期末理数(教师

1、50分，在每小题给出的四个选项中，只x的值为 (C. (O,B=y y 0，故选 B.黄冈中学2012年春季高二年级期末数学试题(理)一.选择题(本大题共 10小题，每小题5分，共 有一项是符合题目要求的)1若复数z=(x2-1)+(x-1)i为纯虚数，则实数一1或1C. 1严 2【解析】由/ 1 =0= X=1，故选A .X 1 h02.设集合 A= x|y =1 n(1 X)，集合 B= y y = x2，则 A B =A . 0,1B. 0,1)3. f(X)2X迂(-K,1) x2 x【1,，则 f【f( 2)=(A . 16116【解析】f(/) =22 =4 ,f (f (2) =

2、 f (4) =16，故选 A.4对于函数y = f(x) , X忘R , “讨=f(x)的图象关于y轴对称”是“y= f (x)是奇函数”A .C.的()充分不必要条件充要条件B .必要不充分条件D .即不充分也不必要条件【解析】若y=f(x)是奇函数，则y= f (x)的图象关于y轴对称；反之不成立，比如偶函数y = f(X)，满足y = f(x)的图象关于y轴对称，但不一定是奇函数，故选5 .如图，ABCD是边长为I的正方形, 则阴影部分的面积为 ()1A.41C.-3O为AD的中点,抛物线的顶点为O且通过点C,D.1y =- X26.如图，AB为L O的直径，弦AC , BD交于点P

3、,若 AB =3,CD =1，贝y sinNAPD =(【解析】以0为原点建系，抛物线方程为/01-X2dx02B. 一31C.-3D .【解析】A= x 1 -X ：o=x X v1纽2，故选D .3【解析】连结 AD，贝y sinZAPD =匹，又ACDP I iBAP ,AP从而 COSNAPD =巴- CD =!，所以 sinZAPD =1 -(丄)2 =PA BA 3V 37.若直线mx -ny +2 =0(m 0,n0)和函数f (x) = a*屮+1(a :0且a H 1)的图像恒过同2 1一个定点，则 +-的最小值为(m nA . 10C. 4D. 2数学(理科)试题第5页共9

4、页【解析】1-X 2f(x) =aX*+1过定点(1,2),又点在直线上，二m + 2n=2,2+丄 l(m+ 26=! M +兰 +2 + 74 =4(当 m=2n =1 时取等)，故选 C. En丿21 m n丿&函数f(X)在定义域R内可导，若f(x) = f (2-X)，且当X亡(=,1)时，(x-1)f(x)0,1B. a cbD. be aVC设 a = f (0), b = f (), c = f (5),则 a, b, c 的大小顺序为( 2A . b VC caC. c ca cb【解析】由题意知函数f(X)关于x=1对称，x( = ,1), f(X)单调递增，f(5) =

5、f(-3),1.一3 c0 , c ca cb,故选 C.29定义域为R的偶函数f(x)满足对亡R，有fX物=f(X f) ，且当x2,3时 f(X)= 2(x -3)2,若函数y = f(X)-loga(x +1)在(0,+处)上至少有三个零点，则a的 取值范围为()s/25/3V5/6A. (0)B (0,)C.(0,1)D .(0)2356【解析】由f (x+2) = f(X)-f(1)恒成立可知f(x)图像以x=2为对称轴，周期T = 2 , 作出f(x)的图像，：y=loga(x +1)的图像与f(x)的图像至少有三个交点，即有罷loga(2 +1)f(2) =2 且 0ca1，解得

6、 a (0,於)，故选 B.310已知函数f(x)的定义域为-15 ，部分对应值如下表.f(X)的导函数y = f(X)的图象如图所示.X-1045f (云1221下列关于函数f(X)的命题:函数y = f(X)是周期函数;函数f(X)在(0,2】是减函数; 如果当X忘-1,t 时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4;当1a2时，函数y = f(x)-a有4个零点.其中真命题的个数是()A . 4个B. 3个【解析】画出原函数的大致图象，得： 为假命题， 为真命题. 为假命题， 为假命题，C. 2个-1, 0与4 , 5上单调性相反，但原函数图象不一定对称. 因为在0 , 2上导函数为负

7、，故原函数递减；当t=5时，也满足x -1 , t时，f(x)的最大值是2;y = f(X)-a可能有有2个或3个或4个零点故选 D.二填空题(本大题共 5小题，每小题5分，共25分) 11.已知命题【答案】“ 3x亡R ,| x-a|+|x+1|2 ”是假命题，则实数a的取值范围是 (, _3) U (h +2C )【解析】“ 3x 迂 R, ,|x-a|+|x+1|2，解得 a 吒一3或a1 .r x = 1 + cos012.若直线3x+4y + m=0与曲线Jy：_2，si 3参数)没有公共点，则实数m的取值范围是【答案】m 10【解析】曲线的普通方程是(x-1)2+(y+2)2 =1

8、，圆心(1,2)到直线3x+4y + m = 0的距离3 1+ 4(2 )+m d =m 573，令 lm5 a1，得 mA10或 m(x+y-2z)2 ,知 a S =x +y -2z 476, 4/6.15已知存1=2石卩寻3香卩二4鬲I，若和，t,n为正实数，n2),通过归纳推理，可推测 a, t的值，则a + t =用n表示)【答案】nS n-1【解析】通过归纳推理，a = n, t=n2 -1. a +t = n2 +n -1.三.解答题(本大题共 6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16.(本小题满分12分)已知命题P :函数y=lg(ax2-ax +1)的定

9、义域为 R，命题q：函数在X迂(0,邑)上是减函数，若“pvq ”为真命题，pAq ”为假命题，求实数a的取值范围.、a 0【解答】命题p : a = 0或彳2，二 0 a 4; =a2-4ac0命题q :2a 2a -3 c0 ,. - 1 a c3;由题意知命题 p,q有且只有一个是真命题，当P为真,0 a V 4q为假时，？=a 3当P为假,亠,(a 4q为真时，彳=-1 ca 3综上可得，一1 a cO或3a 4 .3a v4 ,一1 a 0 ,17.(本小题满分12 分)已知函数f (x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x) = x2 +2x.(I)求函数g(x)的解析式;(n)

10、如果对 Vx忘R，不等式g(x) +c f (x)-1 x-1|恒成立，求实数c的取值范围.【解答】(I) T函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，g(x) = f (X)= (X2 2x),故 g(x) = X2 +2x.2(II)由 g(x)+c f(X)|x 1|可得：c2x X 1 , 人(2x2 -X +1,令 F(x)=2I2x2 +x-1,当 X 1 时，F(X)minx3lX 0. g(x)在(2,0)上单调递增;当x“0,时，g(x) cOj g(x)在(0)上单调递减,rg(1)0g(1)w0要使f(x)+b=0在区间-1,1上恰有两个不同的实数根,b 0，”.一2ln

11、 2 cb2-2ln3.2ln 3-2+b 019.(本小题满分12分)一座桥，两端的桥墩已建好，这两桥墩相距 m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻桥墩之间的桥面工程费用为(2 + 7x)x万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下 工程的费用为y万元.(I)试写出y关于x的函数关系式;(n)当m =640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小?【解答】(I)设需要新建 n个桥墩，(n +1)x = m,即n=-1,X所以 y = f(x)=256n+(n+1)(2+JX)x=256(m-1)+ m(2

12、+ 7X)x X= 256m +m 7x+2m-256.x(n)方法一：由(I)知， f (X)=-256m1+-mx2x23m -= Fx2 512),2x令 f（X）= 0 ,得 X2 =512，所以 x=64当0 X 64时，f (x)0, f(x)在区间(0, 64)内为减函数;当640, f(X)在区间(64, 640)内为增函数,所以f(x)在x=64处取得最小值，此时,亠空 _1=9.64数学(理科)试题 第#页共9页故需新建9个桥墩才能使y最小.256im方法二：y=+ 2m-256=m（X 2+ 一25623口丁64 + m - 256 m4- 2当且仅当 256X工即x =

13、 64取等)220.(本小题满分13 分）已知直三棱柱ABC -A,BiCi的三视图如图所示，且D是BC的中点.(I)求证:AlB /平面 ADCi;(n)求二面角 Cj - AD -C的余弦值;(川)试问线段AB1上是否存在点E ,使AE与DC1成60角？若存在，确定E点位置,若不存在，说明理由.【解答】(I )证明：根据三视图知：三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，AB =BC =2AA1,NABC =90连结AC , AC1交于点O ,连结OD .由 ABC-AB1C1是直三棱柱,得四边形ACC1A为矩形，0为AC的中点.又D为BC中点，二OD为 ABC中位线，二 AB / OD ,因

14、为ODu平面ADC1 , ABH平面aDC1 ,所以 AB /平面ADC1.(n)由ABCA1B1C1是直三棱柱，且 NABC =90，故BA,BC,BB1两两垂直.如图建立空间直角坐标系B - xyz.寫 BA = 2，贝y B(0,0,0),C(2,0,0),A(020),Ci(2,0,1), D(1Q0).所以 AD=(1,2,0),设平面ADCi的法向量为y =1，得 n ：= (2,1,2).AG = (2,2,1)月TIn ”AD = 0=(x,y,z),则有越n ” AG = 0所以LT2x2 y + z = 0.易知平面ADC的法向量为y= （0,0,1）.由二面角 CjADC

15、 是锐角，得 coSn, V=n1=2MM 32 即二面角C1 -AD -C的余弦值为一.3（川）假设存在满足条件的点 E .因为 E 在线段 AiBi 上，Ai(0,2,1), Bi( 0,0,1)，故可设 E(0.,1)，其中 0入 g1（x）；（n）当XA0时，比较f（x）与gn（x）的大小，并说明理由;（川）证明：1 + -l2 丿 by+L +QIn +1 丿0 时，Wjx）。.即函数巴（X）在（Y,0）上单调递减，在（0, P）上单调递增,在x=0处取得唯一极小值,因为半1(0) =0,所以对任意实数 x均有 码(x)gi(x).(n)当 X 0时，f(x) A gn(x).用数学

16、归纳法证明如下:当 n =1 时，由(1 )知 f(xH-g1(x)；假设当n = k ( kc N +)时，对任意X 0均有f (x) gk(x),令k(x) = f(X)gk(x)，粋屮(X)= f(X)gk承X),因为对任意的正实数 X , W；/x) = f(X)gkS(x)= f(x) gk(x),由归纳假设知，W打(X)= f (x) -gk(x) 0,即9k十(x) = f(x)-gk氣X)在(0, +辺)上为增函数，亦即 歸卅(x)Ak氣0),因为半心(0) =0,所以kdx)0 .从而对任意X 0，有f(X)-gk十(X)0 ,即对任意X，有f(X) gHt(x),这就是说，

17、当n = k +1时，对任意X A 0，也有f(X)A gk卅(X)-由，知，当xaO时，都有f(x)Agn(x).(川)证明1：先证对任意正整数 n , gn(1)0时，对任意正整数n，都有f(X) gn(x).令 X =1，得 gn (1f (1 )= e .所以 gn(1 )ve.再证对任意正整数 n ,X3l3丿畀2l4丿要证明上式，只需证明对任意正整数n，不等式 成立.nIn + 1 丿nl(*)成立.即要证明对任意正整数 n，不等式ni (匸口 I 2丿方法1 （数学归纳法）：当n=1时，1!e成立，所以不等式（*）成立.飞2丿假设当n=k （ k亡N +）时，不等式（*）成立，即k!则(k +1 ) =(k +1 )k!兰(k +1I 2丿=2fk+1