反函数·典型例题精析(最新整理)

1、24反函數例題解析【例 1】求下列函數的反函數：3x - 51(1)y 2x + 1 (x 2 )(2)yx2 2x3，x(，0(3)y1x2 + 1(x0)(4)yx + 1 (1x0)x(0x1)3x - 513解 (1)y 2x + 1 (x 2 )，y 2 ，3x - 5由y 2x + 1 得(2y3)xy5，y + 5y + 53x 3 - 2y 所求反函数为y 3 - 2y (x 2 )解(2)y(x1)22，x(，0其值域為 y2，)，y - 2由y(x1) 2 2(x0)，得x1 y - 2，即x1反函数为f -1 (x)1 x - 2，(x2)1解 (3)y x2 + 1 (

2、x0)，它的值域为0y1，1 - yy1由y x2 + 1 得x，反函数为f -1 (x)1 - xx(0x1)解 (4)由yx + 1(1x0)，得值域0y1，反函数f -1 (x)x2 1(0x1)由 y x(0x1)，得值域1y0，反函数f -1 (x)x2 (1x0)，x2 1 (0x1)故所求反函数为y 2x(1x0)【例 2】求出下列函數的反函數，並畫出原函數和其反函數的圖像(1)yx - 11(2)y3x2 2(x0)解(1)已知函數的定義域是 x1，值域為 y1，由yx - 11，得反函数y(x1) 2 1(x1)函数yx - 11与它的反函数y(x1) 2 1的图像如图241

3、所示解(2)由 y3x22(x0)得值域 y2，反函数f -1 (x)- x + 2 (x2) 3它們的圖像如圖 242 所示【例3】已知函数f(x)3x + 11x + a (xa，a 3)(1) 求它的反函數；(2)求使 f-1(x)f(x)的實數 a 的值3x + 1解 (1)设yx + a，xa，y(xa)3x1，(y3)x1ay，这里y3，11若y3，则a 3 这与已知a 3 矛盾，x 1 - ay ，即反函数f -1 (x) 1 - ax y - 3x - 3(2) 若f(x)f -1 (x)，即 3x + 1 1 - ax 对定义域内一切x的值恒成立，x + ax - 3令 x0

4、，a3或解由 f(x)f-1(x)，那麼函數 f(x)與 f-1(x)的定義域和值域相同，定義域是x|xa，xr，值域 yy|y3，yr，a3 即 a3ax + b【例4已知函数yf(x) cx + d 中，a、b、c、d均不为零，試求 a、b、c、d 滿足什麼條件時，它的反函數仍是自身abc - ad解 f(x) c c(cx + d) ，常数函数没有反函数，bcad0又f -1 (x) - dx + b ，cx - a- dx + b要使 cx - aax + b cx + d ，对定义域内一切x值恒成立，令 x0，得ad，即 ad0事實上，當 ad0 時，必有 f-1(x)f(x)， 因

5、此所求的條件是 bcad0，且 ad0【例 5】設點 m(1，2)既在函數 f(x)ax2b(x0)的圖像上，又在它的反函數圖像上，(1)求 f-1(x)，(2)證明 f-1(x)在其定義域內是減函數12ab解 (1)由14aba 37得b，f(x)1 x2 37 (x0)33证 (2)由y 1 x2 7 (x0)得反函数f -1 (x) 7 - 3x(x 7 )3337设x1 x2 3 ，73x1 73x2 0， 7 - 3x1 x - 3x ，即f -1 (x )f -1 (x )，212故f -1 (x)在(， 7 上是减函数3【例6】若函数f(x) x - 1 ，求f -1 ( 2 )

6、的值x + 2解法 一) 先求函数f(x) x - 1 的反函数f -1 (x) 1 + 2x ，1 + 2 21 -2x + 2于是f -1 ( 2 )53 21 - x解法(二)由函數 yf(x)與其反函數 yf-1(x)之間的一一對應關系，求f -1 ( 2 )的值，就是求f(x)x - 12时对应的x的值，令 x + 2 2，得x53 2，即f -1 ( 2 )53 2x - 1【例7】已知ar，且a0，a1设函数f(x) ax - 1(xr且x 1)，证明yf(x)的图像关于直线yx对称 ax - 1证 由y ax - 1 ，a0，a1，得(ay1)xy1，1如果ay10，则y a

7、，1x - 1 a ax - 1 得a1，这与已知a1矛盾，ay10，故xx - 1y - 1 ，f -1 (x) ay - 1x - 1，ax - 1即证得f(x) ax - 1 的反函数就是它本身因為原函數的圖像與其反函數的圖像關於直線 yx 對稱，函數 yf(x)的圖像關於直線 yx 對稱“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is a

8、n eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. this docu