概率论复习题及答案(最新整理)_1

1、一事件及其概率概率论与数理统计复习题121. 设 a, b, c 为三个事件，试写出下列事件的表达式：(1) a, b, c 都不发生；(2) a, b, c 不都发生；(3) a, b, c 至少有一个发生；(4) a, b, c 至多有一个发生。解：(1) abc = a b c(2) abc = a b c(3) a b c(4) bc ac ab2. 设 a , b 为两相互独立的随机事件, p( a) = 0.4 , p(b) = 0.6 ,求 p( a b), p( a - b), p( a | b) 。解： p( a b) = p( a) + p(b) - p( ab) = p(

2、 a) + p(b) - p( a)p(b) = 0.76 ；p( a - b) = p( ab) = p( a)p(b) = 0.16, p( a | b) = p( a) = 0.4 。3. 设 a, b 互斥， p( a) = 0.5 ， p( a b) = 0.9 ，求 p(b), p( a - b) 。解： p(b) = p( a b) - p( a) = 0.4, p( a - b) = p( a) = 0.5 。4. 设 p( a) = 0.5, p(b) = 0.6, p( a | b) = 0.5 ，求 p( a b), p( ab) 。解： p( ab) = p(b)p(

3、a | b) = 0.3, p( a b) = p( a) + p(b) - p( ab) = 0.8,p( ab) = p( a - b) = p( a) - p( ab) = 0.2 。5. 设 a, b, c 独立且 p( a) = 0.9, p(b) = 0.8, p(c) = 0.7, 求 p( a b c) 。解： p( a b c) = 1 - p( a b c) = 1 - p( abc) = 1 - p( a)p(b)p(c) = 0.994 。6. 袋中有4 个黄球， 6 个白球，在袋中任取两球，求(1) 取到两个黄球的概率；(2) 取到一个黄球、一个白球的概率。解：(1)

4、c 22c2p = 4 =1015；(2)c1c18c2p = 4 6 =。10157. 从0 9 十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为5 的概率。c1c 21c3解 ： p = 1 5 =。10128. 从(0,1) 中任取两数，求两数之和小于0.8 的概率。1 0.8 0.8解： p = 2= 0.32 。19. 甲袋中装有5 只红球，15 只白球，乙袋中装有4 只红球， 5 只白球，现从甲袋中任取一球放入乙袋中， 再从乙袋中任取一球，问从乙袋中取出红球的概率为多少？解：设 a = “从甲袋中取出的是红球”， b =“从乙袋中取出的是红球”，则：p( a) = 1 , p

5、( a) = 3 , p(b | a) = 1 , p(b | a) = 2 , 4425由全概率公式得：p(b) = p( a)p(b | a) + p( a)p(b | a) = 17 。4010. 某大卖场供应的微波炉中，甲、乙、丙三厂产品各占 50%、40%、10%，而三厂产品的合格率分别为 95%、85%、80%，求(1) 买到的一台微波炉是合格品的概率；(2) 已知买到的微波炉是合格品，则它是甲厂生产的概率为多大？解：(1) 设 a1 , a2 , a3 分别表示买到的微波炉由甲、乙、丙厂生产， b 表示买到合格品，则3p( a1 ) = 0.5, p( a2 ) = 0.4, p

6、( a3 ) = 0.1, p(b | a1 ) = 0.95, p(b | a2 ) = 0.85, p(b | a3 ) = 0.8,由全概率公式得 p(b) = p( ai )p(b | ai ) = 0.895 ；i =1p( a1b)p( a1 )p(b | a1 )0.47595(2)p( a1 | b) =p(b)p(b)=。0.895179二一维随机变量及其数字特征 kx + 1,0 x , ex 。2+21解： - f (x)dx = 0 (kx + 1)dx = 2k + 2 = 1 k = - 2 , =1 p x2 - 1 x + = 9 ， ex =2 x - 1 x

7、 +1 dx = 2 。2 1 21 dx160232 2. 设 x b(3 , 0.1) ，求 px = 2, px 1 。3解： px = 2 = c 2 (0.1)2 (0.9) = 0.027, px 1 = 1 - px = 0 = 1 - 0.93 = 0.271。373. 设三次独立随机试验中事件 a 出现的概率相同，已知事件 a 至少出现一次的概率为，求 a 在一次试64验中出现的概率 p 。解：三次试验中 a 出现的次数 x b(3, p) ，由题意：px 1 = 1 - px = 0= 1 - c 0 p0 (1 - p)3 = 1 - (1 - p)3 = 37 p =

8、1 。31000 ,644x 10004. 某种灯管的寿命 x （单位：小时）的概率密度函数为 f (x) = x2，(1) 求 px 1500；0,else(2) 任取5 只灯管，求其中至少有2 只寿命大于1500 的概率。+ 10002解：(1)px 1500 = 1500 x2dx =；3(2) 设5 只灯管中寿命大于1500 的个数为y ，则2 ，故y b 5,3 1 52 1 4232py 2 = 1 - py = 0 - py = 1 = 1 - 3 - 5 3 3 =。243 5. 设 x b(n, p), ex = 1.6, dx = 1.28, 求 n, p 。解： ex =

9、 np = 1.6, dx = np(1 - p) = 1.28 n = 8, p = 0.2 。6. 设 x p(2) ，求 px 2, e( x 2 + 2 x - 3) 。解： px 2 = 1- 3e-2 ，e( x 2 + 2 x - 3) = e( x 2 ) + 2ex - 3 = ( ex )2 + dx + 2ex - 3 = 4 + 2 + 4 - 3 = 7 。7. 设 x u -1,6，求 p- 4 x 2。, 1- 1 x 62-12 13解： f (x) = 70,else， p- 4 x 2= -4 f ( x)dx = -4 0dx + -1 7 dx = 7

10、。8. 设 x 服从(-1,5) 上的均匀分布，求方程t 2 + xt + 1 = 0有实根的概率。1 ,5 11解： f (x) = 6- 1 x 5， pd 0 = px 2- 4 0 = 2 6 dx = 2 。0,else x 9. 设 x u1,3 ，求 ex , dx , e 1 。2 1(3 -1)解： ex = 2, dx = 1 , f (x) = 2 ,1 x 3, e 1 =3 1 1 dx = 1 ln 3 。123 x 1 x 2 20,else10. 设某机器生产的螺丝长度 x n (10.05, 0.0036) 。规定长度在范围10.05 0.12 内为合格，求螺

11、丝不合格的概率。解：螺丝合格的概率为p10.05 - 0.12 x 10.05 + 0.12= p- 0.12 x -10.05 0.12 0.060.060.06 = f(2) - f(-2) = 2f(2) -1 = 0.9544故螺丝不合格的概率为1 - 0.9544 = 0.0456 。11. 设 x n (0,4) ， y = -2 x + 3000 ，求 ey 、 dy 及y 的分布。解： ey = -2ex + 3000 = 3000, dy = 4dx = 16, y n (3000,16) 。12. 设 x 与y 独立，且 x n (1,1), y n (1,3), 求 e(

12、2 x - y ), d(2 x - y ) 。解： e(2 x - y ) = 2ex - ey = 1, d(2 x - y ) = 4dx + dy = 7 。13. 设 x p1 , r= 0.6,求 d(3x - 2y ) 。2(4), y b 4,xydxdy解： d(3x - 2y ) = 9dx + 4dy - 12rxy= 25.6 。14. 设 x u -1,2，求y = x的概率密度函数。解： fy ( y) = py y= p x y(1) 当 y 0 时， fy ( y) = 0 ；y 12(2) 当0 y 1 时， fy ( y) = - y 3 dx = 3 y

13、；-1y 1y +1(3) 当1 2 时， fy ( y) = 1 ；0,2 故 f ( y) = 3y 0y,0 y 1， f 2 ,0 y 1 33( y) = f( y) = 1 ,1 y 2 。y y + 1yy,1 20,else三二维随机变量及其数字特征1. 已知( x ,y ) 的联合分布律为：y x-5-1120.10.4050.2a0.2(1) 求 a ；(2) 求 px 0,y 1, py = 1| x = 5 ；(3) 求 x ,y 的边缘分布律；(4) 求rxy ；(5) 判断 x , y 是否独立。解：(1)a = 0.1;(2) 0.3, 0.2 ；(3) x :

14、0.5, 0.5; y : 0.3, 0.5, 0.2 ；(4) ex = 0, ey = 0.6, e( xy ) = 0 cov( x ,y ) = 0, rxy = 0 ；0.10.4(5)0.20.1，不独立。2. 已知( x ,y ) 的联合分布律为：x y0-11a19019b21613且 x 与y 相互独立，求：(1) a, b 的值；(2) pxy = 0 ；(3) x , y 的边缘分布律；(4) ex , ey , dx , dy ；(5) z = xy 的分布律。11解：(1)a = 9 = 6 a = 1 , b = 2 ;1b118993(2)pxy = 0 = 1

15、- pxy 0 = 1 - 4 = 5 ；99(3)1 1 11 2x :,; y : ,；6 3 23 3(4)ex =5 , ex 2 = 13 , dx = ex 2 - (ex )2 = 53 , ey = 2 , ey 2 = 2 , dy = ey 2 - (ey )2 = 2 ；6636339151(5) pz = -1 =, pz = 0 =, pz = 2 =。9933. 已知( x ,y ) 的概率密度函数为 f (x, y) = c(x + y),0 x 2, 0 y 1 ，求：(1) 常数c ；0,else(2) 关于变量 x 的边缘概率密度函数 f x ( x) ；(

16、3) e( x + y ) 。解：(1)+ +f (x, y)dxdy+ y)dy =2 c x + 1 dx = 2c + c = 3c = 1 c = 1 ；- -0 dx0 c(x0 2 321 1 11 1 +0(x + y)dy = x +,0 x 2(2)f x (x) = -f (x, y)dy = 0,33 2 ；else+ +21 1216(3) e( x + y ) = - - ( x + y) f ( x, y)dxdy = 0 dx0 3 ( x + y) dy = 9 。 axy,0 x 1, 0 y x4. 设( x ,y ) 的概率密度函数为： f (x, y)

17、= 0,，else(1) 求 a ；(2) 求 f x (x), fy ( y) ；(3) 判断 x , y 是否独立；(4) 求 p y 1 , px + y 1 ；2 (5) 求cov( x ,y ) 。1xa解：(1)0 dx0 axydy = 8 = 1 a = 8 ；+ x3(2)f x (x) = -f (x, y)dy = 0 8xydy =4x ,0 x 1，0,else 12f ( y) = + f (x, y)dx = y 8xydx =4 y(1- y), 0 y 1；(3)yf (x, y) -f x (x) fy ( y) 0,x , y 不独立；else1 1315

18、1/ 21- y1(4)p x 2 = 1 4x dx = 16 ， px + y 1920 = p x - 1600 1920 - 1600 = 0.8 1 - f(0.8) = 0.2119 。4001600002. 生产灯泡的合格率为0.8 ，记10000 个灯泡中合格灯泡数为 x ，求(1) e( x ) 与 d( x ) ；(2) 合格灯泡数在7960 8040 之间的概率。解：(1)x b(10000, 0,8), e( x ) = 10000 0.8 = 8000, d( x ) = 10000 0.8 0.2 = 1600 ；(2) 由中心极限定理得p7960 x 8040=

19、p7960 - 8000 x - 8000 8040 - 8000 = f(1) - f(-1)40= 2f(1) -1 = 0.6826 。40403. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80% 的长度不小于3m ，现从这批木柱中随机地取100 根，问至少有30根短于3m 的概率是多少？解：设这100 根木柱中短于3m 的个数为 x ，则x b(100, 0.2), ex = 100 0.2 = 20, dx = 100 0.2 0.8 = 16 ； x - ex30 - 20由中心极限定理得 px 30 = p = 2.5 1 - f(2.5) = 0.0062 。dx164. 某单位设置一电话

20、总机，共有200 架电话分机。设每个电话分机是否使用外线通话相互独立，设每时刻每个分机有0.05 的概率要使用外线通话。问总机至少需要多少外线才能以不低于0.9 的概率保证每个分机要使用外线时可供使用?解：设至少需要k 条外线。使用外线的分机数 x b(200, 0.05) ，ex = 200 0.05 = 10, dx = 200 0.05 0.95 = 9.5 。由中心极限定理得：px k = p x - ex k - 10 f k - 10 0.9dx9.59.5k - 109.5 1.28 k 13.9452 。五抽样分布1. 从一批零件中抽取6 个样本，测得其直径为1.5, 2, 2

21、.3,1.7, 2.5,1.8 ，求 x , s2 。1 621 62解： x = xi = 1.9667, s6i =1=(xi - x )5i =1= 0.1427 。12122. 设 x , x 是来自正态总体 n (0,9) 的简单随机样本，已知y = a( x + x )2 服从c2 分布，求a 。x + x( x + x )2 1解： x1 + x 2 n (0,18) 12 n (0,1) 12 c2 (1) a =。1818183. 总体 x n (72, 100) ，(1) 对容量 n = 50 的样本，求样本均值 x 大于70 的概率；(2) 为使 x 大于70 的概率不小

22、于0.95 ，样本容量至少应为多少？ 70 - 72 解：(1)x n (72, 2), p( x 70) = 1 - f = 1 - f(-270 - 72100 / n2) = f( 2) = 0.92 ；100 nn(2)x n 72, n , p( x 70) = 1 - f = 1 - f - 5 = f 5 0.95n 1.645 n 67.65 。54. 设 x1, x 2 ,l, x10 取自正态总体 n (0, 0.09) ，求 p xi i=1 102 1.44 。n( x i - m)102解：由于 i=1 c2 (n) ，故 p x 2 1.44 = pc2 (10)

23、16 = 0.1。is2i=112n5. 设 x , x , k, x 来自总体 x n (m,s2 ) ， s 2 为样本方差，求 es 2, ds 2 。(n -1)s 222 s22s22解：s2 c (n -1), e(s ) = e n -1c (n -1) = n -1 (n -1) =s ,2 s22s42s4d(s) = d n -1c (n -1) = (n -1)2 2(n -1) = n -1 。六参数估计1. 设随机变量 x b(n, p) ，其中n 已知。 x 为样本均值, 求 p的矩估计量。解： ex = np = x p = x 。n 1 ,q x 12. 设总体

24、 x 的概率密度函数为： f (x) = 1 -q0,解： ex = 1 +q = x q = 2 x - 1。23. 设总体 x 的分布律为else，其中q是未知参数，求q的矩估计量。xp1q2q31 - 2q现有样本：1, 1, 1, 3, 1, 2, 3, 2, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 1, 2 ，求q的矩估计值与最大似然估计值。解：(1)ex =q+ 2q+ 3(1 - 2q) = 3 - 3q= x q = 3 - x3，将 x = 7 代入得q = 5 ；412(2) 似然函数 l = px1 = 1, x 2 = 1, l, x16 = 21216= px = 1px

25、 = 1l px= 2 =q7q6 (1 - 2q)3 ln l13对数似然函数ln l = 13lnq+ 3ln(1- 2q) ，令 q = q -61- 2q= 0 ，得q = 13 。234. 设总体 x 的概率密度函数为qxq-1, 0 x zax - m0s/n2= 1.96 ， 将x = 49.5556, m0 = 50,s= 2, n = 9 代入，得u = -0.6667 。未落入拒绝域中，故接受 h0 ，即可以认为袋装糖的平均重量为50 千克。2. 某批矿砂的 5 个样本的含金量为：3.25, 3.27, 3.24, 3.26, 3.24设测定值总体服从正态分布，问在显著性水

26、平a= 0.1 下能否认为这批矿砂的金含量的均值为3.25 ？解：由题意需检验 h0 : m= 3.25, h1: m 3.25 。s2 未知，拒绝域为 t = tax - m0s /n2(n - 1) = 2.1318，将 x = 3.252, m0 = 3.25, s = 0.013, n = 5 代入得t = 0.344 。未落入拒绝域中，故接受 h0 ，即可以认为这批矿砂的含金量的均值为3.25 。3. 某种螺丝的直径 x n (m, 64) ，先从一批螺丝中抽取10 个测量其直径，其样本均值 x = 575.2 ，方差s2 = 68.16 。问能否认为这批螺丝直径的方差仍为64 （a= 0.05 ）？解：由题意需检验 h:s2 = 64, h(n - 1)s 201sa:s2 64 。m未知，拒绝域为c2 = c2 (n - 1) = 19 。将 n = 10, s2 = 68.16,s2 = 64 代入得c2 = 9.585 。未落入拒绝域中，故接受 h ，a002即可以认为这批螺丝直径的方差仍为64 。4. 某厂生产的电池的寿命长期以来服从方差s2 = 5000 的正态分布。现从一批产品中随机抽取26 个电池，测得其寿命的样本方差 s2 = 9200 ，问能否推断这批电池寿命的波