数的整除之四大判断法综合运用(三).教师版

1、专业文档目tim教学目标1. 了解整除的性质；2. 运用整除的性质解题； 整除性质的综合运用.3.知识点拨、常见数字的整除判定方法1. 一个数的末位能被 2或5整除，这个数就能被 2或5整除； 一个数的末两位能被 一个数的末三位能被2. 一个位数数字和能被4或25整除，这个数就能被 4或25整除；8或125整除，这个数就能被 8或125整除;3整除，这个数就能被 3整除；9整除，这个数就能被 9整除；一个数各位数数字和能被3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被 11整除.4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或1

2、3整除，那么这个数能被或13整除.5. 如果一个数能被 99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数(如果有偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数)的和是 是99的倍数。7、1199的倍数，这个数一定【备注】(以上规律仅在十进制数中成立 .)、整除性质性质1如果数a和数b都能被数e整除，那么它们的和或差也能被e整除.即如果e I b,那么 e I (a).性质2如果数a能被数b整除，b又能被数e整除，那么a也能被e整除.即如果e I b,那么 e I a.用同样的方法，我们还可以得出：如果数a能被数么 b I a, e I a.如果数a能被数

3、 与e的乘积整除.e I a,性质性质b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除.即如果be Ia,那b整除，也能被数e整除，且数b和数e互质，那么a一定能被b 即如果 b I a, e I a，且(b, e)=1，那么 be I a.珍贵文档性质性质例如：如果 3 I 12, 4 I 12,且(3, 4)=1，那么(3 X) I 12.如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除.如果 b | a，那么bm | am (m为非0整数)； 如果数a能被数b整除，且数e能被数d整除，那么ae也能被bd整除.如果b | a，且d | c ,那 么 bd | ae；例题精讲综合系列【例1】 甲、乙两个

4、三位数的乘积是一个五位数，这个五位数的后四位为 乙数的数字和为 8,那么甲乙两数之和是 .【考点】整除之综合系列【难度】3星 【题型】填空【关键词】迎春杯，高年级，初赛，第【解析】1031 .如果甲数的数字和为10,【答案】【难度】3星2题根据弃九法可得知，乘积是310313111,1适当组合可得知两数为3仅7=21和11 X13 =143，和为 360.360【例2】有5个不同的正整数，它们中任意两数的乘积都是12的倍数，那么这 5个数之和的最小值是【题型】填空7题)为了 5个数的和最小，那么 12=1c12/x6=3M。(1)若为1、12、口口口那么后面的三个数必须 是12的倍数，最小为2

5、4、36、48,和为121 ; (2)若为2、6、口 口口那么后面的三个数必须是 6的倍数，最小为12、18、24,和为62; (3)若为3、4、口 口口那么后面的三个数必须是的倍数，最小为12、24、36，和为79;综上所述，得到的最小值为62【考点】整除之综合系列【难度】3星【关键词】迎春杯，六年级，初赛，第【解析】62。【答案】【例3】12173是个四位数字。数学老师说：我在这个中先后填入3个数字，所得到的 3个四位数，依次可被9、11、6整除。”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？【难度】3星【题型】解答用 1730 试除，1730-9=1922 , 1730+11=157【考点

6、】整除之综合系列 【解析】【答案】(11-3=)8、(6-2=)4 后得到的 1737、1738、1734 依次能被 9、口内的数字的和为 7+8+4=19 .193 , 1730+ 6=2882 .所以依次添上(9-2=)7、11、6整除.所以，这三种情况下填入1a87a2是2008的倍数.a【例4】【考点】整除之综合系列【关键词】走美杯，五年级，初赛，第【解析】【难度】4星6题【题型】填空根据能被4整除的数的特征后两位能被 4整除，a=1, 特征一一后三位能被 8整除，可得a=1, 5, 9。分别代入知3, 5，7，9;再根据能被8整除的数的 a =9 。【答案】【例5】【考点】整除之综合

7、系列【关键词】学而思杯，【解析】使得10n -1是63的倍数的最小正整数 n是。【难度】3星 【题型】填空5年级，第5题63=9X7, 10n -1肯定是9的倍数，所以只要考虑 7的倍数就可以了。考虑到 111111是7的倍数, 106 1 =999999，所以最小的n是6.【答案】6【例6】如果六位数1992口口能被105整除，那么它的最后两位数是多少？【考点】整除之综合系列【难度】3星【题型】填空【解析】因为105=3X7X5，所以这个六位数同时满足能被3、7、5整除的数的特征即可.方法一：利用整除特征 末位只能为0或5. 如果末位填入0,那么数字和为1+9+9+2 + +0=21+ 口要

8、求数字和是 3的倍数，所以可以为 0, 3, 6, 9,验证 200 _199 =1 , 230199 =31 , 260 199 =61 , 290199=91 , 有91是7的倍数，即199290是7的倍数，所以题中数字的末两位为90. 如果末位填入5,同上解法，验证没有数同时满足能被3、7、5整除的特征.所以，题中数的末两位只能是90 .方法二：采用试除法105 _15 =90 .所以补上 90,即用199200试除，199200X05 =189715 ,余15可以看成不足，在末两位的方格内填入 90即可.【答案】90【例7】 六位数20 08能被49整除，中的数是多少? 【考点】整除之

9、综合系列【解析】【答案】200008被49除商所以为05。05【难度】3星 【题型】填空4081余39,所以画00+39能被49整除，商11时，49x11 =539，末两位是 39,在六位数11 位数是多少？【考点】整除之综合系列【解析】【例8】11中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和佃整除，那么方框中的两【答案】【难度4星【题型填空采用试除法设六位数为 仃而,而11 =11x10000+ab00+11 =110011如果一个数能同时被 17 和19整除，那么一定能被323整除.110011子323 =340191，余 191也可以看成不足323 -191 =132 .所以当ab帀=

10、132 +323n时，即ab00是100的倍数时，六位数才是323的倍数.所 以有323n的末位只能是10-2=8，所以n只能是6,16, 26, 验证有n =16时，132 +323x16 =5300, 所以原题的方框中填入1153115，3得到的115311满足题意.【例9】某个七位数 佃93能够同时被2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9整除，那么它的最后三位数字依次是多 少？【考点】整除之综合系列【难度】4星【题型】填空【解析】本题可采用整除数字的判定特征进行判断，但是太过繁琐。采用试除法比较方便，若使得7位数能够同时被2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9整除，只要让七位

11、数是2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9最小公倍数的倍数即可。【2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 =2520.用 1993000 试除，1993000-2520=7902200 ,余 2200 可以看成不足2520-2200=320，所以在末三位的方格内填入320即可.【答案320【例10】在523后面写出三个数字，使所得的六位数被7、8、9整除.那么这三个数字的和是多少？【考点】整除之综合系列【难度】4星【题型】解答【解析】7、8、9的最小公倍数是504,所得六位数应被504整除。524000子504 =1039344，所以所得六位 数是 524000 -344 =523

12、656，或 523656 -504 =523152 .因此三个数字的和是17 或 8.【答案】17或8168整除。这个六位数是多少?【例11 用数字6, 7, 8各两个，组成一个六位数，使它能被【考点整除之综合系列【难度3星【题型解答8、3、曰定是7整除.8的倍数，末两位组成的数一定是4的倍数，末688、768是8的倍数，所以末三位只能是688或768,而又要宀日7、11、13的倍数，所以768768 一定是7的倍数，【解析因为168=8X3X7，所以组成的六位数可以被 能够被8整除的数的特征是末三位组成的数一 位为偶数在题中条件下，验证只有求是7的倍数，由例8知abcabc形式的数 定疋 6

13、88不管怎么填都得不到 7的倍数.至于能否被3整除可以不验证，因为整除3的数的规律是数字和为 3的倍数，在题中给定的条件下, 不管怎么填数字和都是定值。所以768768能被168整除，且验证没有其他满足条件的六位数.【答案768768【例12】一个十位数，如果各位上的数字都不相同，那么就称为十全数”例如，3785942160就是一个十全数.现已知一个十全数能被1, 2, 3,，18整除，并且它的前四位数是4876,那么这个十全数是多少？【考点】整除之综合系列【难度】5星【题型】解答【解析】这个十全数能被10整除，个位数字必为 0;能被4整除，十位数字必为偶数，末两位只能是20.设+1 =a +

14、C +11、b+d+1=a+c、b +d +1+11= a+c.由于 a、b、c、d 四个数分别为1、3、中的一个，只能是 b+d +1=a+c+11，即b+d =a+c+10 .所以b、d是9和5; a、c是3 这个十全数只能是4876391520, 4876351920, 4876193520, 4876153920中的一个.由于它能13、17整除，经检验，只有 4876391520符合条件.这个十全数为4876abcd 20 .由于它能被11整除，所以奇位数上的数字之和与偶位数上的数字之和 的差能被 11整除，即 8+ 6+b +d +0-(4 +7+a+c+ 2) =b +d + 1-

15、(a +c)被11整除，可能是 b +d5、9和1,被7、【答案】4876391520667整除的6位数，那么，这个 6位数除以66739，即这个六位数应该为 3的倍数，所以这个 3的六位数除以2001得到的商应该是三位数.而【例13】将数字4, 5, 6, 7, 8, 9各使用一次，组成一个被 的结果是多少？【考点】整除之综合系列【难度】4星【题型】解答【关键词】2009年，迎春杯，五年级，初赛，第8题 【解析】4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9各用一次后，各位数字之和为数应该是3x667 =2001的倍数.一个首位数字超过该三位数的商乘以2001后所得六位数(即原六位数)的末三位即

16、为该商，而前三位是该商的两倍，所以4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9这6个数字应该组成两个三位数，其中一个三位数是另一个的2倍，所以两个三位数的首位数字，大者应至少是小者的两倍，显然的较小的那个三位数的首位只能是4 ,较大的那个三位数的首位可能是8，也可能是9，而较小的那个三位数的个位只能是8，才能使较大的那个三位数的个位数字能被取到，进一步试验可得到这个六位数是956478 ,这个6位数除以667后的得数为1434 .【答案】956478567=1434【例14】某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1, 2,，12.他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都

17、能被这家的门牌号整除，已知这些电话号码的首位数字都小 于6，并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除，问：这一家的电话号码是什么数？【考点】整除之综合系列【难度】4星【题型】解答【解析】设第一户电话号是 x+1，第二户的电话号是 x+2 ,.第12户的电话号是x+12 .根据条件可知x+i是i的倍数(i =1 , 2,，12),因此x是1, 2,，12的公倍数.而 1,2,，12=27720 ,所以 x=27720m .又27720m十9是13的倍数，而27720除以13余数为4，所以4m+9是13的倍数，则m=1 ,14,27, 第9户的电话号码是27720m+9，是一个首位数字小于

18、6的六位数，所以 m取14合适；因此这一家的电话号码是 27720X14 +9 =388089 .【答案】27720 X14 +9 =388089【例15】在六位数ABCDEF中，不同的字母表示不同的数字，且满足 A, AB , ABC, ABCD , ABCDE ,ABCDEF依次能被2, 3, 5, 7, 11, 13整除.则ABCDEF的最小值是 ;已知当ABCDEF取得最大值时 C =0, F =6，那么ABCDEF的最大值是 .【考点】整除之综合系列【难度】4星 【题型】填空【关键词】学而思杯，5年级，第14题【解析】 求最小值，先看A ,最小偶数为2 ,然后AB被3整除，B最小为1

19、 ,然后依次推出C=0.D=7,E=6,F=9求最大值与上述方法类似。最后求出最大值为840736【答案】210769; 840736【例16】有一个九位数abcdefghi的各位数字都不相同且全都不为0，并且二位数ab可被2整除，三位数abc可被3整除，四位数abcd可被4整除，依此类推，九位数 abcdefghi可被9整除.请问这个 九位数abcdefghi是多少？专业文档专业文档且b、d、f、h都是偶数,【考点】整除之综合系列【难度】5星 【题型】填空【解析】由题可知这个九位数由数字 19组成，其中每个数字出现一次,e、g、i是奇数由于abcde可被5整除，所以e =5 .由于abc可被

20、3整除，所以a、b、c三个数之和可被 3整除由于abc 可被6整除，所以d、e、 f三个数之和可被3整除.由于abcd可被4整除，所以cd可被4整除，而c是奇数，所以d只能为2或6 由abcdefgh可被8 整除知abcdefgh可被4整除，所以gh可被4整除，同上可知h也只能为2或6 所以有如下两种情 况：d =2 , h =6 .此时def =257可被3整除，f只能为&那么b为4 .由于a、b、c三个数之和 可被3整除，而a、c为1、3、7、9中的某两个，所以a、c为1和7.那么g为3或9,其中满足fgh =8g6可被8整除的只有9,所以g为9, i为3 .此时abcdefg为14725

21、89或7412589，但这两个 数都不能被7整除，不符题意；d =6 , h =2 .此时面 =65?可被3整除，f只能为4.那么b为8.此时fh=4 可被8整除， 所以g为3或7 .又a、b、c三个数之和可被 3整除，而b为8,所以a、c可以为(1, 3)、(1, 9)、(7 , 3)或(7, 9),所以此时 abcdefghi 有 8 种可能情况：189654327 ； 981654327 ； 789654321 ； 987654321 ； 183654729 ； 381654729 ； 189654723 ； 981654723 .经检验，其中只有 381654729 满足 abcdef

22、g 能被 7 整除，所以所求的 abcdefghi是381654729.【答案】381654729【例17】用数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9拼成一个十位数。要求前 1位数能被2整除，前2位数能 被3整除，前9位数能被10整除.已知最高位数为 &这个十位数是 【考点】整除之综合系列【难度】4星【题型】填空【关键词】走美杯，5年级，决赛，第8题，10分【解析】由前9位数能被10整除，可知第九位数字为 0，前四位能被5整除，可知第四位数字为 5,前8位 数能被9整除，即前八位数字和为9的倍数，而所有数字本身就是9的倍数，所以第十位数字只能是9,前两位数能被 3整除，故第二位数字只能是1、

23、4或7,如果第二位数字是 4，则找不到前三位数能被4整除，故第二位数字只能是1或7,则第三位数字只能是 2或6,结合前五位能被 6整除知只能是前五位 87654或81654,前七位数字能被 8整除，知第七位数字是 2 .由前6位数字能被7 整除，经试验唯一可能是 816543，故7必在第八位上，故这个数应为8165432709 .【答案】8165432709【例18】N是一个各位数字互不相等的自然数，它能被它的每个数字整除.【考点】整除之综合系列【难度】4星【题型】填空【关键词】走美杯，5年级，决赛，第7题，10分【解析】N不能含有0,因为不能被0除。N不能同时含有5和偶数，因为此时N的个位将

24、是0。如果含有5, 则2, 4, 6, 8都不能有，此时位数不会多。如果N只缺少5,则含有1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9，但是数字和为40,不能被9整除。所以必须再去掉一位，为了最大，应该保留9放到最高位，为了使数字和被9整除，还需要去掉 4。此时由被7和8整除。 前四位最大为 前四位如果取 前四位如果取 前四位如果取 前四位如果取【答案】9867312N的最大值是1,2, 3, 6, 7, 8,9组成，肯定被9整除,还需要考虑9876，9873，9872，9871，9867，剩下三个数字组成的被 剩下三个数字组成的被 剩下三个数字组成的被 剩下三个数字组成的被 剩下三个数字组成

25、的被8整除的三位数为8整除的三位数为8整除的三位数为8整除的三位数为8整除的三位数为312,216,136,632,312,9876312被7除余9873216被7除余9872136被7除余9871632被7除余9867312被7整除。5；3；1；1；珍贵文档【例19】a, b, c ,bcda是11的倍数，cdab是9d各代表一个不同的非零数字，如果abcd是13的倍数,的倍数，dabc是7的倍数，那么abcd是。【考点】整除之综合系列【难度】4星【题型】填空【关键词】学而思杯，6年级，第14题所11整 b+d和11整除，恰好与bcda互换了一下，可知 abcd的奇位数字之和与偶位数字之和也

26、就是abed是11的倍数；又根据题意，abed是13的倍数，那么abed是9，11,1287，2574，3861，5148，【解析】由于edab是9的倍数，说明其各位数字之和能被 9整除；由于abed与edab的各位数字之和相同， 以abed也是9的倍数；由于beda是11的倍数，那么其奇位数字之和与偶位数字之和的差能被 除，也就是a+c与b+d的差能被11整除，而abed的奇位数字之和与偶位数字之和分别为 a +C，恰好的差能被 的差也能被11整除，13的公倍数，也就是 9，11，13=1287的倍数，又是四位数，可能为6435，7722，9009，其中7722和9009出现重复数字，可予排

27、除。由于abed是7的倍数，说明abc-d 是7的倍数，对1287， 2574，3861，5148， 6435，进行检验，发现只有3861满足这一点，所以abed是3861。【答案】3861【例20】利用数字0, 1, 2, 3, 4,8, 9（每个数字可以重复）构造一个6位数，满足要求：前 k位能被 k整除（k=1 , 2，6）这样的6位数最小是【难度】4星【题型】填空4年级，决赛，第8题，10分,最大是【考点】整除之综合系列【关键词】走美杯，【解析】【答案】最小的数先填第一位易知为 1,第二位易知被 所以为2，第四位同样结合前四位被 4整除为0, 除，所以第六位为 0,即此数该为10200

28、0.最大的数方法同上，从首位开始填起，然后取前为 987654 .最小102000 ,最大为9876542整除，最小为0,第三位结合前三位被 3整除， 同理知第五位为 0，第六位可知前三位已能被 6整k位能被k整除的最大数，即可得出结论，最大【例21】有15位同学，每位同学都有编号，他们是1号到15号，1号同学写了一个自然数，其余各位同学都说这个数能被自己的编号数整除.1号作了检验：只有编号连续的两位同学说的不对，其余同学都对，问：说的不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？如果告诉你1号写的数是五位数，请找出这个数.整除之综合系列【难度】4星【题型】解答【考点】【解析】为了表达方便，不

29、妨设 1号同学写的自然数为 a .根据2W15号同学所述结论，2W15中只有两个 连续的自然数不能整除 a，其他的数都能整除a .由于2W7中的每一个数的2倍都在15以内，如果 27中有某个数不能整除 a，那么这个数的2倍也不能整除a，然而2W7中的这个数与它的2倍不 可能是两个连续的自然数，所以2W7中每一个数都是a的约数.由于2与5互质，那么2咒5=10也是a的约数.同理可知，12、14、15也都是a的约数.还剩下的四个数为8、9、11、13,只有8、9是两个连续的自然数，所以说的不对的两位同学，他们的编号分别是8和9.1号同学所写的自然数能被2,3,4,5,6,7, 10, 11 , 1

30、2,13,14,15这12个数整除，也就是它们的公倍数.它们的最小公倍数是：22x3X5X7X11X13 =60060 .因为60060是一个五位数，而这12个数的其他公倍数都是它们的最小公倍数60060的倍数，且最小为 2倍，所以均不是五位数，那么1号同学写的五位数是 60060.【答案】60060 【例 22 】 已知：23! =258D20C67388849766AB000 .则 DCB x A = ?【考点】整除之综合系列【难度】4星【题型】填空【关键词】走美杯，5年级，决赛，第7题，10分【解析】由于123中有4个5的倍数，所以23!的末尾有4个0,所以B =0 .由于23! =2X

31、5X10X15X8X20xM =10000咒8咒3皿（M为正整数），所以258D20C67388849766 AB000去掉末尾的4个0后得到的数是 8的倍数，那么66A是8的倍数，所 以 A=4 .易知258D20C673888497664是9和11的倍数，所以2 +5 +8 +D +2 +0 +C +6+7 +3 +8 +8 +8 + 4+9 +7+6 +6 +4 =93+ C + D 是 9 的倍数； （2+8 +2 +C +7+8 +8 +9 + 6 +4 ）-（5 + D +0 +6+3 +8 +4+7 + 6 ）=15 + C -D 是 11 的倍数， 那么 C + D =6或 15, C D =7或 D C =4 .若C+ D =15，由于C+D与C-D （或D_C）奇偶性相同，所以此时 意.所以 C + D =6 , D _C =4，得 C =1 ,【答案】2040C-D =7,得C=11，不合题D =5，所以 DCBx A =510x4 =2040 .【例23】为了打开银箱，需要先输入密码，密码由目比2多，2的数目比3多，而且密码能被【难度】4星【题型】解答密码由7位数字组成，如果有两个 3的话，那么至少是 2+3+4 =9位数，与题意不符；只有一个37个数字组成，它