特训“2+1+2”压轴满分练(三)理

1、xe1.已知函数 f(x) = x + 2kln“2+ 1+2”压轴满分练(三)x-kx,若x = 2是函数f(x)的唯一极值点，则实数k的取值范围是(A.B j eB. I , 2C. (0,2解析：选A由题意可得f (x) =D. 2 ,+s)x ex由x = 2是函数f(x)的唯一极值点知 e kx =ex(x0)和y= kx2(x0)的图象可知，只能是x,ekw r,x法一：由 x0 知，ex kx2，则x2令 f (x) = 0,得 x= 2 或 e = kx (x0),x2(x0)恒成立或 ew kx2(x0)恒成立，由y ex kx2(x0)恒成立.xe设 g(x)=孑贝y kw

2、 g( x) min.由 g(x)=xnexJ3x,得当x2 时，g(x)0, g(x)单调递增；当 0x2, g(x)kx2( x0)恒成立，则y = 0*(x0)的图象在y= kx2(x0)的图象的上方(含相切), 若kw 0,易知满足题意； 若k0,设y= ex( x0)与y = kx2(x0)的图象在点(xo, yo)处有相同的切线,0= ex0,则卜0= kx2,ex0= 2kx0,解得pe,Ik=e,2e数形结合可知，0kw-.综上，k的取值范围是(s, 0 U(0, e= (-8, e42定义“有增有减”数列an如下：？ t N, atas+1.已知“有增有减”数列an共 4项，

3、若 ai x, y, z( i = 1,2,3,4)，且 xya2a3a4,且等号不同时成立）及不减数列（aiW a2 a3a4,且等号不同时成立）.常数数列，有 1,1,1,1; 2,2,2,2 ; 3,3,3,3，共 3 个.不减数列，含1,2,3中的任意两个数或三个数，若含两个数，则有C2= 3种情况，以含有1,2为例，不减数列有1,1,1,2 ； 1,1,2,2 ；1,2,2,2 ,共3个，所以含两个数的不减数列共有 3X 3= 9 个.若含三个数，则不减数列有1,1,2,3 ； 1,2,3,3 ； 1,2,2,3 ,共3 个.所以不减数列共有 9 + 3= 12 个.不增数列，同理，

4、共有 12个.综上，数列an不是“有增有减”数列共有 3 + 12X2= 27 个.所以，数列an是“有增有减”数列共有 34- 27= 54个.法二：根据题设“有增有减”数列的定义，数列an共有两类.第一类：数列an的4项只含有x , y , z中的两个，则有 d= 3种情况，以只含 x , y为例，满足条件的数列an有 X, y, X, X； x, x, y, x； y, x, y, y； y, y, x, y； x, y,x , y ； y , x , y , x； x , y , y , x； y , x , x , y,共 8 个，所以此类共有 3X 8= 24 个.第二类：数列an

5、的4项含有x , y , z中的三个，必有两项是同一个，有c3 = 3种情况,以两项是x，另两项分别为y, z为例，满足条件的数列ch有x, x, z, y；x, y, x, z； x,z, x, y； x, y, z, x； x, z, y, x； y, x, x, z； y, x, z , x； y , z , x ,x； z , x , x , y；y , x,共10 个 ,所以此类共有 3X 10= 30 个.综上，数列an共有24+ 30= 54个.3如图，等腰三角形PAB所在平面为a , PAI PB AB= 4 , C, D分另U为PA AB的中点,G为CD的中点平面 a内经过点

6、G的直线I将PAB分成两部分，把点 P所在的部分沿直线l翻折，使点P到达点P（P ?平面a）若点P在平面a内的射影H恰好在翻折前的线段AB上 ,贝熾段P H的长度的取值范围是解析：在等腰三角形 PA= PB= 2返C, D分别为PAPAB中 , / PAIPB AB= 4 ,AB的中点, PC= C=/2k Pd CD连接PG P G G为 CD的中点， PG= P G=冷0.连接HG点P在平面a内的射影H恰好在翻折前的线段AB上,4 P H平面 a , P H HG Hg P，G=易知点G到线段AB的距离为1,又 P H=)hG,.O P H0)的焦点为F,准线为I.已知以F为圆心，半径为4

7、的圆与I交于A, B两点，E是该圆与抛物线 C的一个交点，/EAB= 90.(1)求P的值;已知点P的纵坐标为一1且在抛物线C上, QR是抛物线C上异于点P的两点，且满足直线PQ和直线PR的斜率之和为一1,试问直线QF是否经过一定点？若是， 求出定点的坐标；否则，请说明理由.解: (1)连接 AF, EF,由题意及抛物线的定义，得I AF = I EF = I AE = 4，即 AEF是边长为4的正三角形，所以/FAE= 60,设准线I与x轴交于点D,在Rt ADF中，/ FAD=130,所以 p=| DF = 2l AF =12 X 4=2. 由题意知直线 QR的斜率不为0,设直线QR的方程

8、为x= my+1,点Qx1, y , R(x2,y2).|x= my+1 ,2由 5 2得 y 4my- 41 = 0,y = 4x,则 = 16m + 161 0, y1+ y2= 4m y1 y2= 41.又点P, Q在抛物线C上,所以kpQxp X1yP y yp+ y1 屮一1,4 44同理可得kPR=y彳因为 kPQ+kpR= 1 ,4所以 h yi =仆 y1 + y2+ 116m- 8=14t 4m+ 1 = 16m + 16t0,77+ 3m- 4,由 t = 3m- 4, U-解得m s,所以直线QR的方程为x= my+ 3) 7,则直线QR过定点(一4, 3丿.2x3x5.

9、已知函数 f (x) = e(X + ax + 4xcos x+ 1) , g(x) = e mx+ 1).(1)当m1时，求函数g(x)的极值; 若 a 2,证明：当 x (0,1)时，f(x)x + 1.解：(1)由题意可知g(x) = ex m当 时，由 g( X)= 0 得 x = In m,由xln m得g(x)0 , g( x)单调递增；由xIn m得g(x)x + 1,3X+ 1即证 x +ax+ 4xcos x + 1 e2x .由(1)得，当 m= 1 时，g(x) = ex (x+1) 0,即 ex x+ 1,2X2X + 11所以 e2(x + 1)2,所以, x (0,1),e x十13x+ 1 313xx + ax+ 4xcos x +1x + ax+ 4xcos x + 1 石=x+ ax+ 4xcos x+百=x，2 1 )x + 4cos x+a + x+丿整l+xa(x)4 甘 (L.oyx汕公更TV宦 肖 al +X SOOX寸 +xe+ X L+x -c工代TO旦Hk Soo寸al Soo寸 L u(