数列考点测试31数列求和

1、考点测试31数列求和木哮点是需考处考知识点常者題型为选择题, 槪览 填空题、解答题，分值5分J2分.中等难度1.熟练掌握寻差、等比氛列灼前N项和公式考纲研读2 掌握非等差.等比数列求和的几种常见呀法3.能在具休的问题情境中识剧数列的等差关系 或等比关系，并能闍相昊知识解决相应的问题彳狂刷小题*基础练、基础小题1 .若数列an的通项公式为an= 2n+ 2n 1，则数列an的前n项和为（）A. 2n+ n2 1 B . 2n+1 + n2 1亠 丁+ 12_ fQ_C. 2+ n 2 D . 2+ n 2答案 C解析8=誓工叩+ 2n 1 = 2n+1 2 + n2 .故选C.12.数列an的前

2、n项和为S,若an= n（n+巧，贝U S等于（A. 1答案解析11c 111115an= 1市s =1 1+23+ 1 6=5 .故选B.3.等差数列aan的前n项和为S,若S= 10a1,则一=（1A. 2 B . 1答案 B4fa1 + a4 a1解析由 8.= 10a1 得10a1，即 d= a1 .所以 d = 1 .故选 B .4.已知数列an满足 a1+a2+a3+ an= 2a2,则()A. ai0 C . aiMa? D . a2= 0答案 D解析 T a1+a2+a3+ an= 2a2，当 n= 1 时，a = 2a2，当 n= 2 时，a1 + a2= 2a2,a2 =

3、0.故选D.才5.设数列an的前n项和为S,且Sn= -3，若a3= 8，则a1=(A.4 B . 1 C . 64 D . 128答案 B 解析 S3 S2= a.叮-叮=8,1二 a1 = 2，故选 B .6.已知数列an的前n项和为S, ai = 1，当n2时，an+ 2St = n,则S1=( )A. 5答案解析由当n2时,an+ 2Sn1= n得an + 1 + 2Sn= n+ 1，上面两式相减得an+ 1 an+ 2an=1，即 an+ 1+ an= 1,所以Si = a1+ (a2 + a3)+ (a4+ as) + (ae + an) = 5x 1+ 1 = 6.故选B.7.S

4、 = 1 2+ 3 4 + ( 1)n 1 n,则 S4m+ S2m+ 1 + St+3(N)的值为()A.C.D .随m的变化而变化答案解析容易求得S2k = k ,S2k + 1 =k+1 ,所以S4m+S2m+1+S2n+ 3= 2 R+it+1 +it+2 = 3.故 选B.&在等比数列an中，前7项的和S7= 16，且a2+a2+ a2= 128,则a 82+ a3 a4+ as一 a6 + a7=()A.8答案解析a1 + a2 +设数列an的公比为 q,贝U a1 a2+ a3 a4+ as a6+ a? = a1(_=驾 + q 1 (q)1+qa1(1 q7 222 a1f

5、1 qa3 + a4+ as +a6 + a? =16 , a1 +a2+ a? = * =128 .1 一 q1 一 qaa1- a2+ a3-a4 + as- a6+ a7=竽=& 故选 A.1 + q1 q1 q16二、高考小题9. （2017 全国卷I ）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣， 他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，其中第一项是20,接下来的两项是20, 21 ,再接下来的三项是20,21，22，依此类推，求满足如下条件

6、的最小整数N: N100且该数列的前N项和为2的整数幕.那么该款软件的激活码是（）A. 440 B . 330 C .220 D . 110答案 A解析 设首项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第 3组，依此类推,N100,令 n(nJ 1 100，解得_.n( n = 2nh 1 2 n.设 N则第n组的项数为n,前n组的项数和为 叩+ 1）由题意知,nA 14且n N,g卩N出现在第13组之后.1 2门第n组的各项和为一=2n 1,前n组所有项的和为1 2是第n+ 1组的第k项，若要使前N项和为2的整数幕，则N- n（n+ 1项的和即第n+1组的kk*前 k 项的和 2 1

7、应与一2 n 互为相反数，即 2 1 = 2+ n(k N , nA 14), k = log 2( n+ 3),29X /1 + 29 n 最小为 29,此时 k= 5.贝U NkJh 5= 440.故选 A.10. （2016 北京高考）已知 an为等差数列，S为其前n项和.若31= 6, 33+ 35= 0,答案 6解析 设等差数列3n的公差为 d, 31= 6, 33 + 35= 0,.6 + 2d+ 6 + 4d= 0, d=2,.S6= 6X 6+( 2) = 6.11.（2017 全国卷n ）等差数列叭的前 n项和为 Sn, 33= 3,S = 10,则葛s =2n答案n+131

8、= 1,直计2d= 3,解析设公差为d,则L + 6d=10,an = n.前 n项和 S = 1 + 2 + + n= n(nJ 1)：1=2 S n(n+1) n n+ 11 1 1&Sk =212+23+n2nn +1 = n+1.12. (2015 全国卷n )设S是数列&的前n项和，且a1= 1, an+1= SS+1,贝U S =答案解析又由a1 = 1，知 SnM 0, S1 1sn+;=1, g卜等差数列，且公差为S a11 = 1+(n-1) X ( 1)=n,1 $=n*n*13. (2018 江苏高考)已知集合 心x|x = 2n- 1, n N, B= x| x= 2

9、, n N.将 AU B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列 an.记S为数列an的前n项和，则使得S12an+1成立的n的最小值为答案 27解析 设2n 1, Bn= 2n, n N，当 ABA+ 1(k, l N)时，2k 12l2k + 1，有 k1 122I 1k + 2 贝y k = 211,设 Ti = A1 + A2+ A2I 1 + & + &+ B，则共有 k + I = 21+1 个数，即 T = S2I 1+ I ,而 A + A+ A2 I 1 = 2X 1 1 + 2 1X2I = 22I 2, B+ B2+ B =勺：2) 2 I+1 2.贝y Ti = 22I

10、2+ 2I +1 2,贝U I , T , n,1 2an + 1的对应关系为ITnan + 112an+1132336210456033079108494121720453182133396611503865780观察到 I = 5 时，T = S2112a39,贝U n 22,38),n N时，存在n,使 Si 12an +1,此时 T= A+A+ A6+B+B2+B3+B+Bs,则当 n22,38) , n N*时,Si = Ts+2= n 10n+ 87. an+1 = A+1-5 = An-4,12ai+1 = 122( n 4) 1=24n 108, Sn 12an+1= n2 3

11、4n+ 195= (n 17)2 94,则 n27 时，S 12a+10,即 nmin =an+1 = S+1 S,-. S+1 S= SS+1,27.模拟小题14.(2018 福建厦门第一学期期末)已知数列an满足an+1 + ( 1)n+ 1an= 2,贝y其前100 项和为(A. 250 B . 200 C . 150 D . 100答案 D解析 n= 2k(k N*)时，a2k+1 a2k= 2,n= 2k 1( k N)时，a2k + a2k1 = 2,n=2k+ 1( k N)时 ,a2k+ 汁a2k+1 = 2,. a2k+1 + a2k-1 = 4,血+ 2+ a2k = 0，

12、二a的前 100项和=(ai + a3)+ (a97 + a99)+(a2 +a+ (a98 + aioo) = 25x4+ 25xo=100.故选D.15. (2018 浙江模拟)已知数列an的通项公式为an= 苏n为偶数,则数列3 an+ n 7的前2n项和的最小值为(5118525A. B . C . 2 D .1058-答案解析设 bn= 3an + n 7, 3a + n 7的前 2n 项和为 Sn,贝U S2n= b1+b2+b3+ bn13 + (1 + 2 + 3 + + 2n) 14n = 91 2“+ 2n 13n,又 2n2 13n=2n 1 1 1 2 J罟，当n4时,

13、f(n) = 2n乎空18是关于n的增函数，又g(n) = 91 ；也是关于n的增函数，SsvSovSzv，. S8= 18516，13S2= 2 , . S5S8S1024的最小项和为 S = 2*1, bn =n的值为答案 9解析当n= 1时，a1 = 4,当 n时，an= S Sn 1 = 2 “ 一 2 = 2 ,所以anup； n =1, 所以2 , nA2.bn= 8, n：1,j2n+ 2 , nA2,& n =1,所以 Tn= + n + 112 +n(n+ 1 十 2 ,当 n = 9 时，T9 = 210十9x 10十nA 2.2= 11161024;当 n= 8 时，T8

14、= 29 + 8X 9+ 2 = 5861024的最小n的值为9.e 1117. (2018 江西南昌莲塘一中质检)函数 f(x) = e百,g(x) = f (x 1) + 1, an= % +gn+g+，n N,则数列an的通项公式为答案an= 2n 1解析 由题意知f （x）的定义域为R,X xe 11 e又 f ( x) =- = _ x = f ( x)，e 十 11 十 e e 1函数 f (x) = e+1 为奇函数，g(x) + g(2 x) = f (x 1) + 1 + f(2 x 1) + 1 = f(x 1)e十1十f(1 x)十 2,x由 f (x) = 为奇函数，知

15、 f(x 1)十 f(1 x) = 0, e I 1 g(x)十 g(2 x) = 2 . an=g1 十 g+g 十十 g , n N，- an =十g響十g叮十+g1, n ，由+得 2an= g*+ g牛1 +g2+ 9牛+ + = (2 n 1) x2,则数列an的通项公式为 an= 2n 1.18. （2018 洛阳质检）已知正项数列an满足an+i 6an=勿+o.若ai= 2，则数列a的前n项和S为答案3n 1解析 -an+ 1 6an =an + 1an , ( an+ 1 3an)(an + 1+ 2an)= 0，-an0，-an+1 = 3cb , an是公比为3的等比数列

16、， S= 2二I1 3 = 3n 1 .1 3119. （2018 石家庄质检二）已知数列an的前n项和S=如果存在正整数 n,使得（m an）（ m an+1）0成立，那么实数 m的取值范围是答案132，41 1 1 1解析 易得 a1 = 2，nA2 时，有 an = Sn Sn1 = 2 才=3x 2.则有 a1as 如i0a2kya4a2(k N).若存在正整数 n,使得(m- an)( m-an+i)0成立，则只需满足ain1，且a5的等差中项.数列bn满足b1= 1，数列( bn+1 bn) an的前as+ a4+ a5 = 28, a4+ 2 是 as,2n项和为2n + n.(

17、1)求q的值;求数列bn的通项公式.解 (1)由a4+ 2是as, a5的等差中项得 a3 + a5 = 2a4+ 4,所以 as + a4 + 空=3a4 + 4 = 28,解得a4 = &1由 as+ a5 = 20 得 8q+ q= 20,M解得q= 2或q= 1,因为q1，所以q= 2. 设Cn = (bn+ 1 bn) an，数列 Cn的前H项和为 S.由Cn =3 n= 1，解得 cn= 4n 1.Sn Si 1, n A 2,由(1)可知 an= 2n 11所以 bn+ 1 bn= (4n 1) 2n 11n 故 bn bn1= (4n 5) 才2, nA2,bn bl = (b

18、n bn 1)+ ( bn1 bn 2)+ 卜)1+ (b2 b1) = (4n 5) 2-2+(4n 9) 1n3+ 7. 1 + 3.1 1设 Tn= 3+ 7 2+ 11 才+(4n 5)2n-2, nA2, 1 2Tn= 3 2+ j 22+(4n 9) 2n2 + (4n 5) -n11122 21n22111 21n 21n 1所以 2Tn = 3 + 4 - 2+ 4 - 2+ 4 - 2 (4n 5) -1因此 Tn= 14 (4ri+ 3) 2n2, nA2,1 又 b1= 1,所以 bn= 15 (4ri+ 3) 2, nA2.经检验，当n= 1时，bn也成立.1故 bn=

19、 15 (4 ri+ 3) 才22. (2018 天津高考)设an是等差数列，其前 n项和为S(n N*) ； bn是等比数列,公比大于 0,其前 n项和为 Tn(n N).已知 bi= 1, b3= b2 + 2, b4= a3+ a5, b5= a4+ 2a6.(1)求 S 和 Tn； 若S +(T1 +T2+Tn)=an+4bn,求正整数n的值.解(1)设等比数列bn的公比为q. 由 b1 = 1, b3 = b2+ 2,可得 q q 2= 0. 因为 q0,可得 q= 2，故 bn= 2n 1.1 一 2n所以 Tn= 1一2 = 2n 1.设等差数列an的公差为d.由 b4= a3

20、+ a5,可得 a + 3d= 4.由 b5= a4+2a6，可得 3a1 + 13d = 16,从而 a1 = 1, d = 1,故 an= n.所以$=笔巳2 X f 1 一 2“ (2)由(1)，有T1+ T2+Tn= (21 +22+2n) n=_一n=2n+1 n 2.1 2由 S+(T1+ T2+ Tn) = an+ 4bn可得叩+ 1 + 2n+1 n 2= n+ 2n+1整理得n2 3n 4= 0，解得n= 1（舍去）或n= 4.所以n的值为4.3. （2017 天津高考）已知an为等差数列，前 n项和为S（n N）, bn是首项为2的 等比数列，且公比大于 0，b2 + b3

21、 = 12, b3= a4 2ai, Si = 11 b4.（1）求an和bn的通项公式;求数列a2nb2n1的前n项和（n N）.解（1）设等差数列an的公差为d,等比数列 bn的公比为q.由已知 b2+ b3= 12，得 b1(q + q2) = 12,而 b1= 2,所以 q + q 6= 0,解得 q= 2 或 q= 3, 又因为q0，所以q= 2.所以bn= 2n.由 b3= a4 2a1，可得 3d a1= &由 S11= 11 b4,可得 a1 + 5d= 16，联立，解得 a1= 1, d= 3，由此可得an= 3n2.所以，数列an的通项公式为an= 3n 2,数列bn的通项

22、公式为bn= 2n.(2)设数列a2nb2n1的前 n 项和为 Tn,由 a2n= 6门一2, b2n1 = 2X4有 a2nb2n1 = (3 n1) 4n,故 Tn= 2X 4+ 5X4 2+ 8X4 3 + (3n 1)-4：4Tn= 2X4 2 + 5X4 3 + 8X4 4 + (3 n 4) 4 n + (3n 1) 4 n+1,n + 17 4 (3n -上述两式相减，得3Tn = 2X 4+ 3X4 2+ 3X4 3 + + 3X4 n (3 n 1)-4 1) 4n+1=(3n 2) 4 n+1 &3n一 28所以数列 a2nb2n 1的前n项和为一3 4 n+ 1 + 3

23、.33二、模拟大题4. （2018 山西太原模拟）已知数列an的前n项和为S =号严，数列bn满足bn =an + an+1( n N).（1）求数列bn的通项公式; 若cn = 2an - (bn 1)( n N)，求数列6的前n项和Tn.解当n= 1时，ai= S= 1;当 n2 时，an= S -S-1 =葺1严=n,又 ai= 1 符合上式，an= n( n N),-bn = an + an + 1 = 2n + 1.由(1)得 Cn = 2an( bn 1) = n -2n+1_234nTn = 1X2 + 2X2 + 3X2 + (n 1) X2 +nx22Tn= 1X2 + 2X2 + 3X2 + (n 1) X2 + nX2n/z/口_ 2 3 4n +1_ n+ 2|1 2 _ n+ 2 . .、 _ n+ 2 .一得，一Tn= 2+2+2+ 2 n-2 = n-2 = (1 n) 2 4,1 2 Tn = (n 1) 2 n+2+ 4.5. （2018 沈阳质检）已知数列a.是递增的等比数列，且a1 + a4 = 9, a2a3= &（1）求数列an