勾股定理典型练习题(最新整理)

1、新人教版八年级下册勾股定理全章知识点和典型例习题一、基础知识点：勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 a ， b ，斜边为c ，那么 a2 + b2 = c2.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理hegfba常见方法如下：dc17方法一： 4sd+ s正方形efgh= s正方形abcd， 4 ab + (b - a)2 = c2 ，化简可证2方法二：四个直角三角形的面积

2、与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直acb角三角形的面积与小正方形面积的和为 s = 4 1 ab + c2 = 2ab + c22大正方形面积为ccccbaas = (a + b)2 = a2 + 2ab + b21所以 a2 + b2 = c2bb11a方法三： s梯形=(a + b) (a + b) ， s2梯形= 2sdade+ sdabe= 2 ab +22c2 ，化简得证ab.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形， 对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。a2 + b2c2 - a2.勾股定理的应用已知直角三角形

3、的任意两边长，求第三边在dabc 中， c = 90 ，a a dccbea则c =， b =， a =bbcc2 - b2知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系可运用勾股定理解决一些实际问题.勾股定理的逆定理如果三角形三边长 a ， b ， c 满足 a2 + b2 = c2 ，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和 a2 + b2 与较长边的平方c2 作比较，若它们相等时，以 a ， b ， c 为三边的三角形是直角三角形； 若 a

4、2 + b2 c2 ，时，以 a ， b ， c 为三边的三角形是锐角三角形； 定理中 a ， b ， c 及 a2 + b2 = c2 只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长 a ， b， c 满足 a2 + c2 = b2 ，那么以 a ， b ， c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边.勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 a2 + b2 = c2 中， a ， b ， c 为正整数时，称 a ， b ， c 为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3, 4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ； 7, 24, 25 等用含字母的

5、代数式表示 n 组勾股数：n2 -1, 2n, n2 +1 （ n 2, n 为正整数）； 2n +1, 2n2 + 2n, 2n2 + 2n +1 （ n 为正整数） m2 - n2 , 2mn, m2 + n2 （ m n, m ， n 为正整数）勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解.勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形

6、三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题cc30caba的解决常见图形：10、互逆命题的概念dbbda如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。二、经典例题精讲题型一：直接考

7、查勾股定理例题 1 例.在dabc 中， c = 90 已知 ac = 6 ， bc = 8 求 ab 的长已知 ab = 17 ， ac = 15 ，求 bc 的长：cbda题型二：利用勾股定理测量长度例题 2 如果梯子的底端离建筑物 9 米，那么 15 米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？例题 3如图（8），水池中离岸边 d 点 1.5 米的 c 处，直立长着一根芦苇，出水部分 bc 的长是 0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端 b 恰好落到 d 点，并求水池的深度 ac.题型三：勾股定理和逆定理并用例题 4如图 3，正方形 abcd 中，e 是 bc 边上的中点，f 是 ab 上一点，

8、且1fb =ab 那么def 是直角三角形吗？为什么？4例题5 如图4，已知长方形abcd中ab=8cm,bc=10cm,在边cd上取一点e，将a de 折叠使点 d 恰好落在 bc 边上的点 f，求 ce 的长.题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直例题6如图5王，师傅想要检测桌子的表面ad边是否垂直与ab边和cd边他，测得ad=80c m，ab=60cm，bd=100cm，ad 边与 ab 边垂直吗？怎样去验证 ad 边与 cd 边是否垂直？例题 7 有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高 4.5 米的墙上，任何东西只要移至 5 米以内， 灯就自动打开，一个身高 1.5 米的学生，要走到离

9、门多远的地方灯刚好打开？题型六：旋转问题：3变式 1：如图，p 是等边三角形 abc 内一点，pa=2,pb= 2,pc=4,求abc 的边长.变式2、如图，abc为等腰直角三角形，bac=90，e、f是bc上的点，且eaf=45 试探究 be2、cf 2、ef 2 间的关系，并说明理由.题型七：关于翻折问题例 1、如图，矩形纸片 abcd 的边 ab=10cm，bc=6cm，e 为 bc 上一点，将矩形纸片沿 ae 折叠，点 b恰好落在 cd 边上的点 g 处，求 be 的长.变式：如图，ad 是abc 的中线，adc=45，把adc 沿直线 ad 翻折，点 c 落在点 c的位置，bc=4,

10、求 bc的长.题型八：关于勾股定理在实际中的应用：例 1、如图，公路 mn 和公路 pq 在 p 点处交汇，点 a 处有一所中学，mqap=160 米，点 a 到公路 mn 的距离为 80 米，假使拖拉机行驶时，周围 100 米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路 mn 上沿 pn 方pn向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知a拖拉机的速度是 18 千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？题型九：关于最短性问题例 5、如右图 119，壁虎在一座底面半径为 2 米，高为 4 米的油罐的下底边沿 a 处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的 b 处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫

11、，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?（取 3.14，结果保留 1 位小数，可以用计算器计算）变式： 如图为一棱长为 3cm 的正方体，把所有面都分为 9 个小正方形，其边长都是 1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行 2cm， 则它从下地面 a 点沿表面爬行至右侧面的 b 点，最少要花几秒钟？一、选择题1. 下列各数组中，不能作为直角三角形三边长的是() a. 9,12,15b.5,12,13c. 6,8,10d. 3,5,73. 将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的

12、倍数后，得到的三角形() a.可能是锐角三角形b.不可能是直角三角形c.仍然是直角三角形d.可能是钝角三角形4. 在测量旗杆的方案中，若旗杆高为21m，目测点到杆的距离为15m，则目测点到杆顶的距离为（设目高为1m）()a.20mb.25mc.30md.35m5. 一等腰三角形底边长为10cm，腰长为13cm，则腰上的高为()a. 12cmb.c.d.6. 已知直角三角形一个锐角 60，斜边长为 1，那么此直角三角形的周长是（）3 + 335a.b.3c.+2d.22二、填空题7. 如图,64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母 a 所代表的正方形面积是.（第6题)_(第5题)8. 如图

13、，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处.树折断之前有米.9. 已知甲往东走了4km，乙往南走了3km，这时甲、乙两人相距.10. 一个长方形的长为12cm，对角线长为13cm，则该长方形的周长为.11. 以直角三角形的三边为边向形外作正方形 p、q、k，若 sp4，sq9，则 sk.12. 直角三角形两条直角边的长分别为 5、12，则斜边上的高为.13. 在abc 中，ab8cm，bc15cm，要使b90，则 ac 的长必为cm.三、解答题11.p 为正方形 abcd 内一点，将abp 绕 b 顺时针旋转90到cbe 的位置，若 bpa.求：以 pe 为边长的正方形的面积.12

14、. 已知:如图13,abc 中,ab=10,bc=9,ac=17.求 bc 边上的高.13. 从旗杆的顶端系一条绳子，垂到地面还多 2 米，小敏拉起绳子下端绷紧，刚好接触地面，发现绳子下端距离旗杆底部 8 米，小敏马上计算出旗杆的高度，你知道她是如何解的吗？13.如下图，一个牧童在小河的南 4km 的 a 处牧马，而他的小屋位于他的南 7km 东 8km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？ 小河牧童a北东b 小屋1、 如 图 ， c=90 ， ac=3， bc=4， ad=12， bd=13，判断abd 的形状，并说明理由。2、已知 a、b、c

15、为abc 的三边，且满足 a2c2b2c2=a4b4，试判断abc 的形状.3、（10 分）已知：在abc 中，a、b、c 的对边分别是 a、b、c，满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断abc 的形状.4、已知：在abc 中，c=90，ad 为bac 的角平分线，cd=6cmbd=10cm，求 ac 的长？5、已知：在abc 中，ab=13cm，ac=5cm，边上的中线 ad=6cm， 求 bc 的长？73526、 已知：在abc 中，c=90,bd、ae 分别是 ac、bc 边的中线，ae=,bd=,求 ab 边的长？“”“”at the end, xiao bia

16、n gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees