流体运动沿程损失的讨论

1、.流体运动沿程损失的讨论目的1.了解描述流体运动的两种方法；2.了解相关基本概念；3.了解粘性流动的两种流态；4.讨论管内两种流动的分析方法、速度分布、切应力分布等；5.了解沿程损失及其计算； 一. 描述流体运动的两种方法目前，研究流体运动有两种不同的观点，因而形成两种不同的方法：一种方法是从分析流体各个质点的运动着手，即跟踪流体质点的方法来研究整个流体的运动，称之为拉格朗日法；另一种方法则是从分析流体所占据的空间中各固定点处的流体的运动着手，即设立观察站的方法来研究流体在整个空间里的运动，称其为欧拉法。1、拉格朗日 (Lagrange) 法 用拉格朗日法研究流体运动时，着眼点是流体质点。即研

2、究个别流体质点的速度、加速度、压强和密度等参数随时间 的变化，以及由某一流体质点转向另一流体质点时这些参数的变化，然后再把全部流体质点的运动情况综合起来，就得到整个流体的运动情况。此法实质上就是质点动力学研究方法的延续。 设初始时刻流体质点的坐标是 (a,b,c),于是 时刻任意流体质点的位置在空间的坐标可表示为 因此任一流体质点的速度和加速度可表示为 2、欧拉（Euler）法欧拉法研究流体运动，其着眼点是流场中的空间点或着眼于控制体。即研究运动流体所占空间中某固定空间点流体的速度、压强和密度等物理量随时间的变化；以及找出任意相邻空间点之间这些物理量的变化关系，即分析由空间某一点转到另一点时流

3、动参数的变化。从而得出整个流体的运动情况。对于任一个流体质点的位置变量 、 、 是时间 的函数，即 设、 和 分别代表流体质点的速度 在 、 、 轴上的分量，则 同样，压强、温度和密度等物理量都可以表示成 的函数。二. 迹线、流线、流管和脉线为了清楚地了解流场的详细情况，常用流场的几何表示方法，它能帮助我们直观形象地分析流体运动。常用到的有迹线、流线和流管等概念。 1、 迹线 任何一个流体质点在空间中的运动轨迹，称为迹线。或者说，同一个流体质点，在不同时刻的空间坐标的连线。显然，如果流体的运动是以拉格朗日变数给出的，那么流场的描述则由迹线给出。2、流线和流管 用欧拉法研究流体运动时，流线的概念

4、相当重要。所谓的流线是指在给定的瞬时 ，流场中位于流线上的各流体质点的速度向量均与曲线在相应点的切线相重合。（a）绝对坐标系中的流线 （b）相对坐标系中的流线 图 3.2不同坐标系中观察的流动 3、 脉线 所谓脉线是指在一段时间内，将相继通过某一空间固定点的不同流体质点，在某一瞬时（即观察的瞬时）连成的曲线。如果该空间固定点是释放染色的源，则在某一瞬时观察到一条染色线，故脉线也称为染色线。 三. 流体运动分类、 定常与非定常流动 1.定常流动 在一般情况下，流体的速度、压强、温度、密度等流体运动参数都是坐标和时间的函数，但是在某些情况下，在任意空间点上，流体质点的全部流动参数都不随时间而变化，

5、或随时间变化不大，这种流动称为定常流动。往往将某些流动参数随时间变化不大的非定常流动作适当的假设，将其简化为定常流。 2.非定常流动 在任意空间点上，流体质点的流体参数（全部或一部分）随时间发生变化的流动称为非定常流动，用数学表示为 。非定常流动常常可以通过选取适当的坐标系而转变为定常流动，如飞行器的匀速直线运动，在地面上观察为非定常运动，而在飞行器上看则是定常运动。、 一维流动与多维流动 如果流体在流动中，其流动参数仅是一个空间坐标的函数，则这样的流动称为一维流动，如果流动参数是两个空间坐标的函数，就称为二维流动，二维流动又称为平面流动。如果流动参数是三个空间坐标的函数，就叫三维流，二维和三

6、维流动就称为多维流动。如果把时间也考虑进去，则有一维定常流、一维非定常流，二维定常流和二维非定常流，三维定常和三维非定常流动等等。四. 圆管中充分发展的层流流动及沿程损失 由于实际流体具有粘性，因此流体在管道中流动时，紧贴管壁的流体其速度必然为零，即与管壁没有相对运动。而离开管壁越远，由于一层层流体之间的相互影响，流速逐渐增大，到管道中心处的流速最大。经过大量的科学实验，发现粘性流体流动中存在着两种不同的流动状态，一种状态是流体质点作有序的、有规则的运动。在这种运动中，流体质点的迹线互不交错，相邻两层之间没有无规则的脉动，流体是在做层状运动，这种流动称之为层流流动。与层流流动完全不同的流动状态

7、是另一种流态, 这种流态是流体质点做毫无规则的混乱运动, 各层流体做复杂的、无规则的和随机的非定常运动。这种流动中, 每个流动质点的迹线十分复杂, 流体各部分互相掺混 , 流体的这种运动称为湍流流动(或紊流流动) 。1.管内速度分布取水平放置的直管，沿轴线方向为轴。显然流动是轴对称的，对于不可压缩流动，根据连续方程可知流体流动的速度与 无关，因此沿 方向不同截面相同半径处的流速相等，即 。 取如图4.1所示的小圆柱体，长度为，半径为 ，分析作用在其上的作用力。由于没有径向和周向的速度分量，因而同一截面上的压强相同。又由于各截面的速度分布相同，因此，相同半径处速度梯度也相同，故切应力也相同。圆柱

8、体受力分析示于图中，根据牛顿第二定律，得 ( 4.6 )图 4.1 定常不可压层流流动 若记 ，则上式为 （ 4.7 ） 由上式可知，圆管中的层流切应力与半径 r 成正比。壁面上， （圆管半径）， ，切应力达到最大值。而在轴线上， 。 将牛顿内摩擦定律 （负号表示随着 r 的增加，速度是减小的，仅取 的大小）代入式（ 4.7 ） , 得 则 于是得到圆管中的速度分布为 （ 4.8 ） 由式 (4.8) 可以看出 , 层流流动中 , 速度分布为抛物线分布规律。 在圆管中心处速度最大，将 代入上式得 （ 4.9 ）通过圆管的流量为 （4.10）式（ 4.10 ）与实验结果完全一致。 用该式可作为测

9、定液体粘度的依据。 截面上的平均流速为 将式（ 4.10 ）代入上式，考虑到式（ 4.6 ）得到平均速度 （ 4.11 ）2.壁面切应力分布及摩擦力式（ 4.7 ）已经导出了切应力分布规律 ；在壁面上， （圆管半径）， ，切应力达到最大值。即 切应力分布为 （ 4.12a ）作用在管壁上的摩擦力为 （ 4.12b ）式（ 4.12 ）不仅适合于层流流动，也适合于湍流流动。由上式可以看出，当管内流动处于平衡状态时，作用在管壁上的摩擦力与两端截面上的压强差相平衡。3. 沿程损失计算由于粘性摩擦的影响，流体在等截面直管中的流动也会产生沿程能量损失。沿程能量损失可以表示成压强损失、功率损失和水头损失。

10、 对图 4.3 所示的管道的任意两个截面应用柏努力方程，并考虑到沿程的能量损失，可得管内粘性流体的柏努力方程，即 由于各截面的平均流速相等，即 ，且管道水平放置 ，考虑到式（ 4.4 ），沿程能量损失可以表示为沿程压力损失的关系为 （ 4.13a ） 对于层流流动， 即沿程损失系数仅仅与雷诺数有关，与管壁粗糙度无关；式中 是管道截面上的平均流速。工程上常用压差形式表示沿程损失，由式（ 4.13a ）可得 （ 4.13b ） 式中 , 称为压力损失系数。 由式（ 4.13a ）可以看出，对于层流流动，沿程能量损失与速度的二次方成正比，与管长成正比，与管径的平方成反比。层流流动的沿程损失系数仅与雷

11、诺数有关，而与管壁粗糙度无关。对于介质为油的情况，工程中常用下式计算沿程损失系数。 功率损失指输送流体时克服沿程阻力所消耗的功率。设管道流量为 ，则由于沿程摩擦所损失的功率为 （ 4.14 ） 由上式可见，沿程摩擦所损失的功率与粘度系数成正比，与管径成反比。当流量与管径不变时， 粘度系数越小，损失的功率也越小。因此在输送油液时，为了降低功率损失，常将油液加热。 五. 圆管中湍流及沿程损失湍流结构图1.湍流流动的时均化及湍流度在湍流中，流体质点作混杂的、无规则和随机的非定常运动，它们在向下游流动的同时，不断与邻近的流体质点相互掺混，流体质点作无规则的横向脉动。所以湍流流动中的各流动物理量对于时间

12、和空间坐标来说，呈现着随机性的脉动。图 4.4 给出了流体以湍流运动时，流场中某点处的速度变化。在任一瞬时，湍流流场中各点处的速度也是不相同的。由图 4.4 可以看出，湍流流动的各物理参数虽然是脉动的，但却在某一平均值上下变动，即服从统计规律。因此引进流动参数时均值的概念来分析湍流运动是方便的。下面以速度为例。 图 4.4 湍流流动速度的随机性 在图 4.4 中，取一时间间隔 T ， T 相对于整个运动来说是很短的，但相对于脉动运动来说又足够的长，把流体的瞬时速度 V 在时间 T 内取平均，得到时均速度 为 （ 4.15 ） 通常把各个物理量，例如瞬时速度 V 表示成时均速度 与脉动速度 之和

13、，即 显然，脉动速度的时均值等于零。即 （ 4.16 ） 对于流场中的压强、密度、温度等都可以将其瞬时值表示为时均值与脉动值之代数和。 一般来说，取时均值后的物理量 仍是时间 t 和空间坐标的函数，这种湍流称为非定常湍流。 引入湍流时均值的概念之后，对于湍流的一切概念都是从时均值的意义上定义的。对于工程中的大多数问题都是稳定的湍流流动（即时均化后的物理量与时间 t 无关），如果流动是一维的，则前面讨论的一维定常流基本方程（如连续方程、动量方程、柏努利方程）都是适用的。引入时均值的概念后，给处理湍流流动带来了很大的方便。但是它掩盖了湍流脉动运动的物理本质。因此在分析诸如湍流流动阻力时，就必须考虑

14、流体质点及微团相互掺混进行动量交换的影响，即计算流体质点及微团混杂运动引起的阻力，否则会引起较大的误差。 为了描述湍流流动的随机性质，在工程中常采用湍流度的概念。湍流度用 表示，则 （ 4.17 ） 上式中，把脉动速度先平方，使之为正值，再作时间平均，然后取方根值。可以反映出脉动量绝对值的平均大小。 在普通风洞中， 小于 1% 。 需要说明的是，在讨论湍流的时均特性时，其流动参数均指时均参数，因此以下的研究均略去了时均参数的符号“-”。2. 圆管中湍流流动的切应力及速度分布实验观察发现，在管内和绕物面的流动中，流动可以分为三层，即粘性底层、过渡区和湍流核心区。由于流动受壁面的限制，在靠近壁面的

15、簿层内，流体质点没有横向的脉动，因此在壁面附近，流体质点的运动仍然保持有序的层流流动，该层流体称为粘性底层。离开壁面一段距离后，壁面的影响逐渐减弱，流动呈现出波动状态，流线弯曲，该区域称为过渡区。过渡区之外的是湍流核心区，即完全发展的湍流核心区，该区域内的流动完全不受壁面粗糙度的影响。图 4.5给出了壁面湍流的结构示意图。 图 4.5壁面湍流的结构示意图 粘性底层的厚度很薄，其厚度大概仅有几分之一毫米。 根据理论 分析和实验结果知，粘性底层的厚度为 （ 4.18 ） 可见随着雷诺数的增加， 粘性底层的厚度减小。 A、 湍流流动的切应力分布及摩擦力 湍流流动的切应力分布与层流流动的表达形式完全相

16、同，即由式 不过，对于 湍流流动， 流过截面上的壁面切应力 与层流不同，因此其切应力分布的斜率不同。图 4.6 给出 了 壁面切应力 的比较，图中 ， 分别表示湍流壁面切应力和层流壁面切应力。 图 4.6 湍流和层流 壁面切应力的比较 在湍流流动中，由于流体质点的大量混杂运动，其阻力损失大大的超过了层流的阻力损失。 在层流区或粘性底层，由于流体流动的有序性或壁面的限制，流体质点横向脉动引起的切应力很小，因此切应力主要是分子粘性切应力 ，可以用牛顿 内摩擦定律表示。 在湍流核心区，既有层流流动的分子粘性切应力 ，也有湍流流动的流体质点横向脉动引起的湍流切应力 。根据普朗特混合长度理论，平面定常均

17、匀湍流的切应力可以表示为 称为普朗特混合长度，由实验确定。 为 方向上的时均速度梯度。 在计算湍流流动时，由于 ，因此为了研究方便，通常略去式中的第一项。下面在导出速度分布时同样可以忽略分子粘性应力 。 B、 湍流流动的速度分布 由于湍流流动的复杂性，到目前为止，还无法像层流流动那样，严格地按理论分析导出湍流流动的速度分布规律，这里在一定的假设前提下，根据理论分析和实验相结合的方法来研究湍流流动的速度分布。 1、粘性底层速度分布 在 粘性底层中，由于厚度很薄，因此可以认为是层流流动， 切应力可以用壁面切应力表示，即 ，而且 速度分布也可认为是线性的，由牛顿内摩擦定律得到 ，即 积分得 （ 4.

18、19a ） 并引进摩擦速度的定义，即 代入式（ 4.19a ）得到 （ 4.19b ） 式（ 4.19 ）即为粘性底层的速度分布规律。 可见粘性底层的速度分布为线性分布。这实际上是层流速度抛物线分布规律在粘性底层中的近似处理。 2、过渡区的速度分布 在过渡区内，由于粘性应力与湍流切应力具有相同的数量级，因此难以进行理论分析。其速度分布要用实验来确定。工程中常将过渡区按湍流流动的速度分布规律来确定。 3、湍流核心区的速度分布 在湍流流动中，由于粘性底层的存在，壁面的粗糙度对流动损失的影响与粘性底层厚度 有关。当 时，粘性底层完全掩盖了管壁的粗糙部分，核心区中的流动完全感受不到粗糙度的影响，这种状

19、态下的流动管道称为水力光滑管。当 时，管壁的粗糙度暴露在粘性底层之外，粗糙表面造成的漩涡增加了流动损失，这种情况下的管道称为水力粗糙管。因此两种管道中的速度分布也不相同。 假设湍流切应力 与壁面切应力具有同样的数量级，因此有 湍流核心区的速度分布可以从普朗特混合长度理论得出。其基本思想是把湍流脉动与气体分子运动相比拟，认为流体微团脉动引起的切应力和分子运动引起的粘性应力非常相似。当湍流流动的时均流线为直线时，认为脉动引起的湍流可以表示为与粘性切应力具有类似的形式，即 （ 4.20 ） 式中， 为湍流粘度；混合长度 一般假设为 ， 由试验确定。 根据以上假设和式（ 4.20 ）可得 引进摩擦速度

20、的定义，得 积分可得 令 ，则上式可写为 (4.21) 上式表明，湍流流动的速度分布是按对数规律分布的。式中的常数要由实验确定。 对于光滑的直圆管，根据实验可取 ，代入上式得 (4.22) 工程上，式 (4.22) 适合于除粘性底层以外的任何区域。 湍流流动的速度分布除了对数分布规律外，人们还根据实验结果归纳出了幂次方的速度分布规律，即 (4.23) 式中 n 随雷诺数而变化，具体数值如表 4-2 所示。 表 4-2 指数 n 随雷诺数的变化 4.0 2.3 1.1 1.1 2.0 3.2 n 6 6.6 7 8.8 10 10 由表可知，指数 n 随雷诺数的增大而增大，一般取 。当 1.1

21、时， ，于是可得 (4.24)这就是布拉休斯的 1/7 速度分布规律。 由式（ 4.22 ），可得 的圆管轴线上的最大速度为 (4.25)通过圆管的流量为 当 时， ，由此确定式（ 4.21 ）中的常数 C ，代入式（ 4.21 ）可得 ，代入上式积分得平均速度为 (4.26a) 经实验修正后的平均速度为 (4.26b) 湍流流动的速度分布规律按照对数规律或 幂次方的速度分布规律，其特点是在靠近壁面处的速度变化很大，在湍流区速度变化较小，这是由于湍流区流体质点的剧烈掺混，使得速度分布更加均匀。根据平均速度与最大速度之比可以得出，对于湍流流动，若用 1/7幂次方的速度分布，则 ，而层流流动 。

22、对于水力粗糙管，流速分布公式为 (4.27) 其平均速度仍为式（ 4.26 ）。 3. 圆管内沿程损失的实验研究尽管对于湍流流动的研究可以借助于计算机技术的发展从理论上进行研究，但是，从上节的讨论可以看出湍流流动是非常复杂的，因此对于湍流流动的研究，目前大多数问题还需要借助于实验才能够得到解决。 从沿程损失的计算公式（ 4.4 ）可以看出，沿程能量损失计算的关键仍然是沿程损失系数的确定。 大量研究表明，在不可压缩流动中，沿程损失系数 ，为确定这一函数关系的具体表达形式，必须经过大量实验的研究。本节主要介绍著名的尼古拉 兹 实验曲线以及莫迪的曲线。 尼古拉兹对不同直径的管道进行了一系列的实验。为

23、了模拟管壁的粗糙度，采用了人工粗糙的管壁，即以颗粒均匀的砂粒粘附在经过油漆后的管壁上，用砂粒直径 表示绝对粗糙度， 与管径之比 称为相对粗糙度。实验了 6 种不同粗糙度的圆管，实验时测出 ，并计算出 ，得到了 与 Re 的关联曲线，并以对数规律示于图 4.7 中。 图4.7尼古拉兹实验曲线由图可以看出， 尼古拉兹的实验曲线可以分为五个阻力区域，每个阻力区域的 计算经验和半经验公式归纳如下。 层流区 当时，与 Re 的关联曲线在对数坐标图上为一直线，所有的不同相对粗糙度的实验点都落在这一直线上，这条直线的方程正是 ，表明实验规律只与 Re 有关，而与 无关。 过渡区当时，出现了从层流向湍流过渡的

24、不稳定现象。在该区域中，虽然实验点上下波动，但总的趋势是 随 Re 的增大而增大，此区可用扎依钦可的经验公式计算 (4.28) 光滑管区 此区中的管壁粗糙度对 几乎没有什么影响，不同粗糙度的实验点都落在同一直线上，这种情况只能是粘性底层厚度 大于壁面粗糙度 时才能出现。流体就好像流过光滑的壁面一样。这个区域的范围为 ， 可用下列经验公式计算。 当 时，可以用布拉休斯公式计算，即 (4.29) 当 时， 采用尼古拉 兹 光滑管的经验公式 (4.30) 根据湍流的速度分布规律，尼古拉茨提出了一个适用于整个光滑管区的半经验公式 (4.31) 粗糙管区 当时，随着 Re 的增大，粘性底层厚度逐渐减小，

25、以至于不能掩盖粗糙不平的管壁表面，管壁粗糙度对流动产生影响。由图 4.5 可以看出，粗糙度越大，光滑管转变为粗糙管的雷诺数也越小。该区的 可用考尔布鲁克公式计算 (4.32) 考尔布鲁克公式不仅适合于粗糙管区，而且也适合于 的整个区域。这是一个湍流沿程损失的综合计算公式。 阻力平方区当时，为阻力平方区，该区的流动特点是粘性底层厚度趋近于零，粗糙表面全部暴露出来，沿程损失系数与雷诺数无关。沿程损失系数的计算公式为 (4.33) 为了便于计算，工程上还提出了一个适合于整个湍流的经验公式： (4.34) 在粗糙管区和阻力平方区，即从式 (4.32)(4.33) 可以看出，沿程损失系数与管壁粗糙度 有关。由前所述， 尼古拉兹实验曲线揭示了管道中的沿程损失的规律，但这些规律的得出是有前提的。即该实验是