对角占优矩阵的为().210101(A) 0051(B) 1024101141001251(C)2024101241(D)41212413114110153.过(0,1),(2 ,4) , (3 ,3.,x(A)23x 101)点的分段线性插值函数3x 123x2P(X)=()(B

7、)10(C) r 13x 10(D)3-x2x4.等距二点的求导公式是f (Xk)-( Ykh1f (Xk 1)-(YkhYk1)f (Xk)(B)Yk 1)f (Xk 1)1f (Xk) r Yk h1f (Xk 1)-(Yk 1Yk1)(D)Yk)()(A)(C)1 ( 、-(Yk Yk 1) h(Yk Yk 1)h5.解常微分方程初值问题的平均形式的改进欧拉法公式是 那么Yp, Yc分别为(A) YpYc)-hf (Xk，Yk)(B)YpYkhf (Xk 1, Yk)hf (Xk 1, Yk)YcYkhf (Xk, Yp)f (Xk, Yk)(D)YpYkhf(Xk, Yk)f(Xk,

8、Yp)YcYkhf (Xk 1, Yp)ykykYkYk(C)YpYc二、填空题(每小题3分，共15分)6. 设近似值 X1,X2 满足？(X1)= , ?(X2)=，那么？(X1X2)=.7. 三次样条函数 S(x)满足：S(x)在区间a,b内二阶连续可导，S(Xk)=Yk(已知), k=0,1,2，n,且满足S(x)在每个子区间Xk, Xk+1上是_bn8. 牛顿一科茨求积公式f(x)dxAk f (xk)，贝UaAk =k 0k0,则在有9. 解方程f(x)=O的简单迭代法的迭代函数?(X)满足在有根区间内 根区间内任意取一点作为初始值，迭代解都收敛.10. 解常微分方程初值问题的改进欧

9、拉法预报一一校正公式是预报值：yk 1 yk f (xk,yk)，校正值：yk+1=三、计算题(每小题15分，共60分)11. 用简单迭代法求线性方程组 的X3).取初始值(0,0,0) T，计算过程保留4位小数.12. 已知函数值 f(0)=6，f (1)=10，f (3)=46，f (4)=82，f (6)=212，求函数的四阶均 差 f(0,1,3,4,6) 和二阶均差 f(4，1, 3).3,13. 将积分区间8等分，用梯形求积公式计算定积分”1 x2dx，计算过程保留4位小数.14. 用牛顿法求J115的近似值，取x=l0或11为初始值，计算过程保留4位小数.四、证明题(本题10分)

10、15. 证明求常微分方程初值问题在等距节点a=xovx1vvxn=b处的数值解近似值的梯形公式为hy(Xk+1)?yk+1=yk+f (Xk, yk)+f (Xk+1, yk+1)2其中=Xk+1 Xk(k=0,1,2,n 1)计算机数学基础(2)数值分析试题答案一、单项选择题(每小题3分，共15分)1. A 2. B 3. A 4. B 5. D二、填空题(每小题3分，共15分)6. ? X2?+?X1?7. 3 次多项式 -8. b a9. ?(X)?r110.yk+2f (Xk, yk) f 仇 1, yk 1) f (Xk +1,yk 1).三、计算题(每小题15分，共60分) 11.

11、写出迭代格式刈=(0,0,0) T.得到X，3, 3)t得到 X2= 7，0) T得到 X3)= 4，6，6) T.12. 计算均差列给出.f (Xk)一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差0611043461814/34823661/362126529/311/151/151f(0,1,3,4,6)=15f(4, 1, 3)=6 213. f (x)=41X1 (1)设 A 2 , h=0.25 .分点X0=,X1=,X2=,X3=,X4=,X5=, X6=,X7=,X8=.8函数值：f= 2 , f= 8 , f= 8 , f= 6 , f= 1 , f = 2 , f = 6 , f= 2 ,

12、 f= 3 .2(f(Xi)f(X2)f(X3) f(X4) f(X5) f(X6) f(X7) (9 分) 0 25X 2+ 3+2 X 8+ 8+ 62+ 1+ 2+ 6+ 2)=X 5+2 X 3)= 114. 设X为所求，即求X2 115=0的正根.f(x)=x2 115.因为 f?(x)=2x, f?(X)=2 , f (10) f?(10)=(100 115) X 20取 X0=11.有迭代公式Xk+i=Xk 譽今爰(k=0，12)11X1 = 2如=32 11X2=2115 = 82 10.727 3X3=空空2= 82 10.723 88X*? 8四、证明题(本题10分)15.

13、 在子区间Xk+1, Xk上,对微分方程两边关于X积分，得Xk 1y(Xk+1) y(Xk)=f (x,y(x)dxxk用求积梯形公式，有hy(Xk+1) y(Xk)= f (Xk，y(Xk)f (Xk 1, y(Xk J)将 y(Xk), y(Xk+1)用 yk, yk+1 替代，得到hy(Xk+1)?yk+1=yk+-f (Xk, yj+f (Xk+1, yk+1)( k=0,1,2，,n 1)2数值分析期末试题填空题(2 1020分)20,则 IIA213(2)对于方程组2X1 5X210x1 4x21,Jacobi迭代法的迭代矩阵是BJ302.52.500(3)如*的相对误差约是X的相

14、对误差的1倍。求方程Xf (x)根的牛顿迭代公式是xn 1 xnXnf(Xn)1 f(Xn)(5)设 f(x) X3 X 1，贝U差商 f0,1,2,3(6)设n n矩阵G的特征值是则矩阵G的谱半径(G)max1 2已知A，则条件数Co nd (A)0 1(8 )为了提高数值计算精度，当正数X充分大时,应将ln( XJx21)改写为ln(x Jx21)。(9) n个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为n 1次。(10)拟合三点(X1,f(x1) , (X2, f (X2) , (X3, f (X3)的水平直线是 y1 3-f(Xi)o3 i 12X1二、 (10分)证明：方程组 X1X1

15、证明：Jacobi迭代法的迭代矩阵为X2X2X2xsXs2X311使用Jacobi迭代法求解不收敛性。1Bj的特征多项式为Bj的特征值为10,2 Y1.25i ,j125i，故(Bj)/T25 1,因而迭代法不收敛性。(10分)定义内积试在H1 Span1,x中寻求对于f(x)Jx的最佳平方逼近元素p(x)。解:o(x)1,1(x) X ,1o)0dx(1,0)10xdx1 1 2 1-,(1,1)0 X dx - , ( 0, f)1厂2vxdx 03(1, f)X VXdx0法方程解得c041215，c115。所求的最佳平方逼近元素为p(x) Tx，0 X 11515四、X-2-1012y

16、（10分）给定数据表试用三次多项式以最小二乘法拟合所给数据。c1x c2x23解：y（x）CoC3X11A 111210124101481018ata501000100341003400340130法方程的解为 C0 0.4086，C10.39167，c2 0.0857 ，c30.00833得到三次多项式误差平方和为3 0.000194五. （10分）依据如下函数值表012419233建立不超过三次的Lagrange插值多项式，用它计算f （2.2），并在假设|f（4）（x）1下，估计计算误差。解:先计算插值基函数所求Lagrange插值多项式为311 3L3（x）f （Xi）li（x） l0

17、（x） 9l1（x） 23l2（x） 3l3（x）xi 0445 2X4f(2.2) L3(2.2)25.0683。据误差公式 R3（x）f(4)()(x X0)(XX1)(X X2)(X4!X3）及假设 f（4）（x）1得误差估计:六. （10分）用矩阵的直接三角分解法解方程组 解设由矩阵乘法可求出Uj和Ij 解下三角方程组有y15， y 3， y 6， y 4。再解上三角方程组得原方程组的解为x11，x21，x3 2，x42。七.（10分）试用Simpson公式计算积分 的近似值，并估计截断误差。解：截断误差为八.（10分）用Newton法求方程x ln x 2在区间（2,）内的根,要求Xk Xk 1|Xk10 8解：此方程在区间（2,）内只有一个根s，而且在区间（2, 4）内。设f(x)1f(x)-2XNewton法迭代公式为xk In xkXk 1 Xk fXkXk(1 In Xk)Xk 1k