概率论高等数学习题解答(最新整理)_1

1、习题二（a）三、解答题1. 一颗骰子抛两次，以 x 表示两次中所得的最小点数(1) 试求 x 的分布律；(2) 写出 x 的分布函数解: (1)x123456pi1136936736536336136分析：这里的概率均为古典概型下的概率，所有可能性结果共 36 种，如果 x=1，则表明两次中至少有一点数为 1，其余一个 1 至 6 点均可，共有c1 6 -1（这里c1 指任选某次点222 2数为 1，6 为另一次有 6 种结果均可取，减 1 即减去两次均为 1 的情形，因为c1 6 多15算了一次）或c151种，故 p += = c1 6 -1 = c1 5 + 1 = 11x1 2,其他结果

2、类似可得.(2)2 0 于 x 1363636px = 1于1 x 2px= 1 + px= 2 于 2 x 3f (x) = px= 1 + px= 2 + px = 3 于 3 x 4px= 1 + px= 2 + px = 3 + px= 4于4 x 5px = 1 + px= 2 + px= 3 + px= 4 + px= 5于5 x 61于 x 6 0 于11x 1于1 x 236 20 于 2 x 33636= 27 于3632 于3 x 44 x 535 于 5 x 0 为常数，试求常数 alk-l-lk!解：因为 a= aek =0= 1 ，所以 a = e.4设随机变量 x

3、的分布律为x-123pi1/41/21/4(1) 求 x 的分布函数；(2) 求 px 1， p3 x 5， p2 x 3 222解：0于x -10于 1x -1(1)p x = -1于 -f ( x) = x 2 于 -= 4 x 2， p x = - + p x = 2于 2 x 3 3于2 x 31于x 3 41于x 3 1 = px= -1 = 1 、p 3 x 5 = px = 2 = 1 ,(2)px22242p2 x 3 = px= 2u x= 3 = px= 2+ px= 3 = 3 .4l5. 设随机变量 x 的分布律为 px = k = 1 , k = 1,2,求：2k(1

4、) px = 偶数 (2) px 5(3) px = 3 的倍数解：(1) px = 于于 = 1+ 1 +l + 1 1 1 2222i-11 -+l = lim = 1 ，222422ii1322(2)px = 1 -x = 1 - 1 + 1 +1 + 1 = 1 - 15 = 1 ，2221 23 1 i 24 16163 1 - 3 (3)px = 3于于于= 1 = lim 2 2 = 1 .i=1 23ii1 - 17236. 某公安局在长度为 t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数 x 服从参数为 0.5t 的泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计）(1) 求某一天中午

5、12 时至下午 3 时没有收到紧急呼救的概率(2) 求某一天中午 12 时至下午 5 时至少收到一次紧急呼救的概率 解：(1)x p(0.5t ) = p(1.5)px = 0= e-1.5 .(2)0.5t = 2.5px 1= 1 - px = 0= 1 - e-2.5 .7. 某人进行射击，每次射击的命中率为 0.02，独立射击 400 次，试求至少击中 2 次的概率解：设射击的次数为 x，由题意知 x b(400，0.2),1400px 2= 1- px 1= 1- ck 0.02k 0.98400-k ,k =0由于上面二项分布的概率计算比较麻烦，而且 x 近似服从泊松分布 p(l)

6、（其中l=4000.02），所以查表泊松分布函数表得：px2 -8k e -8，k!px2 1- 0.28 = 0.99728. 设事件 a 在每一次试验中发生的概率为 0.3，当 a 发生不少于 3 次时，指示灯发出信号现进行 5 次独立试验，试求指示灯发出信号的概率解：设 x 为事件 a 在 5 次独立重复实验中出现的次数， x b(5于0.3)则指示灯发出信号的概率p = px 3= 1 - px 10= 1 - f (10) = e-2 ，y b(5 于 e-2 ),5则 py = k = ck (e-2 )k (1 - e-2 )5-k , k = 0,1,l5 .py 1 = 1-

7、 py = 0 = 1-于 1- e-2于5 = 0.5167a cos x,10. 设随机变量 x 的概率密度为 f ( x) = | x | p2 ，试求：p(1) 系数 a；(2) x 落在区间(0,p) 内的概率40,| x |2解：(1) 由归一性知：1 =+=f (x)dx-2 a cos xdx = 2a ，所以 a = 1 .pp-22pp 11p2(2) . p0 x =44cos xdx =0 2sin x | 4 =020,.4x 011. 设连续随机变量 x 的分布函数为 f ( x) = ax2 ,1,0 x 1x 1试求：(1) 系数 a；(2) x 落在区间(0.

8、3，0.7)内的概率；(3) x 的概率密度解 （1）由 f(x)在 x=1 的连续性可得lim f (x) = lim f (x) = f (1) ，即 a=1.x1+x1-（2） p0.3 x 0.7= f (0.7) - f (0.3) = 0.4 .（3）x 的概率密度 f (x) = f (x) = 2x,0 x 1.0,12. 设随机变量 x 服从(0，5)上的均匀分布，求 x 的方程 4x2 + 4 xx + x + 2 = 0 有实根的概率1解：因为 x 服从（0，5）上的均匀分布，所以 f (x) = 500 x 5其他若 方 程4x 2 + 4 xx 2 + x + 2 =

9、 0 有 实 根 ， 则d = (4 x )2 - 16 x - 32 0 ， 即(x - 2)( x +1) 0 ，得 x 2 或 x -1，所以有实根的概率为p = px 2+ px -1=5 1dx +-1 0dx = 1 x 5 = 313设 xn(3，4)2 5-525(1) 求 p2 x 5, p-4 c = px c; 2, px 3;(3) 设 d 满足 px d 0.9 ，问 d 至多为多少?解:(1) 因为 x n (3于4) 所以p2 x 5 = p2 - 3 x - 35 - 3= p-0.5 x - 3 12222f(1) -f(-0.5) = f(1) +f(0.5

10、) - 1 = 0.8413 + 0.6915 - 1 = 0.5328(p- 4 2= 1 - px 2 = 1 - p- 2 x 2= 1 - f (2) - f (-2) = 1 - f(-0.5) - f(-2.5) = 1 - f(2.5) - f(0.5) = 1 - 0.3023 = 0.6977px 3 = 1 - px 3 = 1 - f (3)= 1 - f(0) = 1- 0.5 = 0.5 .(2)px c= 1- px c，则 px c = 1 = f (c) = f( c - 3) = 1 ，经查表得222f(0) = 1 ，即 c - 3 = 0 ，得c = 3

11、；由概率密度关于 x=3 对称也容易看出。22(3)px d= 1- px d = 1 - f (d ) = 1 - f( d - 3) 0.9 ，2则f(d - 3d - 32) 0.1 ，即f(-d - 32) 0.9 ，经查表知f(1.29) = 0.9015 ，故- 1.29 ，即d 0.42 .214. 设随机变量 x 服从正态分布 n (0,s2 ) ，若 p( x k = 0.1，试求 px k= 1 - px k = 1 - p- k x k = 1- f( k) + f(- k )ss= 2 - 2f( k ) = 0.1s所以 f( k ) = 0.95 ， px k =

12、f (k ) = f( k )= 0.95 ；由对称性更容易解出.ss15. 设随机变量 x 服从正态分布 n (m,s2 ) ，试问：随着s的增大，概率 p|x m | s是 如何变化的？解： x n (m,s2 ) 则px - m s= pm-s x= f (m+s) - f (m-s) m+s = f(m+s- m - f(m-s- ms)s)= f(1) - f(-1)= 2f(1) -1 = 0.6826 .上面结果与无关，即无论怎样改变， px - m 0 时， fy ( y) = p(y y) = pex y= px ln y = f(lny)yyxf ( y) = f ( y)

13、 = f(ln y) = 1yf x (ln y) = y-(ln y -m)22ps12e 2s1 11- (ln y-m)2e2s2,y 0所以 y 的概率密度为 fy ( y) =y2ps0于；y 018. 设 xu(0，1)，试求 y = 1 x 的概率密度1解因为 x u (0,1) ， f (x) = 00 x 1，xfy ( y) = p(y y) = p1 - x y = px 1 - y = 1 - fx (1 - y)所以 fy( y) = fy ( y) = 1 - f(1 - y)= f x(1 - y) = 1,0 1 - y 11,=0 y 10, 他他0, 他 他

14、19. 设 xu(1，2)，试求y = e2 x 的概率密度1解： x u (1,2) ，则 f (x) = 01 x 0 时，f ( y) = p x 1 ln y = f ( 1 ln y) ，y2x2f ( y) = f ( y) =1 = 11f (ln y)yy22 y f x ( 2 ln y) 1= 2 y 0 1= 2 y 00 1 ln y 22于于e2 x e4于于20. 设随机变量 x 的概率密度为3 x2 ,f (x) = 2-1 x 1试求下列随机变量的概率密度： 0,于于(1) y1 = 3x ;(2) y2 = 3 - x ;3(3) y = x 2 解:(1)

15、f(y) ) = py y= p3x y = 1 y =1y 1f ( y) = f1 ( y) =1 = 1px13 fx (3 y)y1y1f (y)33 f x (3 y) 3 x 2因为 f x (x) = 20- 1 x 1于于11 1y 2 ,- 1 1 y 1 1y2 ,- 3 y 31所以 fy ( y) = 3 f x (3 y) = 183= 18,于于0,于于0(2)fy ( y) = py2 y= p3 - x y= px 3 - y= 1 - fx(3 - y) ，2fy2( y) = f (x) = 1 - fyx2(3 - y) =f x (3 - y) 3 x

16、2因为 f x (x) = 20- 1 x 1，于于y所以 f ( y) =2 3 (3 - y)2 ,f x (3 - y) = 2-1 3 - y 1 3 (3 - y)2 ,= 22 y 0 时， fy ( y) = p- x y = fx (y )- fx (-y ) ，fy3( y) = f (x) = f (y )- f (-y ) = 1 f (y2xy )+ f x (-y )yf ( y) = 2x 1 f (所以y3y )+ f x (-y ),y 0，y 3 x 20 0- 1 x 1因为 f x (x) = 2，0于于 33所以 fy ( y) = 2y ,0 y 1,

17、于于 0四、应用题1. 甲地需要与乙地的 10 个电话用户联系，每一个用户在 1 分钟内平均占线 12 秒，并且各个用户是否使用电话是相互独立的为了在任意时刻使得电话用户在用电话时能够接通的概率为 0.99，应至少有多少电话线路？解：设 x 为同时打电话的用户数，由题意知 x b(10,0.2)设至少要有 k 条电话线路才能使用户再用电话时能接通的概率为 0.99，则kii10-ik li-lpx k = c10 0.2 0.8i=0 ei!i=0= 0.99 ，其中l= 2,查表得 k=5.2. 在一个电子仪器系统中，有 10 块组件独立工作，每个组件经过 5 小时后仍能正常工作的概率为e-

18、5l，其中l 是与工艺、系统复杂性有关的因子若该系统中损坏的组件不超过一块，则系统仍能正常工作，那么，5 小时后系统不能正常工作的概率（l = 0.08）是多少？解：该问题可以看作为 10 重伯努利试验，每次试验下经过 5 个小时后组件不能正常工作这一基本结果的概率为 1- e-0.4 ，记 x 为 10 块组件中不能正常工作的个数，则x b(10,1 - e-0.4 ) ，5 小时后系统不能正常工作，即x 2，其概率为px 2 = 1 - px 1= 1 - c 0 (1 - e-0.4 )0 (e-0.4 )10 - c1 (1 - e-0.4 )1 (e-0.4 )10-11010= 0

19、.8916.3. 测量距离时，产生的随机误差 x 服从正态分布 n(20，402)，做三次独立测量，求：(1) 至少有一次误差绝对值不超过 30m 的概率；(2) 只有一次误差绝对值不超过 30m 的概率解：因为 x n (20,402 ) ，所以p x 30 = p-30 x 30 = f (30) - f (-30)= f(30 - 20) - f( - 30 - 20)4040= f(0.25) + f(1.25) - 1= 0.5187 + 0.8944 - 1= 0.4931设 y 表示三次测量中误差绝对值不超过 30 米的次数，则 x b(3,0.4931) ，3(1) py 1

20、= 1 - py = 0 = 1 - c 0 0.49310 (1 - 0.4931)3 = 1 - 0.50693 = 0.8698 .3(2) py = 1 = c1 0.49311 0.50692 = 0.3801.4. 假设一设备开机后无故障工作的时间 x 服从参数为 5 的指数分布，设备定时开机，出现故障时自动关机，而无故障的情况下工作 2 小时便关机试求该设备每次开机无故障工作的时间 y 的分布函数解：当 y 0 时，y y 是不可能事件，知 f ( y) = 0 ，y 1 - x- y当0 y 2 时，y 和x 同分布,服从参数为 5 的指数分布，知 f ( y) = 0 5 e

21、dx =1 - e，55当 y 2 时，y y 为必然事件,知 f ( y) = 1 ， 因此，y 的分布函数为0f ( y) = , y 0- y5 于0 y 2 ；1 - e1, y 25. 有甲乙两种颜色和味道都极为相似的名酒各 4 杯，如果从中挑 4 杯，能将甲种酒全挑出来，算是试验成功一次(1) 某人随机去挑，问他试验成功的概率是多少？(2) 某人声称他通过品尝能区分两种酒，他连续试验 10 次，成功 3 次，试推断他是猜对的还是确有区分的能力（设各次试验是相互独立的）解：(1) 挑选成功的概率 p =11c=；8470(2) 设 10 随机挑选成功的次数为 x，则该1 ，x b10

22、， 设 10 随机挑选成功三次的概率为：70 px = 3 = c 3 ( 1 ) k (1- 1 ) 7 0.00036 ，10 7070以上概率为随机挑选下的概率，远远小于该人成功的概率 3/10=0.3，因此，可以断定他确有区分能力。（b）1. 设随机变量的概率密度为,1 3 29f ( x) = , 00 x 13 x 6于于若 k 使得 px k = 2 / 3 ，求 k 的取值范围0, x 031 x, 0 x 11解：由概率密度可得分布函数 f (x) = 3, 1 x 6于于px k = 2 ，即 f (k ) = 1 ，易知1 k 3 ；33- 1,2. 设随机变量 x 服从

23、(-1，2)上的均匀分布，记y = 1,1 于- 1 x 2x 0 ，试求y 的分布律x 0 1 于 x 0 ,于解： x 服从（-1,2）的均匀分布， f (x) = 30于于，又y = - 1于 x 0 ,则 py = 1= px 0 = 2 f (x)dx = 1x 2 = 2 ，0303py = -1 = px 0 = 1- px 0 = 13所以 y 的分布律为y2p-1131233. 设随机变量 x 的概率密度为 f (x) =3 xxfy ( y) 1p(1 + x 2 ), 求随机变量y = 1 -3 x的概率密度解： fy( y) = p1 - y = px (1 - y)3

24、 = 1 - f(1 - y)3 ，fy ( y) = fy( y) = 1 - f(1 - y)3 = - f(1 - y)3 (1 - y)3 = 3(1 - y)2 f(1 - y)3 xx3(1 - y)2= p1 + (1 - y)6 , y r ；4. 设 x 为连续型随机变量，其概率密度为 fx(x)是偶函数，令 y = x，证明 y 与 x 有相同的概率密度证明：因 f x (x) 是偶函数，故 f x (-x) =f x (x) ，fy ( y) = py y = p- x y = px - y = 1 - px - y = 1 - fx (- y) 所以yyf ( y) =

25、 f ( y) =f x (- y) =f x ( y)5. 设随机变量 x 的概率密度为,1x 1,8f (x) = 33 x 20,其它f(x)是 x 的分布函数求随机变量 y = f(x)的分布函数 解：随机变量 x 的分布函数为0f (x) = 31,x -1,x 11 x 8 ，显然 f (x) 0,1 ，x 8fy ( y) = py y = pf ( x ) y，当 y 0 时，f ( x ) y 是不可能事件，知 fy ( y) = 0 ，当0 y 1时， fy( y) = p3x - 1 y = px (1 + y)3 = y ，当 y 1时，f ( x ) y 是必然事件，

26、知 fy ( y) = 1，0,y即f ( y) = y,1,y 00 y 0x 0(1)(2)(3)y1 = 2 x + 1;2y = e x ;3y = x 2 y -11（1） fy ( y) = py1 y = p2 x + 1 y = px 2 y - 1y -1y -1当 0 时，即 y 1时， f ( y) = px y21 =22-0dx = 0 ，y - 1当2 0 时，即 y1 时， fy1( y) = px y -12 y-1 2=0e-x dx = 1 - e1- y2 ，所以 11- y2于 y 1fy1( y) = 2 e；于于于y（2） f2( y) = py20

27、, y 1 y = pe x y，y当 y 0 时，e x y 为不可能事件，则 f2( y) = pe x y = 0 ，y当0 1时， ln y 0 ，则 f( y) = px ln y =ln y e-x dx = 1 - 1 ，y2根据 fy ( y) = fy ( y) 得0y220,y 12fy ( y) = 1 y 2, y 1；y（3） f3( y) = py3 y = px 2 y ，y当 y 0 时， f3y当 y 0 时， f3( y) = px 2 y = 0 ， ( y) = px 2 y = p-y x y = 0yy e-x dx = 1 - e-，所以f 0,(

28、 y) = e- yy 0；y3, y 02y7. 设随机变量x 服从参数为1/2 的指数分布，试证y1= e-2 x 和y= 1 - e-2 x 都服从区间(0，21) 上的均匀分布2e-2x , x 0(1) 证明：由题意知 f (x) = 0。, x 01y = e-2x 于f于 y于 = pyy11 y = pe-2 x y，当 y 0 时， fy（1y）= 0 即 f 于 y于 = 0 ，y1-2 x- ln y +-2 xy当0 y 1 时， f ( y) = pe1 y = px 2 = -ln y 2edx = y ，- ln y 2+-2 x当 y 1时， fy ( y) = px 11 , 0 y 12 = 0 2edx = 1，y故有 f1( y) = 0 ,，可以看出y1 服从区间（0，1）均匀分布；（2）y = e-2x 于f ( y) = py21 y = p1 - e-2 x y = pe-2 x 1 - yyy22当1 - y 0 时， f