大一高数上册

1、复习提纲(函数、极限与连续)一、函数有界函数，周期函数，奇偶函数，复合函数，反函数，显函数，隐函数，初等函数，分段函数，导函数，积分上限函数。1.定义域：使函数解析式有意义的x的取值范围5分式：yfP” 根式开偶次方根：y = * f (x)(n为偶数)，f(x)0对数：y=logaf(x) , f(X)A0反三角函数：y =arcsinf (x), y =arccos f (x), f (x) 12.函数值记法：y(X0), f (Xo), y(x)XzX0 , f (X)x=Xo已知f(g(x)，求 f(x)例:3.例:f(x2-1)=ln 2 oX 22X，求f (X)及定义域奇偶性：D

2、f关于原点对称，若f ( -x) = f(X), f (x)偶函数;f(x) =si nx, g(x) =1 -X2，求 (x)及定义域f(-x)=f(x) , f (x)奇函数4.常见的奇函数:常见的偶函数:注：对任意函数例：已知f (x)(偶延拓)sin X, ta nx,1, xX2n,arcsinx,arctanx , y = ln(x + j1 + x2)* ；x|,cosx, x2n(n为正整数),eX,eX ,IH ；f (x) , 1f(x) + f (x)偶函数，tf(x)-f(X)为奇函数= 2x2 +x,xqo,2，试补充f (x)在-2,0上的表达式使其在区间-2,2上

3、构成偶函常见的有界函数:Wx忘 Df,f(x)M (常数)S i rx| 兰 1 , cO S庐 arccos1,1a rctan 2arXcot 亠 H5.周期函数：f(x+T) = f(x) , T为周期1) f(ax+b)的周期为 T ; 2) f(x)g(x)的周期也是 aT ( f(x), g(x)的周期 T )3) f(x), g(x)分别是以Ti,T2(Ti kT2)为周期的函数，则f(X)g(x)是以Ti,T2的最小公倍数为周期的函数。4)常见函数的周期：sinx,cosx= T =2兀；tan x,cot X, sin x , cosx = T =兀。、极限1数列的极限：li

4、m Xi =a (确定常数)n_注：若数列Xn存在极限，称其收敛；否则称之为发散。2.函数的极限：limf(x)=A, limf(x)=AI lim f(x)=A1) xmf(X)gf(x)=A同时成立;注：ax,ex,arctanx等函数当xt处时的极限要分别考虑XT XT 亠1 lim_f(X)= A = f_(x0)= f(X0-0) 2) lim f(X)= Au 严X-X0I lim+f(x) =A = f/x。)= f(x0+0)t5X0 注：用于求分段函数在分段点处的极限3.极限性质：惟一性，有界性，保号性极限存在准则：单调有界，夹逼定理4.无穷小与无穷大1)无穷小：以零为极限的

5、量称为无穷小量，即lim f(x)=O无穷大：lim f(X)=处(此时极限不存在)；无穷大与无穷小的关系：在自变量的同一变化过程中,1若f (X)是无穷小且f(X)H0，则 一 是无穷大; f(x) 若f (X)是无穷大，则 是无穷小。 f(x)3）无穷小的运算性质：有限个无穷小之和、积仍为无穷小;有界函数与无穷小之积为无穷小。a,4）无穷小的比较：设lima = lim P = 0 （即：a, P为无穷小）若limaB=0，称a是P的高阶无穷小，记作a = o（P）若lim#=c,（ch0），称a与P是同阶无穷小;若lim，称a与P是等价无穷小，记为 LI P5）常用的等价无穷小1 2当

6、X T 0 时，sin X X, tan x x,arcsin x x,arctan x x, , 1 _ cosx x22- 1ln(1 +x) X,eX 1 X (1 +x)n -1 x . n推广：当 f(x)T O(f(x) H0)时，有 sin f(x)f(x),tanf(x)f(x), arcsinf(x) f (x),arctan f (x) f (x),ln(1 +f(x) f (x),ef -1 f (x)6）等价无穷小应用：利用等价无穷小代换求极限CCp-Pp-设 a a ：pp ；且 lim一 存在，则lim = lim 。aaa注：1）只在乘除因子中用，加减运算时不适用

7、，例:lim)0tanx-sinx不能直接代换。x31) lim 沁=1XT X(0)推广：当f（X）T0(f(X0)时，枫晋f(x)詢(X)z0 sin f (x).(0, f(x)这里将sinf (x)换成 tan f (x),arcsin f (x),arctan f (x)结论仍成立当f（X）T0(f(x)H0)时，sin f (x), tanf (x),arcsin f (x),arctan f (x)及 f(x)中任意两个商的极限为d12) lim(-)x =e或 lim(1 +x)x =e (仟) 推广：当f（x）T戏时，叽（ifreab（ a，b，c为常数）当 f(x)T 0(

8、f(x)H0)时，fFmJI+af (x)f(X) =eab ( a,b,c 为常数)6.洛必达法则：若lim f g(x)f ( X )0 oQ，=(),f(x),g(x)在 Xo 邻域内可导，且 g(Xo)HO 0处7=A则:使用法则时注意:0处0处0比每用完一次，要将式子整理化简后再用法则;只有彳（）才能使用，只要是 彳（）可多次使用;为简便运算，往往先对等式恒等变形或用等价无穷小代换后再用法则。7.与极限有关的典型例题1)f（x）是初等函数，X0是其定义域内的一点，用代入法:lim f(X)= f (x。)X0四 arcsine+Q7)2)有理分式函数 f（X）= -Pn的极限Qm（X

9、）QP0，Qm(Xo)HOlim f(X)= lim Pn(x) xfF Qm(x)Qm(Xo)*Qm(X0)=0,Pn(X0)H0未定式 0 , Pn(X0)= Qm(X0)=0XX +3X-1 limxT sin X -1 limjT sin x23)无穷小与有界函数之积仍为无穷小(X3 -5x)arctan x xmX10.9X-7limCOm +14)2im(3x未定型“-x)sin -X0 ”0因式分解:约去零因子2x +5x +6例 lim 2 xfx2 +2x -3含有根式：有理化例xm需例lim町-尸一返 x-1 X2 + x-26xX2 +x2洛必达法则：lim f（X）=

10、lim g（x）ln cos(x -1) limn.兀1 -s in x 21lim 2莎（先代换，令XT XU =丄，再用法则）xxim+；孚1 （先代换令z，再用法则） 重要极限：lim沁=1XT XlimSin(x2T)XT3sin X +x2 coslim （极限存在部分先计算， 能用等价无穷小代换的先代换再用法则）XT （1 +cosx）ln（1 +x）nm(n +1)n +nnSin l=e （两个重要极限都用到）n5）未定型“二”c有理函数用公式:lim a0Xn +aixnri|+an_,x+anSb0Xm +b,xmd+jH +bmx+bm邑,n=mbo0,nm (抓大头)例

11、limX(2x+7)30(3x2-1)10(6x+4)50x9洛必达法则Jt2et2dt例 lim -x_ji=c2xeX例 limX+3sinx 1xY3x 2cosx（不能使用洛必达）分子分母同除因子:limnsc(“严+5nF4n +5n=56）未定型比-处 分式：通分含根式：有理化iim( Jx 中 jx 中 jx - JX)作代换:1X =-t7）limxX未定型2 1 1-X2 ln(1 + 丄)-X 20比0 4 :化为或一03x2 +526sin = 一5xim5x+3X（化为lim(x T)tan x=2 （化为0）0(化为0)0lim xsin ln(1 +3) -sin

12、ln(1 +丄)=2 xYXX8）指数型：00严0,严利用对数恒等式化为0 ”处:ab =eblna ；对1处还可利用重要极限_1一69)分段函数在分段点的极限:用左右极限及极限存在的充要条件考虑I-si nxlim XXhG严1 ( arcs in xx2 xm( -)#X + 3,x v0f(X)= x2 +1,0 ex 1，求 lim f (x),lim f (x)0,aHl），特别是ex, arctan ,arcC的，一定分别求出XT Xc,XT Y 时的极限，两者相等，则 XT处极限存在，否则不存在。10）数列无限项和的极限：利用极限存在准则（夹逼定理）11）数列敛散性的判定和证明例

13、设.= 10,XnH1=J6 +Xn, n =1,2,3, | I,试证数列Xn极限存在，并求此极限limX。12）积分上限函数的极限：用洛必达法则Xft2edt12xeX例 lim 2=-X-和 xex 213）某些特定的极限：用导数的定义求 例设fWA，求（4： 14）已知极限，求常数1)有界性：闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得最大值与最小值。”一axo，求 a,bj X +1lim(=)x =27，求 aXF X -2a设也（kx+ b-三1）=o，求常数k,b。15）已知一个极限，求另一个极限ln1+3f()例 设 lim xsinx = A(a A0,a h1)，求 li

14、m(A l na )oaxo X2“，求 limfTX2lim sin 6x +xf (x)xmX316)无穷小阶的比较XT 0 时,ax2 Ltan2，求a4XT处时,f (x)Q 1，求 lim2 Xf (x)X(lim2 xf(x) = 2)三、连续1.定义：y = f （X）在点Xo连续=Im/y = f (Xo 中Ax) - f (Xo) =0lim f(X)= f(Xo)-SX)2.f（X）在Xo处连续的充要条件: lim f(X)= f(Xo)Xo-lim f(X)= f (Xo) u fi lim+f(x)= f(xo)ITo卞适用于判断分段函数在分段点的连续性3.基本初等函数

15、在定义域内连续；一切初等函数在其定义域内连续函数。4.函数的间断点（在 Xo点不连续）：函数在Xo没有定义，或1噪f（X）H f，或蚁f（X）不存在;6.间断点的分类:1)第一类间断点：左右极限存在但不相等（跳跃间断点）左右极限存在相等，但函数在该点没定义（可去间断点）左右极限存在相等，但不等于函数值（可去间断点）2)第二类间断点：左右极限中至少有一个不存在。7.闭区间上连续函数的性质（用于证明题中）零点定理：设函数 f(x)在闭区间a,b上连续，且f(a)f(b)：0，那么在(a,b)内至少存在一点 匕,f () =0。3)介值定理：设函数f (x)在闭区间a,b上连续，且在这区间的端点f

16、(a) =A, f (b) = B，那么对于A, B之间的任意一个数 C，在开区间(a,b)内至少有一点E ,使得f (G = C(a b)。8.典型例题1) 讨论函数的连续性1 _ 2n例 讨论f(X)=lim x2n x的连续性。x 12)设 f(x)=俾(汙尸(X-1)(t-1) 0,t，求f(x)的间断点并判别其类型。_1 _L_t丄 丄解：f(x) =0(行+汙)厂，所以X=1为间断点;且lim f(X)=,lim f(x) = 0 ,所以x=1是第二类间断点。 51 十9.有关闭区间上连续函数的证明题 命题证明有两种方法: 1)直接法：其程序是先用最值定理，再用介值定理 例 设f

17、(x)在a,b上连续，且acccdvb证明：在(a ,b )内至少存在一个匕，使得pf(c) +qf(d) =( p+q)f(r)，其中 P,q 为任意常数。证一：因为f (x)在a,b上连续，所以f (x)在a,b上有最大值M和最小值m,则m f(x) M，由于 c,a,b, p,q0，于是有13pm pf (c) pm, qm qf (d) qM ,(p+ q)m pf(c)+qf(d) (p+ q)M ,P +qm pf (c)+qf (d) 0 ,有F(c)F(d)- pq f(斤护,加以由零点定理可知，至少存在一个(c,d)u(a,b)，使 F(e)=O,g 卩 p f(c)+qf(

18、d)= f()( p+q)。例设f (x)在0,2 a上连续，且f (0) = f(2a)。证明：在0, a上至少存在一个匕，使得f佗)=f ( + a)。复习提纲(导数与微分)、导数1导数的定义 1)设函数y = f(X)在点xo的某邻域内有定义,、.也 y f(X0 +也X )f(X0 ) f(x0)=lxmH=lixm0f (X0 )= lim f xf 仏)或 厂(x。)= lim 匸hf( x。)(几种等价定义) xfX X0hT注：求某点处的导数，尤其是分段函数在分段点的导数用第二种等价定义较方便。2)3)导函数：f(X), y：；导函数值(导数)：y dx若极限 鹦不存在，则y

19、= f (X)在点xo处不可导。y，fo)，dX2.单侧导数1)g翊或g弋一竿严；15fg曲)或f+(Xo乜+竿严；2)函数y = f (X)在点Xo处可导的充要条件是f+(Xo )= f_(Xo )注：常用来判别分段函数在一点的可导性 3.导数的几何意义、物理意义与经济意义1)几何意义：y = f(X )在点(Xo, f (Xo )处切线的斜率：k = f (Xo )过点(Xo, f (Xo )的切线方程为：y yo = f (Xo XX Xo )；1右 f( Xf)H O，法线方程为： y - yo = - 一；(X - Xo)f (Xo )若 f(x3)=o，则切线：y=yo ；法线：x

20、=xo 若f(Xo) =处，则切线：x=Xo；法线：y = yo。t =s(to )。2)物理意义：物体在to的瞬时速度：8(to )，即V3) 经济意义：f(x)在经济学中称为边际函数。4.可导与连续的关系可导=连续；连续未必可导，如函数 y = X在点X = O连续但不可导。5函数的求导法则显函数直接求，隐函数两边求，抽象函数复合求，复合函数逐层求，参数方程分别求，一点处导数定 义，幕指函数乘除因子对数求，高阶导数逐阶求。、微分1微分的概念 1)定义设函数y = f(X诳点x0的某一邻域内有定义，且Xo+Ax也属于该邻域。如果函穷小量，则称函数y = f(X )在点xo处可微分，并称A 为

21、函数y = f ( X)在点xo处的微分。记为dyx=Xo或df(xL亠。2) y = f (X)在点Xo处可微分二 函数f(X)在点Xo可导，此时dyX= f (Xo )dx。3)微分的几何意义:函数y = f(X)在点x处的微分dyx=f(Xo)dx，在几何上表示当自变量X有改变量Ax时，曲线y = f(X)在点(Xo, f (Xo )y沿切线的纵坐标的改变量。2.微分的运算1)微分的基本运算公式：dy = f(X )dx2)一阶微分形式的不变性：无论U是自变量还是中间变量，都有 dy = f (U )du总成立。3)y = f(X )在点Xo处连续、有极限以及可微、可导之间的关系:可微二

22、 可导=连续=有极限3.微分在近似计算中的应用1)设y =fX)在点Xo处可导，则当Ax很小时，有f (Xo +心X )是f(Xo)+ f(XoQx2)常用的近似公式：当X很小时,sin X 止 X , 丨 n (1x 今 x ,eJ1 +x ,1 +Xn三、导数与微分典型运算1.与导数定义有关的命题步骤：1)写出导数定义式；设 f (1) = A，求 lim f SYxI-f (1) = _3AXT2)再凑成要求的定义式X1设f (Xo)存在，求 怛 f-Mx)f(xo+3X)= _5f-(xo)设f(x)在x=1连续，且lim 型 =2，求f(1)x-1 x-1设对任间 x,y有 f (x

23、y) = f(X)+ f (y)，且 f(1)=1,证明当 xh0时，有 f(x)=X设 f(X)在(-=c,+=c)内有定义，对任意 X ,恒有 f(x+1) =2f(x),当 0x1)， r -du1 七Int ed2yd?x=9- 2x =ln(1+t),求 dy y=tarctant dxd2ydx24)对数求导法步骤：等式两边同时取对数等式两边同时对 X求导(即利用隐函数求导方法)1，左边是一yy整理，将y代入。sinx+-=x (X0)，求 y例 y=xj +xsinx(xA0)求：y，(y = yi +y2，y = yi, 7)Vx -15）求高阶导数 步骤：先求出一阶，并整理;

24、再求二阶，三阶等。（每做一次，先整理后再求更高阶）设 y2)=x2，求 y(n)y=ln(X + Jl +x2)，求 yHFx/设 y =xln X，求 y(n)设 y =exsinx，求 y（n）注：常用高阶导数公式 (ax)(n)=axlnna(a0),(ex)(n)=ex (sinkx)(n) =kn sin(kx + n 专)，(coskx)(n) =kncos(kx + n 专) (xm)(n)=m(m1)川(m n 十彷, (xn)=n!6）求导数值 步骤：求出导函数 f（X）再将X0代入f （Xo） = f（X）X=Xo例 f(x)=x(x +1)(x +2)H|(X +n)，求 f(0)例 f(x)=eX(eX-1)(eX-2)川(eX-100)，求 f (99!)例f(x)=yxsinx，求f(X)及f(0)(注：本题x=0点导数要用定义求)7) 求切法线方程步骤：写出切点(x0,y0)求出y，得k = yX仝 y=y0或k = yti (此为参数方程)23写出切、法线方程公式，再代入例 求X2 +y =2在点X =1处的切法线方程。1例曲线y=严的切线与X轴和y轴围成一个图形，记切点的横坐标为a，试求切线方程