分式方程的增根与无解详解(最新整理)

1、分式方程的增根与无解讲解24x35例 1 解方程x - 2 - x 2 - 4 =x + 2解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得 2（x+2）-4x=3（x-2）解这个方程，得 x=2经检验：当 x=2 时，原方程无意义，所以 x=是原方程的增根所以原方程无解x - 1例 2 解方程=x + 23 - x2 + x+ 2 解：去分母后化为 x13x2（2x）整理得 0x8因为此方程无解，所以原分式方程无解x - 3m例 3（2007 湖北荆门）若方程=无解，则 m= x - 22 - xx - 3m解：原方程可化为=x - 2x - 2方程两边都乘以 x2，得 x3=m 解这个方程，得

2、x=3m因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根即 x=2， 所以 2=3m，解得 m=1故当 m=1 时，原方程无解例 4 当 a 为何值时，关于 x 的方程2+x - 2ax=x2 - 43x + 2会产生增根？解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得 2（x2）ax3（x2）整理得（a1）x10若原分式方程有增根，则 x2 或2 是方程的根 把 x2 或2 代入方程中，解得，a4 或 6 若将此题“会产生增根”改为“无解”，即：当 a 为何值时，关于 x 的方程2+x - 2ax=x2 - 43x + 2无解？此时还要考虑转化后的整式方程（a1）x10 本身无解的情况，解法如下： 解

3、：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得 2（x2）ax3（x2）整理得（a1）x10若原方程无解，则有两种情形：（1） 当 a10（即 a1）时，方程为 0x10，此方程无解，所以原方程无解。（2） 如果方程的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解原方程若有增根，增根为 x2或2，把 x2 或2 代入方程中，求出 a4 或 6综上所述，a1 或 a一或 a6 时，原分式方程无解 例 5：（2005 扬州中考题）6m若方程-=1 有增根，则它的增根是（） (x + 1)(x - 1)x - 1a、0b、1c、-1d、1 或-1分析：使方程的最简公分母 (x+1)(x-1)=0 则 x=-

4、1 或 x=1,但不能忽略增根除满足最简公分母为零,还必须是所化整式方程的根。原方程易化成整式方程：6-m(x+1)=x2-1整理得：m(x+1)=7-x2当 x= -1 时,此时 m 无解； 当 x=1 时,解得 m=3。由此可得答案为 b。xm例 6：关于 x 的方程-2=有一个正数解，求 m 的取值范围。x - 3x - 3分析：把 m 看成常数求解，由方程的解是正数，确定 m 的取值范围，但不能忽略产生增根时 m 的值。原方程易化为整式方程：x-2 (x-3)=m 整理得： x=6-m原方程有解，故 6-m 不是增根。6-m3 即 m3x0m6由此可得答案为 m 的取值范围是 m6 且

5、 m3。一、分式方程有增根，求参数值例 7a 为何值时，关于 x 的方程x 2 -4 x + a x -3=0 有增根？解：原方程两边同乘以（x-3）去分母整理，得x2-4x+a=0（）因为分式方程有增根，增根为 x=3，把 x=3 代入（）得，9-12+a=0a=3x 2 -4 x + a所以 a=3 时，x -3=0 有增根。例 8m 为何值时，关于 x 的方程 1 x -1 + m x -2 2m+ 2 = x 2 -3x + 2 有增根。解：原方程两边同乘以（x-1）（x-2）去分母整理，得（1+m）x=3m+4（） 3因为分式方程有增根，据性质（2）知：增根为 x=1 或 x=2。把

6、 x=1 代入（），解得 m=- 2入（）得 m=-2 3；把 x=2 代所以 m=- 2 或-2 时，原分式方程有增根 k2点评：分式方程有增根，不一定分式方程无解（无实根），如方程x +1 +1= ( x +1)( x -2)有增根，可求得 k=-283 ，但分式方程这时有一实根 x= 3 。二、分式方程是无实数解，求参数值例 9若关于 x 的方程 x -2x -5 m = x -5+2 无实数，求 m 的值。解：去分母，得 x-2=m+2x-10，x=-m+8因为原方程无解，所以 x=-m+8 为原方程的增根。又由于原方程的增根为 x=5，所以-m+8=5所以 m=3例 10若解分式方程

7、 2x - m + 1 = x + 1 产生增根，则 m 的值是（）x + 1x + xxa. -1或- 2b. -1或2c. 1 或2d. 1或- 2分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是： x = 0或x = -1， 化简原方程为： 2x 2 - (m + 1) = ( x + 1) 2 ， 把 x = 0或x = -1 代入解得m = 1或- 2 ，故选择 d。例 11. m 为何值时，关于 x 的方程2+x - 2mx=x 2 - 43x + 2会产生增根？解：方程两边都乘以 x 2 - 4 ，得2x + 4 + mx = 3x - 6整理，得(m - 1)

8、 x = -10当m 1时，x = -10m - 1如果方程产生增根，那么x 2 - 4 = 0，即x = 2或x = -2（1）若x = 2，则-10= 2m - 1 m = -4（2）若x = -2，则-10m - 1= -2 m = 6（3） 综上所述，当m = -4或6时，原方程产生增根说明：分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根例 12、 解方程： 12x - 10 + 32x - 34 = 24x - 23 + 16x - 194x - 38x - 98x - 74x - 5分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。解：由原方程得：

9、3 -14x - 3+ 4 +28x - 9= 3 -28x - 7+ 4 +14x - 5即28x - 9-28x - 6=28x - 10-28x - 7于是1=1，(8x - 9)(8x - 6)(8x - 10)(8x - 7)所以(8x - 9)(8x - 6) = (8x - 10)(8x - 7)解得：x = 1经检验：x = 1是原方程的根。例 13、若解分式方程 2x - m + 1 = x + 1 产生增根，则 m 的值是（）x + 1x + xxa. -1或- 2b. -1或2c. 1 或2d. 1或- 2分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是

10、： x = 0或x = -1， 化简原方程为： 2x 2 - (m + 1) = ( x + 1) 2 ， 把 x = 0或x = -1 代入解得m = 1或- 2 ，故选择 d。练习题1 解方程2-x - 24x=x 2 - 43x + 22 解方程x - 1 =x + 23 - x2 + x+ 2 x - 3m3（2007 湖北荆门）若方程=无解，则 m= x - 22 - x4 当 a 为何值时，关于 x 的方程2+x - 2ax=x2 - 43x + 2会产生增根？5 当 a 为何值时，关于 x 的方程2+x - 2ax=x2 - 43x + 2无解？“”“”at the end, x

11、iao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and