工程数学(概率)综合练习题整理(最新整理)_1

1、北京邮电大学高等函授教育、远程教育工程数学综合练习题通信工程、计算机科学与技术专业（本科）概率论与随机过程部分一、设 a、b、c 为三事件，用 a、b、c 运算关系表示下列事件：1. a 发生，b 与 c 不发生： 2. a、b、c 中至少有一个发生： 3. a、b、c 中至少有两个发生： 4. a、b、c 中不多于一个发生。 二、填空1 设 a、b 为两个事件，且 p( a u b) = 0.7, p( a) = p(b) = 0.5 ，则（1） p( ab ) =，（2） p( a b ) =;2. 若事件 a 发生必导致事件 b 发生，且 p( a) = 0.4, 则p(b a) =,

2、p( ab) =;3. 若 a、b 为任意两随机事件，若 p( a), p(b), p( ab) 已知，则p( a u b) =， p( a) =;4. 设有三事件 a1、a2、a3 相互独立，发生的概率分别为 p1 、 p2 、 p3 ，则这三事件中至少有一个发生的概率为,这三事件中至少有一个不发生的概率为;5 若随机变量 xb（5，0.3）,则 px=3=, px4=;6. 设随机变量 xb (n, p) ，且 ex=2.4,dx=1.44,则 x 的分布列为19px px= k =,= 3 =;7. 已知随机变量 x 的概率密度函数为f (x) =1-( x-1)2 e8(-, )2 2

3、p则 ex=，dx=，x 的分布函数 f (x) =;8设 xn（1.5,4）,则 p x3;(已知f(0.75) = 0.7734, f(2.25) = .9878)9若 xn（ m，s2），且y = em2 -2mx2e2, 则e(y ) =;ke-3x ,10设随机变量 x 的概率密度为 f (x) = 0,x 0x 0则常数k =。11设随机变量 xu1，3，则 e 1 =。 x 12设随机变量 x (l), 且e( x 2 ) = 2, 则l=。13. 设舰艇横向摇摆的随机振幅 x 服从瑞利分布，其概率分布密度为x- x2e 2s2 ,x 0f (x) = s20,其他s0，则 e（

4、x）=。y123x1213ab14. 已知（x，y）的分布律为1116918且知 x 与 y 相互独立，则a和b分别为,。15. 已知（x，y）的分布律为xy10110.20.10.120.100.1300.30.1则：（1）e（x）= （2）e（y）= 三、单项选择题1. 一批产品共 100 件，其中有 5 件不合格，从中任取 5 件进行检查，如果发现有不合格产品就拒绝接受这批产品，则该批产品被拒绝接受的概率为（ c ）cc 55c 5 5 1 95 4a 95 bc1- 95 d c1 c510010051005 100 100 2. 设 a、b 为两事件， p( ab) = p( ab

5、)且p( a) = 0.4,则p(b) =（b ）a0.2b0.4c0.6d13. 设离散型随机变量 x 的分布律为x012p0.30.50.2若 f (x)为x 的分布函数，则 f（1.5）=(b )a0.8b0.5c0d1 4设随机变量 x 的概率分布密度为c )a. 13x2,f (x) = 0,b. 10 x 2,其他y的概率密度为fy(y) ) = 2 y0,0 y 1,其他则 e（xy）=（d ）a. 43b. 53c. 73d. 83四、某产品每批中都有三分之二合格品，检验时规定：先从中任取一件，若是合格品， 放回，再从中任取一件，如果仍为合格则接受这批产品，否则拒收，求一批这种

6、产品被拒收的概率，以及三批产品中至少有一批被接收的概率。五、袋中有 5 个白球，3 个黑球，分别按下列两种取法在袋中取球：（1）从袋中有放回地取三次球，每次取一球，（2）从袋中无放回地取三次球，每次取一球（或称从袋中一次取三个球），在以上两种取法中均求 a=恰好取得 2 个白球的概率。六、将n 个球放入 n 个盒子中去，试求恰有n 个盒子各有一球的概率（ n n）。七、为了防止意外，在矿内安装两个报警系统a 和b ，每个报警系统单独使用时，系统a 有效的概率为 0.92，系统b 有效的概率为 0.93，而在系统a 失灵情况下，系统b 有效的概率为 0.85，试求：（1）当发生意外时，两个报警系

7、统至少有一个有效的概率；（2）在系统b 失灵情况下，系统a 有效的概率。1八、设有一箱产品是由三家工厂（甲、乙、丙）生产的，已知其中 产品是由甲厂生21产的，乙、丙两厂的产品各占 ，已知甲、乙两厂产品的 2%是次品，丙厂产品的 4%是次品。4试求：（1）任取一件是次品又是甲厂生产的概率；（2）任取一件是次品的概率；（3）任取一件已知是次品，问它是甲厂生产的概率。九、设某工厂实际上有 96%的产品为正品，使用某种简易方法验收，以 98%的概率把本来为正品的产品判为正品，而以 5%的概率把本来是次品的产品判为正品。试求经简易验收法被认为是正品的确是正品的概率。十、对以往数据进行分析表明，当机器开动

8、调整良好时，产品的合格率为 90%，而当机器不良好时，其产品的合格率为 30%；机器开动时，机器调整良好的概率为 75%。试求某日首件产品是合格品时，机器调整良好的概率。1十一、两批产品一样多，一批全部合格，另一批混有 的次品，从任一批中取一产品4检测后知为合格品，又将其放回，求仍在这一批产品中任取一件为次品的概率。十二、由统计资料可知，甲、乙两城市，一年中雨天的比例分别为 20%和 18%，且已知甲下雨时，乙也下雨的概率为 60%。试求甲、乙至少有一地出现雨天的概率。十三、一批零件共 100 个，次品率为 10%，每次从中任取一个零件，取出零件不再放回去，求第三次才取得正品的概率。111十四

9、、三人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为 、 、 。问能将此密码译出的概率是多少？534十五、已知某工厂生产某种产品的次品率为 0.01，如果该厂以每 10 个产品为一包出售， 并承诺若发现包内多于一个次品便可退货，问卖出的产品被退回的概率？若以 20 个产品为一包出售，并承诺多于 2 个次品便可退货，问卖出的产品被退回的概率。十六、设有 20 台同类设备由一人负责维修，并假定各台设备发生故障的概率为 0.01， 且各台设备是否发生故障彼此相互独立，试求设备发生故障而不能及时维修的概率，若由 3 人共同维修 80 台设备情况又如何？ n 十七、用近似计算公式 pkk(1- p)n-k

10、 lk-lek!k = 0,1,2,l, n 计算上面第十六题。 十八、某保险公司发现索赔要求中有 15%是因被盗而提出的，现在知道 1998 年中该公司共收到 20 个索赔要求，试求其中包含 5 个或 5 个以上被盗索赔的概率。十九、设随机变量 x 的密度函数为acos x,- p x pf (x) = 22 0,其他求（1）系数 a；（2） p0 x p ；（3）求 x 的分布函数。4二十、一种电子管的使用寿命为 x 小时，其密度函数为f (x) = x2100 ,x 100 0,x 100设其仪器内装有三个上述电子管（每个电子管损坏与否相互独立的），试求（1） 使用 150 小时内没有一

11、个电子管损坏的概率；（2） 使用 150 小时内只有一个电子管损坏的概率。二十一、设随机变量 x 的密度函数为 k 3 x2-kxf (x) = 2 0e,x 0,x 0(k 0）求 x 的概率分布函数 f (x) 。二十二、设连续型随机变量 x 的分布函数a + bef (x) = - x22 ,x 00,x 0 0,y 0求（x，y）的分布密度及 pyx。三十二、设二维随机变量（x，y）的概率密度为x + y,0 x 1, 0 y 1f (x, y) = 0,其他（1）求 px+y1；（2）问 x 与 y 是否相互独立？（3）求 e（x+y）和 d（x+y）。三十三、设二维连续随机变量（x

12、，y）的密度函数为axy 2 ,f (x, y) = 0 x 2,0 y 1 0,其他求（1）常数 a；（2）关于 x 的边缘分布密度 f x (x);x202p0.40.30.3（3）关于 y 的边缘分布密度 fy ( y);（4）ex 。三十四、设 x 的分布列为求：ex，ex2，dx，d（3x2+5）。三十五、设（x，y）的分布密度为f (x, y) = 81 (x + y),0 x 2,0 y 2求r( x ,y ) 。0,其他北京邮电大学高等函授教育、远程教育工程数学综合练习解答通信工程、计算机科学与技术专业（本科）概率论与随机过程部分一、1.abc ;2. a u b u c;3.

13、 abc u abc u abc u abc 4. abc u abc u abc u abc二、填空：1（1）0.2,(2) 25;210.43p（a）+p（b）p（ab） ，1p（a）；41 - (1 - p1 )(1 - p2 )(1 - p3 ),1 - p1 p2 p3 ；5 c 3 (0.3)3 (0.7)2 (或0.135),c 4 (0.3)4 (0.7)1 + c 5 (0.3)5 (或0.028 + 0.002) ；5556 ck (0.4)k (0.6)6-k , k = 0, 1, 2, l, 6,c 3 (0.4)3 (0.6)3或 864 ；6- 22px71 ，4

14、， 1-(t -1)2e8dt,6- x +；312580.7612;91 ；103 ；11 1 ln 3 ；121；213p21s ；14 ,299；15 2， 0 。三、单项选择题1c2b3b4c5d6d四、解：设 a1、a2 表示第一、二次取出的为合格品p拒收= p接收= 1 - p接收= 1 - p( a1 a2 ) = 1 - p( a1 )p( a2 )= 1 - 2 2 = 5=339p 三批中至少有一批被接收= 1 - p 三批全拒收= 1 - 5 3604五、解：（1） nw = 8 8 8 = 83= 512,3 na = 25 5 3 = 225 9 729p( a) =

15、 nanw= 225 = 0.445123 3 3 1 1（2） nw = 8 7 6 = a8 = 336,na = 25 4 3 = 2 a5 a3 = 180p( a) = nanw = 180 = 0.543365 3 或 p( a) = 21 = 30 = 0.54856 3 六、解：令 a = 恰有n个盒子各有一球nw = 1nu n2lu3n = n n n n na = n n! n n!n因 此 p( a) = n n七、解：令 a = 系统a有效 b = 系统b有效p( a) = 0.92p(b) = 0.93p(b a) = 0.85(1) p( a u b) = p(

16、a) + p(b) - p( ab)其中 p( ab) = p(b - ba) = p(b) - p(ba)= p(b) - p( a)p(b a)= 0.93 - (1 - 0.92)0.85 = 0.862所以 p( a u b) = 0.92 + 0.93 - 0.862 = 0.988(2) p( a b ) = p( ab ) = p( a - ab) = p( a) - p( ab)p(b )1 - p(b)1 - p(b)= 0.92 - 0.862 = 0.8291 - 0.93八、解：设 a1、a2、a3 分别为甲、乙、丙的产品，b 表示产品是次品，显然p( a ) = 1

17、, p( a ) = p( a ) = 112234p(b a1 ) = p(b a2 ) = 2%p(b a3 ) = 4%(1) 由乘法公式p( a b) = p(b a )p( a ) = 2% 1 = 1%1112(2) 由全概率公式3p(b) = p(b ai )p( ai )i=1= 2% 1 + 2% 1 + 4% 1 = 0.025244p(b a )p( a )2% 1（3）由 bayes 公式p( a b) =11=2 = 0.431 p(b ai )p( ai )i=10.025九、解：设 a 表示原为正品p( a)=96%p( a) =4%设 b 表示简易验收法认为是正

18、品p(b a) =98%p(b a) =5%所求概率为p( a)p(b a)p(b a)p( a) + p(b a)p( a)p( a b) = p( ab) =p(b)=0.96 0.980.98 0.96 + 0.05 0.04 0.998十、解：设 a=机器调整良好b=合格品p( a) =75%p( a) =25%p(b a) =90%p(b a) =30%因此 p( a b) =p( ab) =p(b)p( a)p(b a)p( a)p(ba) + p( a)p(ba)=75% 90%75% 90% + 25% 30%= 90%十一、解：设 a1、a2 分别表示第一次取到有次品产品的事

19、件和无次品产品的事件，b为第一次取出的合格品，显然有p( a ) = p( a ) = 1 ,p(b a ) = 3 ,p(b a ) = 1122142由 bayes 公式p( a1b) =p( a1)p(b a1)p( a1 )p(b a1 ) + p( a2 )p(b a2 )1 3 =24= 31 3 + 1 17242设 c 表示第二次取出次品的事件p(c) = 3 1 = 37428十二、解：设 a=甲出现雨天，b=乙出现雨天由题意可知p( a) =0.2,p(b) =0.18,p(b a) =0.6所求概率为p(ab)=p(a)+p(b)p(ab)=p(a)+(b)p(a)p(b

20、a)=0.2+0.180.20.6=0.26十三、解：令 ai= 第i次取出为正品i = 1,2,3,所求概率为p( a1 a2 a3 ) = p( a1 a2 )p( a3 a1 a2 ) = p( a1 )p( a2 a1 )p( a3 a1 a2 )= 10 1009 90 = 0.00849998十四、解：设 ai= 第i人能译出i = 1,2,3a=密码被译出则a = a1 u a2 u a3p( a) = p( a1 u a2 u a3 ) = 1- p( a1 u a2 u a3 )= 1- p( a )p( a )p( a ) = 1- 4 2 3 = 0.6 123534十五

21、、解：设 x 表示卖出的一包产品中的次品数（1）xb（10，0.01）于是p 卖出的一包被退回 = p x1=1 p x1=1 p x=0 p x=1=1- c 0 (0.01)0 (0.99）10 - c1 (0.01)1(0.99)9 0.0041010（2）xb（20，0.01）p 卖出的一包被退回 = p x2=1 p x2=1 p x=0 p x=1 p x=2=1 - c 0 (0.01)0 (0.99）20 - c1 (0.01)1(0.99)19 - c 2 (0.01)2 (0.99)18 0.001202020十六、解：先研究一人负责维修 20 台设备的情况。在某一时刻设备

22、发生故障的情况可视为在此时刻对 20 台设备逐个进行检查，每次检查只有两个可能结果；设备发生故障或设备正常工作，因此可视为一个 n(n = 20) 重贝努利试验。若令 x 表示某时刻设备发生故障的台数，则xb（20，0.01）.由题意知，当发生故障的台数超过维修工作人数，即超过 1 时，将发生不能及时维修的现象，因此，所求事件概率为p x1=1 p x1=1 p x=0 p x=120 2019=1 (0.99)=0.017- 0.01(0.99)1 3对于 3 人共同维修 80 台设备的情况，可类似于上面的讨论，此时 xb（80，0.01），并且发生故障不能及时维修的概率为p x3=1- p

23、x = kk =03 80k80-k=1- k =0 =0.008(0.01)k(0.99)十七、解：一人维修 20 台的情况：n = 20, p = 0.001,l= np = 0.2查附表 2 得p x2 k =00.2kk!e-0.2p x20.0175 3 人维修 80 台的情况：n = 80, p = 0.01,l= np = 0.8p x4 k =00.8kk!e-0.8=0.00905十八、解：令 x 表示 20 个索赔中被盗索赔的个数xb（20，15%） 所求概率为p x5=1 p x54 = - 3-3l=1p xkk =01e4kk =0 k!(20 0.153)(查表)=

24、10.049787+0.149361+0.224042+0.224042+0.168031=10.815263=0.184737十九、解：（1）1=+p pf (x) d x =2-a cos x d x = 2 ap2 cos x d x02p10=2a sin x 2 =2a,a=21 cos x,pp- x 故f (x) = 20,p22其他p 11p1p（2） p 0 x = 4cos x d x =sin x 4 =sin=24 0 2p20244（3）当 x -p时, f (x) = 02p当- x 时 ，22xxf (x) = f (u) d u = p 1 cosu d u =

25、 1 sinu px- = 1 (sin x +1）- 2 2p222当 x 时， f (x) = 120,x p2二十、解：令 p 表示一个电子管使用寿命不超过 150 小时（即 150 小时内损坏）的概率，于是p = p x150=150100100= -d x150= 1- 100 = 1100 x2x 1001503若 y 表示 150 小时内损坏电子管的数目，则 yb3, 1 3 1 0 2 38于是（1） p y=0= c 0 =;3 3 3 27 1 1 2 2124（2） p y=1= c1 =二十一、解：3 3 3 279x当 x 0 时f (x) = - f (u) d u

26、 = 0xx k 3 x2-kx当 x 0 时f (x) = - f (u) d u = 02ed x= k 3 - x2 -kx - 2xe-kx - 2e-kx + 2 2 k ek 2k 3k 3 = 1-k 2 x2 + 2kx + 22e-kx因 此 f (x) = 1-k 2 x2 + 2kx + 220e-kx ,x 0x 00x 0- 1（2） p 1x1= f （1） f （1）=1- e2 0.3935xe（3） f (x) = f (x) = - x220x 0x 0二十三、解：有实根是 当b2 - 4ac 0 即 (4k )2 - 4 4 (k + 2) 0即 16k

27、2 -16k + 32 0即k 2 - k + 2 0k - 2 0k - 2 0k +1 0 或k +1 0即k 2 或 k -1(x) = 51 ,fk0 ,0 x 5其它于是 p有实根= pk 2 或 k -1= pk 2+ pk -1= 5 1 d x + -1 0 d x = 32 5二十四、解：依题意x 的密度函数为0.015e-0.015x ,f (x) = -5x 00,x 0100100（1） p x0 = + f (x) d x = + 0.015e-0.015x d x100= - e-0.015 x + = e-1.5 0.223（2）如果要使 p x x 0.1 即+

28、f (x) d x+ 0.015e-0.015u d u = - e0.015u + = e-0.015 x 0.1=xx x即0.015 x ln0.1- ln 0.1即 x 0.015 30 - 20 - 30 - 20 二十五、解：（1） p x30= p 30 x 30= f - f4040= f(0.25) - f(-1.25) = 0.5987 + 0.8744 -1 = 0.4931（2）令 y 表示三次测量绝对值误差不超过 30 的次数则 yb（3，0.4931）因此 p y1=1 p y1=1 p y=0=1（0.4931）30.88二十六、解：（1） 由于x-101252y

29、=2x20- 2- 4- 5p15110110310310因此y=2x 的分布列为y=2x- 5- 4- 202p33101011101015（2） 由于x-101252y=x21014254p15110110310310y=x2p014254133310101010因此 y=x2 的分布列为二十七、解：由于f (x) =1 2p- x2 e2,(-, + )当 y 0时f ( y) = py y= px 2 y= p(f) = 0当 y 0时f ( y) = py y= px 2 y= p- x y y-2pyy1- x21- x2= e 2 d x =e 2 d xy所以 2y- x22p

30、 0e 2 ,y 0f ( y) = f ( y) = 2p 00,y 0 12py所以 f ( y) = 0- xe 2 ,y 0y 0二十八、解：y=x的取值为 y =x 0因此当 y 0时当 y 0时f ( y) = py y= 0f ( y) = py y= px y= p- y x yy= 1e- x d x = 0 1ex d x + y 1e-x d x- y 2- y 20 2=1 e- y所以0f ( y) =,y 0 , 则f ( y) = f ( y) = 0 ,y 01- e-y ,y 0 - ye,y 0二十九、解：（1）关于 x、y 的边缘分布列分别为x0p1211

31、4214yp0141132311123（2）经验证：对一切i, j有因此 x 与 y 相互独立。pij = pi p j（3） px + y 00 ,其 他 0,y 0 25e-5 y ,= 0 x 0.2, y 00,其他py x = p( x ,y ) d其中d = (x, y)y x= f (x, y) d x d y = 0d x+ 25e-5 y d y0.2xd=0.2 5e-5 x d x = 1- e-10三十二、解：（1） px + y 1 = 1x1d x (x + y) d y =00211（2） f x (x) = 0 (x + y) d y = x + 2,(0 x

32、1)x + 1 ,0 x 1f x(x) = 20,其他f (y ) = 1(x + y) d x = y + 1,(0 y 1)y0 y + 1 ,20 y 1fy( y) = 20 ,其他可见f (x, y) f x (x) fy ( y) ，因此 x 与 y 不独立。1 1（3） e( x + y ) = (x + y)(x + y) d x d y = d x (x + y)2 d y = 7110 0006e( x + y )2 = 11(x + y)2 (x + y) d x d y = 1 d x 1 (x + y)3 d y = 30 0220023 7 25 d( x + y

33、 ) = e( x + y ) - e( x + y )=- =三十三、解：（1）由密度函数的性质有2 6 36+ +2f (x, y) d x d y =1，因此d x 1axy2 d y = 2 a = 1, a = 3- -0032 1 32（2） f+0xy(x) =f (x, y) d y =2dy, 0 x 2x-= 21 x ,00 x 2,其他0,其他 2 32（3） f(y ) =+ f (x, y) d x = 0 2 xy dx, 0 y 1y-3y 2 ,= 0 , 其他0 y 20,其他（4） ex =+xf (x) d x =21x2 d x = 4-x0 23三十四、解：ex=(2)0.4+00.3+20.3=0.2 ex2=(2)20.4+020.3+220.3=2.8 dx=ex2-(ex)