概率论与数理统计课程第一章练习题及解答(最新整理)_1

1、概率论与数理统计课程第一章练习题及解答一、判断题（在每题后的括号中 对的打“”错的打“” ）1、若 p( a) = 1，则 a 与任一事件 b 一定独立。（）2、概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科。（）3、样本空间是随机现象的数学模型。（）4、试验中每个基本事件发生的可能性相同的试验称为等可能概型。（）5、试验的样本空间只包含有限个元素的试验称为古典概型。（）6、实际推断原理就是“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”。（）7、若s 为试验 e 的样本空间， b1 , b2 ,l, bn 为 e 的一组两两互不相容的事件，则称 b1 , b2 ,l, bn

2、为样本空间s 的一个划分。（）8、若事件 a 的发生对事件 b 的发生的概率没有影响，即 p(b a) = p(b) ，称事件a 、 b 独立。（）9、若事件 b1 , b2 ,l, bn (n 2) 相互独立，则其中任意k (2 k n) 个事件也是相互独立的。（）10、若事件 b1 , b2 ,l, bn (n 2) 相互独立，则将 b1 , b2 ,l, bn 中任意多个事件换成它们的对立事件，所得的n 个事件仍相互独立。（）二、单选题1设事件 a 和 b 相互独立，则 p( a u b) = （c）a、 p( a) + p(b)b、 p( a) + p(b)c 、 1- p( a)p(

3、b)d、1- p( a)p(b)2、设事件 a 与 b 相互独立， 且 0 p( a) 1, 0 p( b) 0 ，且 p(b a) = p(b) 时，则 a 与 b 独立，d 不成立，因此应选 b。即当 ab f时，如果 p( ab) = p( a)p(b) ，则 a 与 b 独立，否则 a 与 b 不独立。7、对于事件 a 和 b，满足 p（b a）= 1的充分条件是（）a、a 是必然事件b、 p（b a）= 0c、 a bd、 a b分析 p（b a）= 1的充分条件是 p（ab）p（a）= 1 ，即 p( ab) = p( a) ，显然在四个选项中，当 a b 时， ab = a ，可

4、得 p( ab) = p( a) ，因此 a b 是 p（b a）= 1的充分条件。选 d8、已知0 p(b) 1且 p( a1 + a2 ) b = p( a1 b) + p( a2b) ，则下列选项成立的是a、 p( a1 + a2 ) b = p( a1 b) + p( a2 b)b、 p( a1b + a2 b) = p( a1b) + p( a2 b)c、p(b) = p( a1 )p(b a1 ) + p( a2 )p(b a2 )p( a1 + a2 ) = p( a1 b) + p( a2 b)d、分析依题意p( a1 + a2 )b = p( a1b) + p( a2 b)

5、， p( a1b + a2 b) = p( a1b) + p( a2 b)p(b)p(b)p(b)p(b)p(b)因为0 p(b) 0 ，则下列选项必然成立的是a、 p（a）p( a b)d、p（a） p( a b)分析因为 a b ，故 ab = a ，又 p(b) 1 ，于是有p( a) = p( ab) = p(b)p( a b) p( a b) ，选 b10、设 a、b 是两个随机事件，且0 p( a) 0,p(b a) = p(b a) ，则a、 p( a b) = p( a b)b、 p( a b) p( a b)c、 p( ab) = p( a)p(b)d、 p( ab) p(

6、a)p(b)分析应用条件概率定义从 p(b a) = p(b a) 可得 p( ab) = p( ab) ，p( a)p( a)即1- p( a)p( ab) = p( a)p(b) - p( ab)p( ab) = p( a)p(b)，选 c三、填空题1、随机试验记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分），样本空间 s 为（s = i ni = 0,1, 2,l,100n）2、生产产品直到有 10 件正品为止，记录生产产品的总件数，样本空间 s 为（s = 10,11,12,l）3、对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出 2 个次品就停止检

7、查，或检查 4 个产品就停止检查，记录检查的结果，样本空间 s 为（s = 00,100, 0100, 0101, 0110,1100,1010,1011, 0111,1101,1110,1111 ）4、在单位圆内任意取一点，记录它的坐标，样本空间 s 为（取一直角坐标系，则样本空间为s = (x, y) x2 + y2 1；若取极坐标系，则样本空间为s = (r,q) r 1,0 q 2p。 ）5、设 a，b，c 为三个事件，用 a，b，c 的运算关系表示下列事件。（1）a 发生，b 与 c 不发生，（ abc 或者 a - b - c ）（2）a 与 b 都发生，而 c 不发生，（ abc

8、 或者 ab - c ）（3） a，b，c 中至少有一个发生，（4） a，b，c 都发生，（ abc ）（5） a，b，c 都不发生，（ abc ）a b c ）（6） a，b，c 中不多于一个发生，（ ab bc ca 或者 ab bc ca 或者abc abc abc abc ）（7） a，b，c 中不多于两个发生，77（ d = abc abc abc abc abc abc abc 或者d = a b c = abc ）（ 8） a， b， c 中 至 少 有 两 个 发 生 ，（8d = abc abc abc abc ）。d8 = ab bc ca 或 者6、设 a，b 是任意两个

9、随机事件，则 p( a + b)( a + b)( a + b)( a + b) = （0）分析 ( a + b)( a + b) = aa + ab + ab + bb = b( a + b)( a + b) = aa + ab + ab + bb = bp( a + b)( a + b)( a + b)( a + b) = p(bb) = p(f) = 07、一批产品共有 10 个正品 2 个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为（）分析此为一全概率问题，设事件bi = 第i次抽出次品， i = 1，2 ，由题有 p（b1）= 2 12， p（b1）=

10、 10 12 ， p（b2b1 ）= 1 11， p（b2 b1 ）= 2 11，211021于是 p（b2）=p（b1）p（b2b1 ）+p（b1）p（b2b1 ）=+=12 1112 1168、设 a，b 两个事件满足 p( ab) = p( ab) ，且 p( a) = p ，则 p(b) = （）分析 p( ab) = p( a u b) = 1- p( a u b) = 1- p( a) - p(b) + p( ab)因为 p( ab) = p( ab) ，故有 p( a) + p(b) = 1， p(b) = 1- p( a) = 1- p9、设两两相互独立的三事件 a，b 和 c

11、，满足条件： abc =f,且已知 pa u b u c) = 9 16 ，则 p( a) = （）p( a) = p(b) = p(c) ，分析由于 a、b、c 两两相互独立，且 p( a) = p(b) = p(c) ，所以， p( ac) = p( a)p(c) = p( a)2 ，p(bc) = p(b)p(c) = p( a)2 ，pa u b u c) = p( a) + p(b) + p(c) - p( ab) - p( ac) - p(bc) + p( abc) = 3p( a) - 3p( a)2依题意，有题意舍去）3p( a) - 3p( a)2 = 9 16 ， 解方程，

12、得 p( a) = 1 4 。 （ p( a) = 3 4 不合10、设两个相互独立的事件 a 和 b 都不发生的概率为1 9 ，a 发生 b 不发生的概率与 b 发生 a 不发生的概率相等，则 p( a) = （）分析依题意， p( ab) = p( ab) ，故 p( ab) + p( ab) = p( ab) + p( ab) ，即 p( a) = p(b) ，又因 a 与 b 相互独立，故 a 与 b 亦相互独立，p( ab) = p( a)p(b) = p( a)2 = 1 9p( a) = 1 3,p( a) = 2 3 。四、计算题1、（1）设 a，b，c 是三个事件，且(a)=

13、p(b)=p(c)=1/4,p(ab)=p(bc)=0,p(ac)=1/8，求 a，b，c 至少有一个发生的概率。(2)已 知 p(a)=1/2， p(b)=1/3， p(c)=1/5， p(ab)=1/10， p(ac)=1/15，p(bc)=1/20，p(abc)=1/30,求 a b ， ab ， a b c ， abc ， abc ， ab u c的概率。（3）已知 p(a)=1/2，(i)若 a，b 互不相容，求 p( ab) ，（ii）若 p(ab)=1/8，求 p( ab) 。解：（1）p( a b c) = p( a) + p(b) + p(c) - p( ab) - p(bc

14、) - p( ac) + p( abc) = 5 + p( abc)8由 abc ab，且已知p（ab）= 0，得0 p（abc） p（ab）= 0，于是p（abc）= 0因此 p（a b c）= 58（2） p（a b）= p（a）+ p（b）- p（ab）= 1 + 1 - 1= 11 ；231015p（ab）= p（a b）=1- p（a b）= 4 ；15p（a b c）= p（a）+ p（b）+p（c）- p（ab）- p（bc）- p（ac）+p（abc）= 1 + 1 + 1 - 1 - 1 - 1 + 1 = 512351020153060p（abc）= p（a b c）=1-

15、 p（a b c）= 960因为 p（ab）= p（abs）=p（ab（c c）=p（abc）+ p（abc）于是 p（abc）= p（ab）- p（abc）= 4 - 9 = 1（3）（i）因为所以（ii）因为所以156012+ -p（ab c）= p（ab）+p（c）- p（abc）= 411 = 23 。155 1260ab =f，p（ab）= 0, p（a）= p（as）=p（a( b b)）=p（ab）+p（ab） p（ab）=p（a）- p（ab）= 12p（ab）= 1 , p（a）= p（as）=p（a( b b)）=p（ab）+p（ab）8p（ab）=p（a）- p（ab）=

16、 1 - 1 = 32882、在房间里有 10 个人，分别佩戴从 1 号到 10 号的纪念章，任选 3 人记录其纪念章的号码。求（1） 最小号码为 5 的概率；（2） 最大号码为 5 的概率。解：古典概型（1） 设 a=“最小号码为 5” ，则c 21c3p( a) = 5 =；1012c12c3（2） 设 b=“最大号码为 5” ，则 p(b) = 4 =。10203、在 1 500 个产品中有 400 个次品，1 100 个正品。从中任取 200 个。求（1） 恰有 90 个次品的概率；（2） 至少有 2 个次品的概率。解：古典概型设a=“恰有 90 个次品”；bi=“恰有i 个次品”，i

17、=0,1，c=“至少有 2 个次品”。c 90 c110c200（1）设 a=“恰有 90 个次品” ， 则 p( a) = 400 1100 ；1500（2）设 c=“至少有 2 个次品”，求 p（c）又设 bi=“恰有 i 个次品”，i=0,1，则c = s - b0 b1 ，于是 p(c) = p(s - b0 b1 ) = 1 - p(b0 ) - p(b1 ) ，c 200c1 c199这里 p(b) = 1100 ， p(b ) = 400 1100 ，cc02001500c 200+ c11c1992001500c200因此 p(c) = 1 - 1100400 1100 。15

18、004、从 5 双不同的鞋子中任取 4 只，问这 4 只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是多少？解：古典概型设 a=“所取 4 只鞋子至少有 2 只配成一双”，则 p( a) = 1 - p( a) = 1 - na= 1 - 10 8 6 4 = 13 。另解：古典概型ns10 9 8 721设 a=“所取 4 只鞋子至少有 2 只配成一双”，ai=“所取 4 只鞋子恰能配成 i 双”，i=1,2，则nanac1 (c 2 - c1 )c 2120 + 1013p( a) = p( a ) + p( a ) =1 +2 = 584 + 5 =ccnn12ss441010210215、张卡片

19、上分别写上 probability 这 11 个字母，从中任意连抽 7 张，求其排列结果为 ability 的概率。解：古典概型，设 a=“排列结果为 ability”，则 p( a) = na =ns4 = 2.4 10-6 。p7116、（ 1） 已知 p（a）= 0.3， p（b）=0. 4， p（ab）=0. 5。求条件概率 p（b a u b）。(2)已知 p（a）= 1 4， p（a b）=1 2， p（b a）=1 3 ，求 p( a b)解：（1）p(b a b) = p(b( a b) =p( a b)p( ab)p( a) + p(b) - p( ab)由题知, p( a)

20、 = 1- p( a) = 0.7, p(b) = 1- p(b) = 0.6, ；p( ab) = p( a(s - b) = p( a) - p( ab) = 0.2, 故p(b a b) =（2）0.20.7 + 0.6 - 0.5= 0.25因为 p( a b) = p( a) + p(b) - p( ab)又p( a b) = p( ab) = 1 ， p(b a) = p( ab) = 1， p( a) = 1p(b)2p( a)34所以 p(b) = 1 ， p( ab) = 1 ， p( a b) = 161237、 （1）.设有甲、乙二袋，甲袋中装有 n 只白球 m 只红球，

21、乙袋中装有 n 只白球 m 只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？（2) 第一只盒子装有 5 只红球，4 只白球；第二只盒子装有 4 只红球，5 只白球。先从第一盒子中任取 2 只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。解：（1）设 a=“从甲袋取得红球”，b=“从乙袋取得白球”，则p(b) = p(sb) = p( ab) + p( ab) = p( a)p(b a) + p( a)p(b a)=mn+nn +1=n + n (n + m) n + m n + m +1n + m n + m +1(n +

22、m)(n + m +1)（2）设 ai=“从第一盒取得的球中有 i 只红球”，i=0,1,2，b=“从第二盒取得一白球”，则p(b) = p(sb) = p( a0 b) + p( a1b) + p( a2 b) = p( a0 )p(b a0 ) + p( a1 )p(b a1 ) + p( a2 )p(b a2 )c 21因为p( a ) = 4 =，c 25c9p( a ) = 5 =，c6029p( a ) = 1 - p( a ) - p( a ) = 10 ，221810218所以 p(b) = 1 7+ 10 6 +5 5 = 53 。61118111811998、 将两编码为

23、a 和 b 传送出去，接收站收到时，a 被误作为 b 的概率是 0.02， 而 b 被误作为 a 的概率是 0.01 。信息 a 与信息 b 被传出的频繁程度为 2:1.若接收的信息是 a，问原发信息的是 a 的概率是多少?解：设 d=“将信息 a 传出去”，r=“接收到信息 a”，题目要求 p(d r) ，由题知 p(r d) = 0.02 ， p(r d ) = 0.01， p(d)因为 p(d) + p(d ) = 1，所以 p(d) =p(d)p(r d)p(d)p(r d) + p(d )p(r d )p(dr)p(d ) = 2 1，23， p(d ) =13，因此，(1 - 0.

24、02) 23(1 - 0.02) 23 + 0.01 13196p(d r) =p(r)=1979、三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为 1/5,1/3,1/4 。问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？解：设 ai=“第 i 人能译出密码”，i=1,2,3，b=“译出密码”，由题知 p( a ) = 1 ， p( a ) = 1 ， p( a ) = 1 ，则152334p(b) = p( a1 a2 a3 ) = p( a1 ) + p( a2 ) + p( a3 ) - p( a1 a2 ) - p( a1 a3 ) - p( a2 a3 ) + p( a1 a2

25、a3 )= 1 + 1 + 1 - 1 1 - 1 1 - 1 1 + 1 1 1 = 3534535434534510、将 a，b，c 三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为，而输出为其它一字母的概率都是(1)/2。今将字母串 aaaa，bbbb，cccc 之一输入信道， 输入 aaaa，bbbb，cccc 的概率分别为 p1, p2, p3 (p1 +p2+p3=1)，已知输出为 abca，问输入的是 aaaa 的概率是多少？（设信道传输每个字母的工作是相互独立的。）解：设 a1=“输入 aaaa”， b1=“输入 bbbb”， c1=“输入 cccc”，d=“输入 abca”，因为

26、p( a1 b1 c1 ) = p( a1 ) + p(b1 ) + p(c1 ) = p1 + p2 + p3 = 1，因此p( a1d) = p( a1 d) =，p( a1 )p(d a1 )p( a1 )p(d a1 ) + p( a2 )p(d a2 ) + p( a3 )p(d a3 )p(d)由于 p(d a ) = a2 (1 -a 2 ， p(d b ) = p(d c ) = a(1 -a 3 ，所以 p( a11d) =)122ap1。12 )(3a- 1) p1+ 1 -a五、证明题1、设 a，b 是两个事件。（i）已知ab = ab ，证明 a=b；(ii)证明事件

27、a 与事件 b 恰有一个发生的概率为 p(a)+p(b)-2p(ab)。证明：（1）因为 ab = a(s - b) = a - ab ， ab = (s - a)b = b - ab ，所以有 a - ab = b - ab ， a = b ；（2） 显然， p( ab + ab) = p( ab ) + p( ab) = p( a - ab) + p(b - ab)= p( a) - p( ab) + p(b) - p( ab) = p( a) + p(b) - 2p( ab)2、设 a，b 是任意两事件，其中 a 的概率不等于 0 和 1，证明 p(b a) = p(b a) 是事件 a

28、 与 b 独立的充分必要条件。证明 1：由于事件 a 的概率不等于 0 和 1，题中两个条件概率都存在。必要性、由事件 a 与 b 独立，知事件 a 与 b 也独立，因 此 p(b a) = p(b),p(b a) = p(b) ，从而 p(b a) = p(b a) 。充分性、由 p(b a) = p(b a) ，可见 p( ab) = p( ab) = p(b) - p( ab)p( a)p( a)1- p( a)p( ab)1- p( a) = p( a)p(b) - p( a)p( ab) ， p( ab) = p( a)p(b) ，因此 a 与 b 独立。证明 2：由于事件 a 的概率不等于 0 和 1，题中两个条件概率都存在。p(b a) = p(b a)p( ab) = p( ab)p( ab) = p(b) - p( ab)p( a)p( a)p( a)1- p( a)p( ab)1- p( a) = p( a)p(b) - p( a)p( ab)p( ab) = p( a)p(b)因此 a 与 b 独立。3、设 a、b、c 三个事件两两独立，证明 a、b、c 相互独立的充分必要条件是 a与 bc 独立。证明： a、 b、 c 相互独立的充分必要条件是 a、