概率论与数理统计试卷合集附答案(2)1(最新整理)

1、概率论与数理统计期末试题一一、填空题（每小题 4 分，共 40 分）1、 设 a 与 b 为互不相容的两个事件， p(b) 0 ，则 p( a | b) =0。102、 事件 a 与 b 相互独立， p( a) = 0.4, p( a + b) = 0.7,则 p(b) =0.5。3、 设离散型随机变量 x 的分布函数为0x -1f ( x) =a2 - a3a + b- 1 x 11 x 2x 2且 p( x = 2) = 12，则a =1 6, b =5。64、 某人投篮命中率为 4 ，直到投中为止，所用投球数为 4 的概率为54。6255、 设随机变量 x 与y 相互独立， x 服从“0

2、-1”分布， p = 0.4 ； y 服从l= 2 的泊松分布p(2) ，则 e( x + y ) =2.4, d( x + y ) =2.24.6、 已知 d(x) = 16, d(y) = 9,rxy= 1 ,3则 d(x - 2y) =36.7、 设总体 x 服从正态分布n (0,s2 ), 从总体中抽取样本 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , 则统计x 2 + x 2量12 服从f (2,2)分布。xx+22348、 设总体 x 服从正态分布n (m,1),其中m为未知参数，从总体 x 中抽取容量为16 的样本，样本均值 x = 5, 则总体均值m的95% 的置信区间为 （

3、4.51，5.49）。（ u0.975= 1.96 ）9、 若 x n (m1 ,s12 ),y n (m2 ,s2 2 ) ，且 x 与y 相互独立，则 z = x + y 服从 n (m + m ,s2 + s2 )分布。1212二、计算题（每小题 10 分，共 60 分）1、 (10 分)已知 8 只晶体管中有 2 只次品，从其中取两次，每次任取一只，做不放回抽样。求下列事件的概率：（1）一只是正品，一只是次品；（2）第二次才取得次品；（3）第二次取出的是次品。c1 c1c2解： （1）一只是正品一只是次品的概率为： 62 =837（2） 第二次才取得次品的概率为：6 2。8 7314（

4、3） 令 a1 表示“第一次取出的是正品” ， a 2 表示“第一次取出的是次品”b 表示“第二次取出的是次品”第二次取出的是次品的概率为：p(b) = p(b | a)p(a ) + p(b | a)p(a) = 2 6 + 1 2 = 1 1122787842、 （10 分）设随机变量 x 的概率密度f ( x) =ax + 10 x 20其它求：（1） a 的值；（2） x 的分布函数 f ( x) ；（3） p1.5 x 2.5.解：（1）由 f (x)dx = 1 可得， 所以，(ax + 1)dx = 1 a = - 1 2f ( x) =- 1 x + 120 x 20其它（2）

5、 f(x) =0 ，- 1 x2 + x ，41x 00 x 2x 2.11（3） p1.5 x 2.5 = 5-x + 1)dx =216.3、 （10 分）甲、乙两人独立地进行两次射击，假设甲的命中率为 0.2，乙的命中率为 0.5，以 x 和y 分别表示甲和乙的命中次数，试求：（1） x 和y 的联合分布律；（2） x 和y 的边缘分布律。解：（1） x 和y 的联合分布律为：p(x = m, y = n) = cm (0.2)m (0.8)2-m cn (0.5)n (0.5)2-n =1 cm cn 4(1-m)m, n。20,1, 。22522（2） x 和y 的边缘分布律。由于

6、x 与y 相互独立，所以 x 和y 的边缘分布律分别为：2p(x = m) = cm (0.2)m (0.8)2- 。 m = 0,1, 。2p(y = n) = cn (0.5)n (0.5)2- 。n = 0,1,。 .4、 （10 分）设总体 x 的概率密度为f ( x) =qxq-1 ,0 x 10，其它（1） 求q 的最大似然估计量；（2）求q的矩估计量。nq-1nnq-1=解：（1）似然函数为： l( x1 , x2 ,., xn ;q) = pqxi1= q (p x )i=1,0 xi 1.96当 x = 4.484 时， |x - 4.55 |= 110.108 / 36=

7、1.83 0 ，则 p( a | b ) = 012nk8、已知总体 x n( m,s2 ) ， m,s2 均未知，现从总体 x 中抽取样本 x , x , , x , 则mm= xs2s 2= 1 n (x- x)k的矩估计量；的矩估计量。n k =110、设随机变量x b(n, p)且 ex= 2.4 ， dx= 1.44 ，则n =6，p =0.4。31、（10 分）一人从外地到北京来参加一个会议，他乘火车的概率为， 乘飞机的概率为5211，如果乘火车来，迟到的概率为， 乘飞机来，迟到的概率为， 求：546（1） 此人迟到的概率； （2）如果他迟到了，那么他是乘飞机来的概率为多大？ 解：

8、设 c=“此人迟到”，a=“乘火车”，b=“乘飞机”则 p(a) = 3 ， p(b) = 2 ， p(c a) = 1 ， p(c b) = 15546（1）由全概率公式： p(c ) = p(a)p(c a)+ p(b)p(c b) = 3 1 + 2 1 = 13545660p(b)p(c b) p(a)p(c a)+ p(b)p(c b)2 1（2） 由贝叶斯公式： p(b c ) = 56 = 41313602、（10 分）某汽车总站每隔 3 分钟发一趟车，乘客在 3 分钟内的任一时刻到达是等可能的，若以 x表示乘客的候车时间，求：（1）乘客候车时间 x 的概率分布。（2）乘客候车时

9、间不超过 2 分钟的概率。 1 ,0 x 3解：（1） f ( x ) =30, 。2 12（2） p( x 2 ) = 0dx =336、（10 分）为了比较甲、乙两件品牌灯泡的寿命，随机抽取了 10 只甲种灯泡和 8 只乙种灯泡，测得平均寿命分别为x 甲 =1400（小时）和 x 乙 =1250（小时），样本标准差分别00为 s 甲=52（小时） 和 s 乙=64（小时），设两种灯泡的寿命分别服从正态分布，且方差相等，试计算两种灯泡的平均寿命之差m甲 - m乙 的 95置信区间。（注：t0.975 (16) = 2.1199 ,t0.95 (16) = 1.7459 ）解：因为两种灯泡的寿

10、命分别服从正态分布，且方差相等swnn1 + 1121采用t 统计量， t = x1 - x 2 - (m1 - m2 ) t(n+ n2- 2)又知 x 甲 =1400x 乙 =1250， s 甲=52， s 乙=649 522 + 7 64216n1 = 10, n2 = 8 ，a= 0.05 ， t0.975 (16) = 2.1199(n - 11)s + (21n - 12)s22n1 + n2 - 2sw = 57.56两种灯泡的平均寿命之差m甲 - m乙 的 95置信区间的下限为：00x1 - x 2 - t0.975(16) sw=1400-1250-2.119957.560.

11、474342=92.121 + 1n1n21 + 1n1n2置信区间的上限为：x1 - x 2 + t0.975(16) sw=1400-1250+2.119957.560.474342=207.88两种灯泡的平均寿命之差m甲 - m乙 的 95置信区间（92.12，207.88）001、设 a 与 b 为相互独立的两个事件， p( b ) 0 ，则 p( a | b ) =p( a )。3、已知 x n( 1.5 ,4 ) ，则 p x 3.5 = 2 -f( 2.5 ) -f( 1 )。（请采用f( ) 的形式表示计算结果）12n10、设总体 x 服从正态分布 n( m,s2 ) ，从总体

12、 x 中抽取样本 x , x , , x , 样本均值0为 x ，样本方差为 s 2 ，若s2 未知，检验假设 h : m= m ; h : m m ，则使用的统010x - m0s /n计量为， 在显著性水平a下关于 h 0 的拒绝域为s /n| x - m0| ta( n - 1 )。1-21、 已知一群人中，男人的色盲患者为5% ，女人的色盲患者为 0.25%，又知这群人中男女人数相等，现从其中随机抽取一人， 求：（1）这个人是色盲的概率？（2）若这个人恰好是色盲，求其是男性的概率？解：（1）令 a 表示“这个人是色盲”， b 表示“这个人是男的”。p( a ) = p( a | b )

13、p( b ) + p( a | b )p( b )= 5% 0.5 + 0.25% 0.5 = 2.625%p( b | a ) =p( a | b )p( b )= 5% 0.5 = 20p( a | b )p( b ) + p( a | b )p( b )2.625%21七、（15 分）设 x1 , x 2 ,l, xn 是来自几何分布p( x = k ) = p(1- p)k-1,k = 1, 2,l,0 p 1) = e-2 ，则l= ， pmin( x ,y ) 1=.5. 设总体 x 的概率密度为(q+1)xq, f (x) = 0,0 x -1 .x1 , x 2 ,l, xn

14、是来自 x 的样本，则未知参数q的极大似然估计量为.解：1 p( ab + ab) = 0.3即 0.3 = p( ab ) + p( ab) = p( a) - p( ab) + p(b) - p( ab) = 0.5 - 2p( ab)所 以 p( ab) = 0.1p( a u b ) = p( ab) = 1- p( ab) = 0.9 .-l-ll2 -l2 p( x 1) = p( x = 0) + p( x = 1) = e+ le,p( x = 2) =e2由 p( x 1) = 4p( x = 2)知 e-l + le-l = 2le2 -l即 2l2 -l-1 = 0解得p

15、( x = 3) = 1 e-1 .6l= 1 ，故3设y 的分布函数为 fy ( y), x 的分布函数为 fx (x) ，密度为 f x (x) 则yf ( y) = p(y y) = p( x 2 y) = p(- x y ) = f ( y ) - f (- y )yxx因为 x u (0, 2) ，所以 fx (-故y ) = 0 ，即 fy ( y) = fx ( y )f ( y) = f ( y) =1f ( y ) = 41,0 y 4,y2 yyyx0 ,其它.y另解在(0, 2) 上函数 y = x2 严格单调，反函数为 h( y) =所以1 1,0 y 1) = 1-

16、p( x 1) = e-l = e-2 ，故 l= 2pmin( x ,y ) 1 = 1- pmin( x ,y ) 1 = 1- p( x 1)p(y 1)= 1- e-4 .5似然函数为l(x ,l, x ;q) = (q+1)xq = (q+1)n (x ,l, x )qnn1ni1n i=1ln l = n ln(q+1) +qln xii=1d ln l = n + ndqq+1i=1解似然方程得q的极大似然估计为ln xi 0q$ =11 nnln xi-1.i=1三、（7 分）已知一批产品中 90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为 0.05， 一个次品被误认为

17、是合格品的概率为 0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.解：设 a = 任取一产品，经检验认为是合格品b = 任取一产品确是合格品则（1）p( a) = p(b)p( a | b) + p(b)p( a | b)= 0.9 0.95 + 0.1 0.02 = 0.857.（2）p(b | a) = p( ab) = 0.9 0.95 = 0.9977 .p( a)0.8570七、（11 分）设某机器生产的零件长度（单位：cm） x n (m,s2 ) ，今抽取容量为 16 的样本，测得样本均值 x = 10 ，样本方差

18、s2 = 0.16 . （1）求m的置信度为 0.95 的置信区间；（2）检验假设 h :s2 0.1（显著性水平为 0.05）.（附注） t0.05 (16) = 1.746,t0.05 (15) = 1.753,t0.025 (15) = 2.132,c2 (16) = 26.296, c2 (15) = 24.996, c2(15) = 27.488.0.050.050.025解：（1） m的置信度为1-a下的置信区间为( x - ta/ 2(n -1),x + ta/ 2(n -1)snsnx = 10,s = 0.4,n = 16, a= 0.05,t0.025 (15) = 2.1

19、32所以m的置信度为 0.95 的置信区间为（9.7868，10.2132）（2） h0 :s 0.1的拒绝域为c c (n -1) .a222c2 = 15s 2 = 151.6 = 24 ， c2=0.10.05 (15)24.9960.05因为 c2 = 24 24.996 = c2 (15) ，所以接受 h .0（ 1） 设事件 a 与 b 相互独立， 事件 b 与 c 互不相容， 事件 a 与 c 互不相容， 且p( a) = p(b) = 0.5 ， p(c) = 0.2 ，则事件 a 、 b 、c 中仅c 发生或仅c 不发生的概率为.（2） 甲盒中有 2 个白球和 3 个黑球，乙

20、盒中有 3 个白球和 2 个黑球，今从每个盒中各取 2个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为.2x,0 x a) = 0.01 ，则a =.（注： c20.01(17) = 33.4 ,2c0.005(17) = 35.7 ,2c0.01(16) = 32.0 ,2c0.005(16) = 34.2 ）解（1） p( abc + abc) = p( abc) + p( abc)因为a 与c 不相容， b 与c 不相容，所以 a c, b c ，故 abc = c同理abc = ab .p( abc + abc) = p(c) + p( ab) = 0.2 + 0.5 0.5 = 0

21、.45 .（2）设 a = 四个球是同一颜色的，b1 = 四个球都是白球， b2 = 四个球都是黑球则a = b1 + b2 .所求概率为p(b2| a) = p( ab2 ) =p( a)p(b2 )p(b ) + p(b )12c 2 c 23c 2 c 23p(b1 ) = 2 3 =, p(b2 ) = 3 2 =c 2 c 2100c 2 c 21005555所 以 p(b | a) = 1 .22（3） y b(4,p),0.52 11其中p = p( x 0.5) = 02xdx = x2 =，04ey = 4 1 = 1,dy = 4 1 3 = 3 ，4444ey 2 = d

22、y + (ey )2 = 1 +1 = 5 .44216s 2（5） p(s a) = p4 4a = 0.01c即20.01(16) = 4a ，亦即4a = 32 a = 8 .（10 分）设随机变量 x 的概率密度为f (x) = ax +1,0 x 2, 0,其它.+求（1）常数 a ；（2） x 的分布函数 f (x) ；（3） p(1 x 3).解：（1）1 = 01- f (x)dx = (ax +1)dx = ( a202x2 + x)2 = 2a + 2 a = -2（2） x 的分布函数为0,x 0,xxuf (x) = - f (u)du = 0 (1- 2)du,0 x 2,0,1 ,x 2.2= x - x41 ,0 x 2,x 2.32x1（3） p(1 x 3