构造函数法证明导数不等式的八种方法(最新整理)

1、构造函数法证明不等式的八种方法1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点， 也是近几年高考的热点。2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法：一、移项法构造函数第 8 页 共 8 页【例1】已知函数 f (x) = ln(x + 1) - x ，求证：当 x -1时，恒有1 -分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数11x + 1 ln(x + 1) xg(

2、x) = ln(x + 1) +x + 1- 1，从其导数入手即可证明。【解】 f (x) =1x + 1- 1 = -xx + 1当- 1 x 0 ，即 f (x) 在 x (-1,0) 上为增函数当 x 0 时， f (x) -1时， f (x) f (0) = 0 ，即ln(x + 1) - x 0 ln(x + 1) x（右面得证），现证左面，令 g(x) = ln(x + 1) +1x + 1- 1，则g (x) =1 -x + 11(x + 1)2=x(x + 1)2当 x (-1,0)时, g (x) 0 ，即 g(x) 在 x (-1,0) 上为减函数，在 x (0,+) 上为

3、增函数，故函数 g(x) 在(-1,+) 上的最小值为 g(x)min = g(0) = 0 ，1 当 x -1时， g(x) g(0) = 0 ，即ln(x + 1) +x + 1- 1 0 ln(x + 1) 1 -1x + 1，综上可知，当 x -1时, 有1x + 1- 1 ln(x + 1) x【警示启迪】如果 f (a) 是函数 f ( x) 在区间上的最大（小）值，则有 f ( x) 证不等式，只要求函数的最大值不超过0 就可得证2、作差法构造函数证明f (a) （或 f ( x) f (a) ），那么要【例 2】已知函数 f (x) = 1 x 2 + ln x.2求证：在区间

4、 (1, + ) 上，函数 f (x) 的图象在函数 g(x) = 2 x3 的图象的下方；3分析：函数 f (x) 的图象在函数 g(x) 的图象的下方 不等式f (x) g(x) 问题，即 1 x 2 + ln x 2 x3 ， 只需证明在区间 (1, + ) 上， 恒有 1 x 2 + ln x 06要证不等式转化变为：当 x 1时， f (x) f (1) ，这只要证明：g(x) 在区间(1,+) 是增函数即可。【解】设 f (x) = g(x) - f (x) ，即 f (x) = 2 x3 - 1 x 2 - ln x ，32则 f (x) = 2x 2- x - 1x(x - 1

5、)(2x 2 + x + 1)= x(x - 1)(2x 2 + x + 1)当 x 1时， f (x) = x从而 f (x) 在(1, + ) 上为增函数， f (x) f (1) = 1 06当 x 1时 g(x) - f (x) 0 ，即 f (x) 1 - 1nn 2n31都成立.23分析： 从所证结构出发，只需令n= x ，则问题转化为：当 x 0 时，恒有ln(x + 1) x- x 成立，现构造函数h(x) = x3 - x 2 + ln(x + 1) ，求导即可达到证明。【解】令 h(x) = x3- x 2+ ln(x + 1) ，则 h(x) = 3x 2- 2x +1=

6、x + 13x3 + (x - 1)2x + 1在 x (0,+) 上恒正，所以函数 h(x) 在(0,+) 上单调递增， x (0,+) 时，恒有 h(x) h(0) = 0即 x3 - x 2 + ln(x + 1) 0 ， ln(x + 1) x 2 - x3对任意正整数 n，取 x = 1 (0,+)，则有ln( 1 + 1) 1 - 1nnn 2n3【警示启迪】我们知道，当 f ( x) 在a, b上单调递增，则 x a 时，有 f ( x) f (a) 如果 f (a) j(a) ，要证明当 x a 时， f ( x) j( x) ， 那么， 只要令 f ( x) f ( x) j

7、( x) ， 就可以利用 f ( x) 的单调增性来推导也就是说，在 f ( x) 可导的前提下，只要证明 f ( x) 即可4、从条件特征入手构造函数证明【例 4】若函数 y= f (x) 在 r 上可导且满足不等式 x f (x) f (x) 恒成立，且常数 a，b 满足 ab，求证：a f (a) b f (b)【解】由已知 x f (x) + f (x) 0 构造函数 f (x) = xf (x) ，则 f (x) = x f (x) + f (x) 0， 从而 f (x) 在 r 上为增函数。q a b f (a) f (b)即 a f (a) b f (b)【警示启迪】由条件移项后

8、 xf (x) + f (x) ，容易想到是一个积的导数，从而可以构造函数 f (x) = xf (x) ，求导即可完成证明。若题目中的条件改为 xf (x) f (x) ，则移项后 xf (x) - f (x) ，要想到是一个商的导数的分子，平时解题多注意总结。5、主元法构造函数例（全国）已知函数 f (x) = ln(1 + x) - x, g(x) = x ln x(1) 求函数 f (x) 的最大值；(2) 设 0 a b ,证明 ： 0 g(a) + g(b) - 2g( a + b ) (b - a) ln 2 .2分析：对于（ii）绝大部分的学生都会望而生畏.学生的盲点也主要就在

9、对所给函数用不上.如果能挖掘一下所给函数与所证不等式间的联系，想一想大小关系又与函数的单调性密切相关，由此就可过渡到根据所要证的不等式构造恰当的函数， 利用导数研究函数的单调性，借助单调性比较函数值的大小，以期达到证明不等式的目的.证明如下：证明：对 g(x) = x ln x 求导,则 g (x) = ln x + 1 .在 g(a) + g(b) - 2g( a + b ) 中以 b 为主变元构造函数,2设 f (x) = g(a) + g(x) - 2g( a + x ) ,则 f (x) = g (x) - 2g( a + x ) = ln x - ln a + x .222当 0 x

10、 a 时， f (x) a 时, f (x) 0 ,因此 f (x) 在(a,+) 上为增函数.从而当 x = a 时, f (x) 有极小值 f (a) .a + b因为 f (a) = 0, b a, 所以 f (b) 0 ,即 g(a) + g(b) - 2g() 0.2又设g(x) = f (x) - (x - a) ln 2 .则g (x) = ln x - ln a + x - ln 2 = ln x - ln(a + x) .2当 x 0 时, g (x) a, 所以g(b) 1+x解 ：(1)f(x) aex，a + b2) 0)2则 f(x)=ex-1-x,令 h(x)= f

11、(x)=ex-1-x,则 h(x)=ex-1当 x0 时, h(x)0, h(x)在(0,+ )上为增函数, 又 h(x)在 x=0 处连续, h(x)h(0)=0即 f(x)0 ,f(x) 在(0,+ )上为增函数,又 f(x)在 x=0 处连续,f(x)f(0)=0,即 f(x)1+x小结：当函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立，从而把不等式的恒成立问题可转化为求函数最值问题不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为 m f (x) (或 m 0时, (1 + x)1+ 1x1+ x a e, 证明ab ba例：已知 m、n 都是正整数，且1

12、 m (1 + n)m【思维挑战】1、设 a 0, f (x) = x - 1 - ln 2 x + 2a ln x求证：当 x 1时，恒有 x ln 2 x - 2a ln x + 1 ，2、已知定义在正实数集上的函数f (x) = 1 x 2 + 2ax, g(x) = 3a 2 ln x + b, 其中 a0，且b = 5 a 2 - 3a 2 ln a ，2求证： f (x) g(x)3、已知函数 f (x) = ln(1 + x) -bx1 + x2，求证：对任意的正数 a 、b ，恒有ln a - ln b 1 -.a4、 f (x) 是定义在（0，+）上的非负可导函数，且满足 x

13、f (x) - f (x) 0，对任意正数 a、b，若 a 1， a 0 时，不难证明 2 ln x 0 ，即 f (x) 在(0,+) 内单调递增，故当 x 1时，f (x) f (1) = 0 ，当 x 1时，恒有 x ln 2 x - 2a ln x + 12、提示：设 f (x) = g(x) - f (x) =1 x 22+ 2ax - 3a 2ln x - b 则 f (x) = x + 2a -3a 2x(x - a)(x + 3a)=x(x 0)q a 0 ， 当 x = a 时， f (x) = 0 ，故 f (x) 在 (0, a) 上为减函数， 在 (a,+) 上为增函数

14、， 于是函数 f (x) 在 (0,+) 上的最小值是f (a) = f (a) - g(a) = 0 ，故当 x 0 时，有 f (x) - g(x) 0 ，即 f (x) g(x)3、提示：函数 f (x) 的定义域为(-1,+) ， f (x) =11 + x-1(1 + x)2=x(1 + x)2当- 1 x 0 时， f (x) 0 时， f (x) 0 ，即 f (x) 在 x (0,+) 上为增函数因此在 x = 0时, f (x) 取得极小值 f (0) = 0 ，而且是最小值x1于是 f (x) f (0) = 0,从而ln(1 + x) 1 + x，即ln(1 + x) 1

15、 -1 + x令1 + x = ab 0,则1 -b1x + 1= 1 - ba于是ln ab 1 - ba因此ln a - ln b 1 -af (x)xf (x) - f (x)f (x)4、提示： f (x) =， f (x) =xx 2 0 ，故 f (x) =在（0，+）上是减函数，由 a b 有xf (a) af (b) baf (b)bf (a) 故选（a）1、由 f(x)=ln(1+x)-x 的导数为 1/(x+1)-1=-x/(x+1)0 得知 f(x)在(-1,)上单调减少.2、所以 bn=ln(1+n)-n,an=ln(n+1)-bn=n一、n(n+2)-c/(n+2)

16、得 c=1+(n+2)-n)2/2由于队所有 n 成立,而(n+2)-n 可以任意小,且当 c=1 时,不等式依然成立,所以 c 的范围是(-,1二、分两步证明,先用归纳法证明不等式(1) a1a3.a(2n-1)/a2a4.a(2n)1/(2n+1)n=1 时 a1/a2=1/2=1/41/3设 n=k 时成立,即 a1a3.a(2k-1)/a2a4.a(2k)1/(2k+1)所以 a1a3.a(2k-1)a(2k+1)/a2a4.a(2k)a(2k+2)(2k+1)/(2k+1)(2k+2)=(2k+1)(2k+3)/(2k+2)(2k+3)0 不等式(1)成立.第二步 运用第一问的不等式

17、(c=1)时,1/(n+2)(n+2)-n得 a1/a2+a1a3/a2a4+.+a1a3.a(2n-1)/a2a4.a(2n)3-1+5-3+.+(2n+1)-(2n-1)=(2n+1)-1=a(2n)+1-1证毕.“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant kno