无穷小的比较

1、第七节 无穷小的比较教学目的：使学生掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。教学重点：用等价无穷小求极限教学过程：一、讲授新课：积的情况，对于其商会出现不同的情在第三讲中我们讨论了无穷小的和、差、232naox况，例如：limboxm，-n _m=lim xao _boaobo 0men( ao ,bo为常数，m,n为自然数)可见对于m,n取不同数时,aoXn与boXm趋于0的速度不一样，为此有必要对无穷小进行比较或分类:定义：设a与P为x在同一变化过程中的两个无穷小,(i)(ii)(iii)若lim E =o，就说P是比Ct高阶的无穷小，记为P =o(a)； a若limB=处，就说P是比

2、a低阶的无穷小；aB若lim =Cho ，就说P是比a同阶的无穷小；a若lim P =1，就说P与a是等价无穷小，记为a P。 a【例1】当XT 0时，x2是x的高阶无穷小，即X2 =o(x);反之x是x2的低阶无穷小;x2与1 -cosx是同阶无穷小；x与sinx是等价无穷小，即x sinx。:高阶无穷小不具有等价代换性，即：X2 = o(x),x2 = 0(Vx)，但0(X)H0(Jx)，因为0()不是一个量，而是高阶无穷小的记号;:显然(iv)是(iii)的特殊情况；:等价无穷小具有传递性：即；:未必任意两个无穷小量都可进行比较，例如：当XT 0时，xsin与x2既非同x.1 xsin-

3、阶，又无高低阶可比较，因为lim严不存在;:对于无穷大量也可作类似的比较、分类；:用等价无穷小可以简化极限的运算，事实上，有:定理：若a, Po ： P，均为x的同一变化过程中的无穷小,B一且 a a ： P P ，及 lim 一 3， a，3 _3 -那么 lim 3 = lim 一。aa【例2】求limCOsx。T sin2 x解：因为当XT 0时，sinxx1 一 cosx1 -cosx 12=lim2=-。sin XxT X2+arcs in 2x求 lim T X2 +2x所以lim【例3】解：因为当 XT 0时，arcsin2x 2x，所以 原式 =lim 2 =lim 2 =2=

4、1。T X2 +2x Tx +2 27:在目前，常用当XT 0时，等价无穷小有：1 x28用等价无穷小代换适用于乘、除，对于加、减须谨慎!二、课堂练习：三、布置作业：sin x x,tanx x,arcsin x x,arctanx xj cosx第七节 无穷小的比较教学目的：使学生掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。教学重点：用等价无穷小求极限教学过程：一、讲授新课：在第三讲中我们讨论了无穷小的和、差、积的情况，对于其商会出现不同的情naoX况，例如：xmbpxm n m=lim xXTa0boaobo 0cmen( ao,bo为常数，m,n为自然数)8a(Vi)若lim(vii)若

5、lim(viii)若lim穷小;x2与1 -C0SX是同阶无穷小；x与sinx是等价无穷小，即x sinx。可见对于m,n取不同数时，a0Xn与box趋于0的速度不一样，为此有必要对无穷小 进行比较或分类: 定义：设a与P为x在同一变化过程中的两个无穷小,(V)若limP=0，就说P是比a高阶的无穷小，记为P =o(ot)；P-=,，就说P是比a低阶的无穷小；aE=Ch0 ,就说P是比a同阶的无穷小;a=1，就说P与a是等价无穷小，记为a P 。 a【例1】当XT 0时，x2是x的高阶无穷小，即X2 =o(x);反之x是x2的低阶无:高阶无穷小不具有等价代换性，即：X2 = o(x),x2 =

6、 0(JX)，但0(X)H0(以)，因为0()不是一个量，而是高阶无穷小的记号;:显然(iv)是(iii)的特殊情况;:等价无穷小具有传递性：即；:未必任意两个无穷小量都可进行比较，例如：当 XT 0时，xsin与x2既非同.1xsin-阶，又无高低阶可比较，因为lim严不存在；T X2:对于无穷大量也可作类似的比较、分类；:用等价无穷小可以简化极限的运算，事实上，有：Px定理：若a，均为X的同一变化过程中的无穷小，且 用-P ，及lim 3，aP-P-那么 lim 3 = lim ；。aa【例2】求lim C0sX。T sin2 X解：因为当XT 0时，sin X Xr?r* t I I .

7、 1 cos X1 cos X 1所以 lim2=lim2=-。T sin XXTX 2【例3】 求lim arcsin2XT X2 +2x解：因为当 XT Q时，arcsin2x 2x，所以 原式=lim JTim 2=2=1。T X +2x 7x+227:在目前，常用当XT Q时，等价无穷小有：1 2X28用等价无穷小代换适用于乘、除，对于加、减须谨慎！二、课堂练习：三、布置作业：sin x x,tan x x,arcsin x x, arctan x x,1 -cosx 第九节连续函数的运算与初等函数的连续性教学目的:教学重点:使学生了解连续函数的性质和初等函数的连续性；并会应用函数的连

8、 续性求函数的极限应用函数的连续性求函数的极限教学过程：一、复习函数的连续性定义、间断点的分类二、讲解新课：(一)连续函数的运算定理1(连续函数的四则运算法则)：若f(x),g(x)均在X0连续，则f(x) 土g(x), f(X)Q(X)及 3(要求 g(XQ)HQ )都在 Xq 连续。 g(x)定理2 (反函数的连续性)：如果y = f(x)在区间lx上单值，单增(减)，且连续，那么其反函数X =(y)也在对应的区间Iy =yy = f(x),x-lx上单值，单增(减)，且连续。注1： y=W(x)亦为y = f(x)的反函数，如上知：y=(x)在i y上有上述性质。定理3:设U =(x)当

9、XT X0时的极限存在且等于a，即lim (X)= a，又设y = f (u)Jxq在u=a处连续，那么，当XT X0时，复合函数y=f(x)的极限存在，且等于f (a)，即 lim f (护(X) = f (a)。Sx0注2：可类似讨论XT 乂时的情形。定理4:设函数U =（x）在点X =x0连续，且W（x0） =u0，函数y = f （u）在u0点连续,那么，复合函数y = f（x）在点x = X0处连续。注3:定理3、4说明lim与f的次序可交换。注4:【例1】 由于y=xm（ m为正整数）在0,xc）上严格单调且连续，由定理2,其反在定理3中代入a=U0 =W（X0），即得定理4。1函

10、数y=xm在0,+）上也严格单调且连续，进而：对于有理幕函数（a =9, PHO, P,q为正整数）在定义上是连续的。P例 2】求匹（2-si nx解：因为xm0乎，及炉在心点连续，故由定理3,原式=arcs in x（二）初等函数的连续性我们已知道y =sinx,y =cosx在其定义域内是连续的，由定理2知g和y =arccosx在其定义域也是连续的。可证明指数函数y =ax（a :0,a工1），在其定义域（=,址）内是严格单调且连续的，进而有对数函数y=logaX （a:0,aH1）在其定义域（0,母）是连续的。又y=xy=aWgaX （卩为常数），由定理4知：y=xP在（0,址）内是连续的，当4取有理数时，见例1,总之y=xA在定义域内是连续的。综合以上结果，得：基本初等函数在其定义域内都是连续的，由基本初等函 数的连续性，及定理14,即得：结论：一切初等函数在其定义区间内都是连续的。注1定义区间为包含在定义域内的区间；2:在 1.9,我们是用极限来证明连续，现在可利用函数的连续来求极限。【例3】【例4】lim eSjn(2arctanx) _ eSin(2arctan1) _ e XT1 1lim “1 +X)= lim ln (1