勾股定理综合难题附答案(超好打印版)(最新整理)

1、练习题1 如图，圆柱的高为 10 cm，底面半径为 2 cm.，在下底面的 a 点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与 a 点相对的 b 点处，需要爬行的最短路程是多少?2 如图，长方体的高为 3 cm，底面是边长为 2 cm 的正方形. 现有一小虫从顶点 a 出发，沿长方体侧面到达顶点 c 处，小虫走的路程最短为多少厘米?答案 ab=5bbccaadbcacb3、一只蚂蚁从棱长为 1 的正方体纸箱的 b点沿纸箱爬到 d 点，那么它所行的最短路线的长是 。4、如图，小红用一张长方形纸片 abcd 进行折纸，已知该纸片宽 ab 为 8cm，长 bc为10cm当小红折叠时，顶点 d 落在 bc 边上的

2、点 f 处（折痕为 ae）想一想，此时 ec 有多长？ad5如图，将一个边长分别为 4、8 的长方形纸片 abcd 折叠，使 c 点与 a 点重合，则 eb 的长是（）e5a3b4cd5bfcf6已知：如图，在abc中，c=90，b=30，ab的垂直平分线交bc于d，垂足为e，d=4cmad求ac的长bcecd7、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 ac=6，bc=8， 现将直角边 ac 沿直线 ad 折叠，使其落在斜边 ab 上，且与 ae 重合，则 cd 的长为aeb8、如图，在矩形 abcd 中， ab = 6, 将矩形 abcd 折叠，使点 b 与点 d 重合， c 落在c 处，若

3、ae：be = 1：2 ，则折痕 ef 的长为。9、如图，已知：点 e 是正方形 abcd 的 bc 边上的点，现将dce 沿折痕 de 向上翻折，使 dc落在对角线 db 上，则 ebce10、如图，ad 是abc 的中线，adc45o，把adc 沿 ad 对折，点 c 落在c的位置，若 bc2，则 bcfaabcedcbdc题5图11. 如图 1，有一块直角三角形纸片，两直角边 ac6cm，bc8cm，现将直角边 ac 沿直线 adeb折叠，使它落在斜边 ab 上，且与 ae 重合，则 cd 等于（）aa.2cmb.3 cmc.4 cmd.5 cmcd图 112、有一个直角三角形纸片，两直

4、角边 ac=6cm,bc=8cm,现将直角边 ac 沿cab 的角平分线 ad折叠，使它落在斜边 ab 上，且与 ae 重合，你能求出 cd 的长吗？dcba13、如图，在abc 中，b= 90o ，ab=bc=6，把eabc 进行折叠，使点 a 与点 d 重合，bd:dc=1:2，折痕为 ef，a点 e 在 ab 上，点 f 在 ac 上，求 ec 的长。f14. 已知，如图长方形 abcd 中，ab=3cm，ad=9cm，将此长方形折叠， e使点b 与点 d 重合，折痕为 ef，则abe 的面积为（）ca、6cm2b、8cm2c、10cm2d、12cm2bdaedbfc第 11 题图15.

5、 如图，将矩形 abcd 沿 ef 折叠，使点 d 与点 b 重合，已知 ab3，ad9，求 be 的长dacb16、如图，每个小方格的边长都为 1求图中格点四边形 abcd 的面积。17、如图，已知：在dabc 中， acb = 90 ，分别以此直角三角形的三边为直径画半圆，试说明图中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等18. 如图 8，有一块塑料矩形模板 abcd，长为 10cm，宽为 4cm，将你手中足够大的直角三角板 phf 的直角顶点 p 落在 ad 边上(不与 a、d 重合)，在 ad 上适当移动三角板顶点 p：能否使你的三角板两直角边分别通过点 b 与点 c？若能， 请你求出这时

6、 ap 的长；若不能，请说明理由再次移动三角板位置，使三角板顶点 p 在 ad 上移动， 直角边 ph 始终通过点 b，另一直角边 pf 与 dc 的延长线交于点 q，与 bc 交于点 e，能否使 ce2cm？若能， 请你求出这时 ap 的长；若不能，请你说明理由图 821能.设 apx 米，由于 bp216+x2，cp216+(10x)2，而在 rtpbc 中，有 bp2+ cp2bc2，即 16+x2+16+(10x)2100，所以 x210x+160，即(x5)29，所以 x53，所以 x8， x2，即 ap8 或 2，能.仿照可求得 ap4.19. 如图abc 中， acb = 90,

7、 ac = 12, bc = 5, an = ac, bm = bc 则 mn=420、直角三角形的面积为 s ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（）（a）（c） 2+ 2dd 2 + sd 2 + s+ 2d（b）（d） 2- dd 2 - sd 2 + s+ ds = 1 ab解:设两直角边分别为a, b ,斜边为c ,则c = 2d ,2.由勾股定理,得a2 + b2 = c2 .()a + b 2 = a2 + 2ab + b2 = c2 + 4s = 4d 2 + 4sd 2 + s所以.d 2 + s所以a + b = 2.所以a + b + c = 2+ 2d .故选（c

8、）21在dabc 中, ab = ac = 1, bc 边上有 2006 个不同的点 p1 , p2 ,l p2006 ,m = ap2 + bp pc (i = 1, 2,l2006)m + m +lm记 iiii,则 122006 =.22如图所示，在 rtdabc 中, bac = 90, ac = ab, dae = 45 ,且 bd = 3 ,ce = 4 ,求 de 的长.23、如图，在abc 中，ab=ac=6，p 为 bc 上任意一点，请用学过的知识试求 pcpb+pa2的值。abcp24、如图在 rtabc 中, c = 90, ac = 4, bc = 3 ，在 rtabc

9、 的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形。如图所示：要求：在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法，在图中标明拼接的直角三角形的三边长（请同学们先用铅笔画出草图，确定后再用 0.5mn 的黑色签字笔画出正确的图形）25. 如图，a、b 两个村子在河 cd 的同侧，a、b 两村到河的距离分别为 ac=1km，bd=3km， cd=3km，现在河边 cd 上建一水厂向 a、b 两村输送自来水，铺设水管的费用为 20000 元/千米， 请你在 cd 选择水厂位置 o，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用 f。26. 已知：如图，abc 中，c = 90，点 o

10、 为abc 的三条角平分线的交点，odbc，oe ac，ofab，点 d、e、f 分别是垂足，且 bc = 8cm，ca = 6cm，则点 o 到三边 ab，ac 和 bc的距离分别等于cma cedoabfbc第 26 题图p第 28 题图27（8 分）如图，在abc 中，ab=ac，p 为 bc 上任意一点，请说明：ab2ap2=pbpc。28、如图，已知： c = 90 ， am = cm ， mp ab 于 p求证：bp2 = ap2 + bc 2 pbcam29（本题满分 6 分）如图，一个牧童在小河的南 4km 的a 处牧马，而他正位于他的小屋 b 的西 8km北 7km 处，他想

11、把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？ 小河北牧童 a东b 小屋2.6m30. （本题满分 6 分）如图所示，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高 4 米，宽 2.8 米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道.31. 在一棵树的 10 米高 b 处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树 20 米处的池塘的 a 处；另一只爬到树顶 d 后直接跃到 a 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米?32. 在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面 1 米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐

12、及水面，已知红莲移动的水平距离为 2 米，求这里的水深是多少米?33. 长为 4 m 的梯子搭在墙上与地面成 45角，作业时调整为 60角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了m34. 已知：如图，abc 中，c90，d 为 ab 的中点，e、f 分别在 ac、bc 上，且 de df求证：ae2bf2ef21 cb35. 已知：如图，在正方形 abcd 中，f 为 dc 的中点，e 为cb 的四等分点且ce 4fe，求证：af36. 已知abc 中，a2b2c210a24b26c338，试判定abc 的形状，并说明你的理由37. 已知 a、b、c 是abc 的三边，且 a2c2b2c2a4b

13、4，试判断三角形的形状38. 如图，长方体的底面边长分别为 1cm 和 3cm，高为 6cm如果用一根细线从点 a 开始经过四个侧面缠绕一圈到达点 b，那么所用细线最短需要多长?如果从点 a 开始经过四个侧面缠绕 n 圈到达点 b，那么所用细线最短需要多长?39、a、b 为任意正数，且 ab，求证：边长为 2ab、 a2b2、a2+b2 的三角形是直角三角形40. 三角形的三边长为(a + b)2 = c 2 + 2ab ,则这个三角形是()（a） 等边三角形（b） 钝角三角形（c） 直角三角形（d） 锐角三角形.41.（12 分）如图，某沿海开放城市 a 接到台风警报，在该市正南方向 100

14、km 的 b 处有一台风中心，沿 bc 方向以 20km/h 的速度向 dcadb第 24 题图的距移动，已知城市 a 到 bc离 ad=60km，那么台风中心经过多长时间从 b 点移到 d 点？如果在距台风中心 30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在 d 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？42.（14 分）abc 中，bc = a ，ac = b ，ab = c ，若c=90，如图（1），根据勾股定理，则a 2 + b 2 = c 2 ，若abc 不是直角三角形，如图（2）和图（3），请你类比勾股定理，试猜想a 2 + b 2 与c 2 的关系，并证明你

15、的结论. 解：若abc 是锐角三角形，则有 a2+b2c2若abc 是钝角三角形，c 为钝角，则有 a2+b20，x02ax0a2+b2c2当abc 是钝角三角形时，743（10 分）如图，a 市气象站测得台风中心在 a 市正东方向 300 千米的 b 处，以 10千米/时的速度向北偏西 60的 bf 方向移动，距台风中心 200千米范围内是受台风影响的区域（1）a 市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；（2）如果 a 市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？44、将一根 24cm 的筷子，置于底面直径为 15cm，高 8cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度

16、为 hcm，则 h 的取值范围是（）ah17cmbh8cmc15cmh16cmd7cmh16cm45 如 图 ， 已 知 ：，于 p.求 证 ：.46【变式 2】已知：如图，b=d=90，a=60，ab=4，cd=2。求：四边形 abcd的面积。47【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高 2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门形状如图的某工厂， 问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?（一）转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决49、如图所示，abc 是等腰直角三角形，ab=ac，d 是斜边 bc 的中点，e、f 分别是 ab

17、、ac边上的点，且 dedf，若 be=12，cf=5求线段 ef 的长。50 如图，在等腰abc 中，acb=90，d、e 为斜边 ab 上的点，且dce=45。求证：de2=ad2+be2。cadebcabd51 如图，在a bc 中，ab=13,bc=14,a c=15，则 bc 边上的高 a d=。52 如图，长方形 abcd 中，ab=8，bc=4，将长方形沿 ac 折叠，点 d 落在点 e 处，则重叠部分afc 的面积是。fdcaaabebdcbdc53 在abc 中，ab=15 ,ac=20,bc 边上的高 a d=12，试求 bc 边的长.54 在a bc 中，d 是 bc 所

18、在直线上一点，若 ab=l0,bd=6,ad=8,ac=17，求abc 的面积。55. 若abc 三边 a、b、c 满足 a2b2c2338=10a+24b+26c，abc 是直角三角形吗？为什么？56. 在abc 中，bc=1997，ac=1998，ab2=1997+1998，则abc 是否为直角三角形？为什么？注意 bc、ac、ab 的大小关系。abbcac。ab2+bc2=1997+19972+1998=1997（1+1997）+1998=19971998+1998=19982= ac2。57. 一只蚂蚁在一块长方形的一个顶点 a 处，一只苍蝇在这个长方形上和蜘蛛相对的顶点c1 处，如图

19、，已知长方形长 6cm，宽 5 cm，高 3 cm。蜘蛛因急于捉到苍蝇，沿着长方形的表面向上爬，它要从 a 点爬到 c1 点，有很多路线，它们有长有短，蜘蛛究竟应该沿着怎样的路线爬上去，所走的距离最短？你能帮蜘蛛求出最短距离吗？c1a958. 木箱的长、宽、高分别为 40dm、30dm 和 50dm，有一 70dm 的木棒，能放进去吗？请说明理由。1259. 已知abc 的三边 a、b、c，且 a+b=17，ab=60，c=13, abc 是否是直角三角形？你能说明理由吗？160. 如图，e 是正方形 abcd 的边 cd 的中点，延长 ab 到 f，使 bf= 4 ab，那么 fe 与 fa

20、 相等吗？为什么？ecbdaf1861. 如图，a=60, b=d=90。若 bc=4，cd=6，求 ab 的长。adbc1962如图，xoy=60，m 是xoy 内的一点，它到 ox 的距离 ma 为 2。它到 oy 的距离为 11。求 om 的长。mxoy20带答案版的用面积证明勾股定理方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。图（1）中，所以。方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。图（2）中，所以。方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）1 和（3）2 所示的两个形状相同的正方形。在（3）1 中，甲的面积=（大正方形面积）（4 个直角三角形面积

21、）,在（3）2 中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）（4 个直角三角形面积）, 所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：.方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。，所以。练习题1 如图，圆柱的高为 10 cm，底面半径为 2 cm.，在下底面的 a 点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与 a 点相对的 b 点处，需要爬行的最短路程是多少?2 如图，长方体的高为 3 cm，底面是边长为 2 cm 的正方形. 现有一小虫从顶点 a 出发，沿长方体侧面到达顶点 c 处，小虫走的路程最短为多少厘米?答案 ab=5bbccaadbcacb3、一只蚂蚁从棱长为 1 的正方体纸箱的 b点沿纸箱爬到 d

22、 点，那么它所行的最短路线的长是 。4、如图，小红用一张长方形纸片 abcd 进行折纸，已知该纸片宽 ab 为 8cm，长 bc为10cm当小红折叠时，顶点 d 落在 bc 边上的点 f 处（折痕为 ae）想一想，此时 ec 有多长？ade5如图，将一个边长分别为 4、8 的长方形纸片 abcd 折叠， 使 c 点与 a 点重合，则 eb 的长是（）5a3b4cd5f6已知：如图，在abc中，c=90，b=30，ab的垂直平分线交bc于d，垂足为e，d=4cmad求ac的长bcecd7、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 ac=6，bc=8， 现将直角边 ac 沿直线 ad 折叠，使其落在斜

23、边 ab 上，且与 ae 重合，则 cd 的长为aeb8、如图，在矩形 abcd 中， ab = 6, 将矩形 abcd 折叠，使点 b 与点 d 重合， c 落在c 处，若 ae：be = 1：2 ，则折痕 ef 的长为。9、如图，已知：点 e 是正方形 abcd 的 bc 边上的点，现将dce 沿折痕 de 向上翻折，使 dc落在对角线 db 上，则 ebce10、如图，ad 是abc 的中线，adc45o，把adc 沿 ad 对折，点 c 落在c的位置，若 bc2，则 bcfaabcedcbdc题5图11. 如图 1，有一块直角三角形纸片，两直角边 ac6cm，bc8cm，现将直角边 a

24、c 沿直线 adeb折叠，使它落在斜边 ab 上，且与 ae 重合，则 cd 等于（）aa.2cmb.3 cmc.4 cmd.5 cmcd图 112、有一个直角三角形纸片，两直角边 ac=6cm,bc=8cm,现将直角边 ac 沿cab 的角平分线 ad折叠，使它落在斜边 ab 上，且与 ae 重合，你能求出 cd 的长吗？cd13、如图，在abc 中，b= 90o ，ab=bc=6，把abc 进行折叠，使点 a 与点 d 重合，bd:dc=1:2，折痕为 ef，a点 e 在 ab 上，点 f 在 ac 上，求 ec 的长。f14. 已知，如图长方形 abcd 中，ab=3cm，ad=9cm，

25、将此长方形折叠， e使点b 与点 d 重合，折痕为 ef，则abe 的面积为（）ca、6cm2b、8cm2c、10cm2d、12cm2bdaedbfc第 11 题图15. 如图，将矩形 abcd 沿 ef 折叠，使点 d 与点 b 重合，已知 ab3，ad9，求 be 的长dacb16、如图，每个小方格的边长都为 1求图中格点四边形 abcd 的面积。17、如图，已知：在dabc 中， acb = 90 ，分别以此直角三角形的三边为直径画半圆，试说明图中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等18. 如图 8，有一块塑料矩形模板 abcd，长为 10cm，宽为 4cm，将你手中足够大的直角三角板

26、phf 的直角顶点 p 落在 ad 边上(不与 a、d 重合)，在 ad 上适当移动三角板顶点 p：能否使你的三角板两直角边分别通过点 b 与点 c？若能， 请你求出这时 ap 的长；若不能，请说明理由再次移动三角板位置，使三角板顶点 p 在 ad 上移动， 直角边 ph 始终通过点 b，另一直角边 pf 与 dc 的延长线交于点 q，与 bc 交于点 e，能否使 ce2cm？若能， 请你求出这时 ap 的长；若不能，请你说明理由图 821能.设 apx 米，由于 bp216+x2，cp216+(10x)2，而在 rtpbc 中，有 bp2+ cp2bc2，即 16+x2+16+(10x)21

27、00，所以 x210x+160，即(x5)29，所以 x53，所以 x8，x2，即 ap8 或 2，能.仿照可求得 ap4.19. 如图abc 中， acb = 90, ac = 12, bc = 5, an = ac, bm = bc 则 mn=420、直角三角形的面积为 s ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（）（a）（c） 2+ 2dd 2 + sd 2 + s+ 2d（b）（d） 2- dd 2 - sd 2 + s+ ds = 1 ab解:设两直角边分别为a, b ,斜边为c ,则c = 2d ,2.由勾股定理,得a2 + b2 = c2 .()a + b 2 = a2 +

28、2ab + b2 = c2 + 4s = 4d 2 + 4sd 2 + sd 2 + s所以.所以a + b = 2.所以a + b + c = 2+ 2d .故选（c）21在dabc 中, ab = ac = 1, bc 边上有 2006 个不同的点 p1 , p2 ,l p2006 ,m = ap2 + bp pc (i = 1, 2,l2006)m + m +lm记 iiii,则 122006 =.解:如图,作 ad bc 于 d ,因为 ab = ac = 1,则 bd = cd .由勾股定理,得 ab2 = ad2 + bd2 , ap2 = ad2 + pd2 .所以ab2 - a

29、p2 = bd2 - pd2= ( bd - pd)( bd + pd) = bp pc所以 ap2 + bp pc = ab2 = 12 .因此m + m +lm= 12 2006 = 2006 .12200622如图所示，在 rtdabc 中, bac = 90, ac = ab, dae = 45 ,且 bd = 3 ,ce = 4 ,求 de 的长.解:如右图：因为dabc 为等腰直角三角形,所以abd = c = 45 .所以把daec 绕点 a 旋转到dafb ,则dafb daec .所以 bf = ec = 4, af = ae, abf = c = 45 .连结 df .所以

30、ddbf 为直角三角形. 由勾股定理,得 df 2 = bf 2 + bd2 = 42 + 32 = 52 .所以 df = 5 .因为dae = 45, 所以daf = dab + eac = 45 .所以dade dadf (sas ) .所以 de = df = 5 .23、如图，在abc 中，ab=ac=6，p 为 bc 上任意一点，请用学过的知识试求 pcpb+pa2的值。abcp24、如图在 rtabc 中, c = 90, ac = 4, bc = 3 ，在 rtabc 的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形。如图所示：要求：在两个备用图中分别画出两种与示

31、例图不同的拼接方法，在图中标明拼接的直角三角形的三边长（请同学们先用铅笔画出草图，确定后再用 0.5mn 的黑色签字笔画出正确的图形）解：要在 rtabc 的外部接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，关键是腰与底边的确定。要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长，这需要用到勾股定理知识。下图中的四种拼接方法供参考。1025. 如图，a、b 两个村子在河 cd 的同侧，a、b 两村到河的距离分别为 ac=1km，bd=3km， cd=3km，现在河边 cd 上建一水厂向 a、b 两村输送自来水，铺设水管的费用为 20000 元/千米， 请你在 cd 选择水厂位置 o，使铺设水管的

32、费用最省，并求出铺设水管的总费用 f。26. 已知：如图，abc 中，c = 90，点 o 为abc 的三条角平分线的交点，odbc，oe ac，ofab，点 d、e、f 分别是垂足，且 bc = 8cm，ca = 6cm，则点 o 到三边 ab，ac 和 bc的距离分别等于cma cedoabfbc第 26 题图p第 28 题图27（8 分）如图，在abc 中，ab=ac，p 为 bc 上任意一点，请说明：ab2ap2=pbpc。28、如图，已知： c = 90 ， am = cm ， mp ab 于 p求证：bp2 = ap2 + bc 2 pbcam29（本题满分 6 分）如图，一个牧童

33、在小河的南 4km 的a 处牧马，而他正位于他的 小河北小 屋 b 的 西8km 北 7km 处，他想把他的马牵到小后回家.他要完成这件事情所走的最短牧童 ab 小屋东河边去饮水，然路程是多少？30. （本题满分 6 分）如图所示，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高 4 米，宽 2.8 米，m4m请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道.2.631. 在一棵树的 10 米高 b 处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树 20 米处的池塘的 a 处；另一只爬到树顶 d 后直接跃到 a 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵

34、树高多少米?32. 在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面 1 米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为 2 米，求这里的水深是多少米?33. 长为 4 m 的梯子搭在墙上与地面成 45角，作业时调整为 60角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了m34. 已知：如图，abc 中，c90，d 为 ab 的中点，e、f 分别在 ac、bc 上，且 de df求证：ae2bf2ef21 cb35. 已知：如图，在正方形 abcd 中，f 为 dc 的中点，e 为cb 的四等分点且ce 4fe，求证：af36. 已知abc 中，a2b2c210a24b26c338，试判定a

35、bc 的形状，并说明你的理由37. 已知 a、b、c 是abc 的三边，且 a2c2b2c2a4b4，试判断三角形的形状38. 如图，长方体的底面边长分别为 1cm 和 3cm，高为 6cm如果用一根细线从点 a 开始经过四个侧面缠绕一圈到达点 b，那么所用细线最短需要多长?如果从点 a 开始经过四个侧面缠绕 n 圈到达点 b，那么所用细线最短需要多长?39、a、b 为任意正数，且 ab，求证：边长为 2ab、 a2b2、a2+b2 的三角形是直角三角形d第 24 题图40. 三角形的三边长为(a + b)2 = c 2 + 2ab ,则这个三角形是()ac（a） 等边三角形（b） 钝角三角形

36、（c） 直角三角形（d） 锐角三角形.41.（12 分）如图，某沿海开放城市 a 接到台风警报，在该市正南方向 100km 的 b 处有一台风中心，沿 bc 方向以 20km/h 的速度向 d 移b动，已知城市 a 到 bc 的距离 ad=60km，那么台风中心经过多长时间从b 点移到d 点？如果在距台风中心30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在d点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？42.（14 分）abc 中，bc = a ，ac = b ，ab = c ，若c=90，如图（1），根据勾股定理，则a 2 + b 2 = c 2 ，若abc 不是直角三角形，

37、如图（2）和图（3），请你类比勾股定理，试猜想a 2 + b 2 与c 2 的关系，并证明你的结论. 解：若abc 是锐角三角形，则有 a2+b2c2若abc 是钝角三角形，c 为钝角，则有 a2+b20，x02ax0a2+b2c2当abc 是钝角三角形时，743（10 分）如图，a 市气象站测得台风中心在 a 市正东方向 300 千米的 b 处，以 10千米/时的速度向北偏西 60的 bf 方向移动，距台风中心 200千米范围内是受台风影响的区域（1）a 市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；（2）如果 a 市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？44、将一根 24cm 的筷

38、子，置于底面直径为 15cm，高 8cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为 hcm，则 h 的取值范围是（）ah17cmbh8cmc15cmh16cmd7cmh16cm45 如 图 ， 已 知 ：，于 p.求 证 ：.思路点拨: 图中已有两个直角三角形，但是还没有以 bp 为边的直角三角形. 因此，我们考虑构造一个以 bp 为一边的直角三角形. 所以连结 bm. 这样，实际上就得到了 4 个直角三角形. 那么根据勾股定理，可证明这几条线段的平方之间的关系.解析：连结 bm，根据勾股定理，在.而在中，中，则根据勾股定理有.又（已知），.在中，根据勾股定理有，.46【变式 2】

39、已知：如图，b=d=90，a=60，ab=4，cd=2。求：四边形 abcd的面积。分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结 ac，或延长 ab、dc 交于 f，或延长 ad、bc 交于点 e，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。解析：延长 ad、bc 交于 e。a=60，b=90，e=30。ae=2ab=8，ce=2cd=4，be2=ae2-ab2=82-42=48，be=。de2= ce2-cd2=42-22=12，de=。s 四边形abcd=sabe-scde=abbe-cdde=47【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高 2.5 米，宽 1.6 米

40、，要开进厂门形状如图的某工厂， 问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于ch如图所示，点 d 在离厂门中线 0.8 米处，且 cd， 与地面交于 h 解：oc1 米(大门宽度一半)，od0.8 米（卡车宽度一半） 在 rtocd 中，由勾股定理得：cd.米，c.（米）.（米）因此高度上有 0.4 米的余量，所以卡车能通过厂门48、如图，公路 mn 和公路 pq 在点 p 处交汇，且qpn30，点 a 处有一所中学，ap160m。假设拖拉机行驶时，周围 100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路 mn 上沿 pn 方向

41、行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为 18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？思路点拨：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校 a，实质上是看 a 到公路的距离是否小于 100m, 小于 100m 则受影响，大于 100m 则不受影响，故作垂线段 ab 并计算其长度。（2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校 a 的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。解析：作 abmn，垂足为 b。在 rtabp 中，abp90，apb30， ap160， ab ap80。 （在直角三角形中，30所对的直角边等

42、于斜边的一半）点 a 到直线 mn 的距离小于 100m,这所中学会受到噪声的影响。100(m)，如图，假设拖拉机在公路 mn 上沿 pn 方向行驶到点 c 处学校开始受到影响，那么 ac由勾股定理得： bc21002-8023600, bc60。同理，拖拉机行驶到点 d 处学校开始脱离影响，那么，ad100(m)，bd60(m),cd120(m)。拖拉机行驶的速度为 : 18km/h5m/s t120m5m/s24s。答：拖拉机在公路 mn 上沿 pn 方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为 24秒。（一）转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直

43、角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决49、如图所示，abc 是等腰直角三角形，ab=ac，d 是斜边 bc 的中点，e、f 分别是 ab、ac边上的点，且 dedf，若 be=12，cf=5求线段 ef 的长。思路点拨：现已知 be、cf，要求 ef，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接 ad解：连接 ad因为bac=90，ab=ac又因为 ad 为abc 的中线， 所以 ad=dc=dbadbc且bad=c=45因为eda+adf=90又因为cdf+adf=90 所以eda=cdf所以aedcfd（asa）所 以

44、 ae=fc=5 同理：af=be=12在 rtaef 中，根据勾股定理得：，所以 ef=13。总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解： 当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。50 如图，在等腰abc 中，acb=90，d、e 为斜边 ab 上的点，且dce=45。求证：de2=ad2+be2。cbade分析：利用全等三角形的旋转变换，进行边角的全等变换，将边转移到一个三角形中，并构造直角三角形。51 如图，在a bc 中，ab=13,bc=14,a c=15，则 bc 边上的高 a d=。acbd

45、答案 12。52 如图，长方形 abcd 中，ab=8，bc=4，将长方形沿 ac 折叠，点 d 落在点 e 处，则重叠部分afc 的面积是。fdcaaabebd设 ef=x，那么 af=cf=8-x，ae2+ef2=af2,所以 42+x2=(8-x)2,解得 x=3， s=4*8/2-3*4/2=10答案：10cbdc aacbdcbd53 在abc 中，ab=15 ,ac=20,bc 边上的高 a d=12，试求 bc 边的长.答案 25 或 754 在a bc 中，d 是 bc 所在直线上一点，若 ab=l0,bd=6,ad=8,ac=17，求abc 的面积。答案 84 或 3655. 若abc 三边 a、b、c 满足 a2b2c2338=10a+24b+26c，abc 是直角三角形吗？为什么？56. 在abc 中，bc=1997，ac=1998，ab2=1997+