§13.1函数列与函数项级数一致收敛性解析

1、.第十三章 函数列与函数项级数1 一致收敛性(一) 教学目的：掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法(二) 教学内容：函数序列与函数项级数一致收敛性的定义；函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则；函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法基本要求：1）掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法 (2) 较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法2、教学基本要求：理解并掌握函数列与函数项级数的概念及一致收敛的概念和性质

2、；掌握函数项级数的几个重要判别法，并能利用它们去进行判别；掌握一致收敛函数列与函数项级数的极限与和函数的连续性，可积性，可微性，并能应用它们去解决问题。3、教学重点难点：重点是函数列一致收敛的概念、性质；难点是一致收敛性的概念、判别及应用。(三) 教学建议：(1) 要求学生必须掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法(2) 对较好学生可要求他们掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法一 函数列及其一致收敛性 对定义在区间I上的函数列，设 ，若数列 收敛，则称函数列在点收敛，称为函数列收敛点；若数列 发散，则称函数列

3、在点发散。使函数列收敛的全体收敛点集合称为函数列收敛域（ 注意定义域与收敛域的区别 ）。若函数列在数集上每一点都收敛，则称函数列在数集D上收敛，这时D上每一点，都有函数列的一个极限值 与之对应，由这个对应关系所确定的函数，称为函数列的极限函数。 逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“”定义. 例1 对定义在内的等比函数列, 用“”定义验证其收敛域为, 且 例2 . 用“”定义验证在内.函数列的一致收敛性：设函数列 在E上收敛于 ，若对任意的 ，存在自然数 ，当 时，对E中一切 都有 则称函数列在E上一致收敛于。注意 这里的 N 只与有关，与x 无关，这一点是一致收敛与逐点收敛的本质区别。一致

4、收敛的几何意义对任给的-带 ，总存在一个N，时，的图形全部落入这个-带内。一致收敛情况图示 f(x)fn(x) 对任意，n充分大时， 将全部落入带以内。收敛但不一致收敛的几何意义：对任意 ， ，但存在一个，对任意的N，都可找到一个，尽管 ，但 总有一部分落在带以外。f(x)fn(x)例 证明函数列 在 上收敛但不一致收敛证明 1）函数列在 上收敛。显然 对任意的 ， 2）但 不一致收敛于0先看一看函数列的图象（图中给出的是 n8，20，50 的情况）clf,x=0:1/100:1; y1=8*x./(1+64*x.2);y2=20*x./(1+400*x.2);y3=50*x./(1+2500

5、*x.2); plot(x,y1,x,y2,x,y3,linewidth,2)hold on plot(-0.1,1,0,0,b,0,0,-0.1,0.6,b)axis(-0.1,1.2,-0.1,0.6) legend(y1,n=8,y2,n=20,y3,n=50) 可以看出，对于 ，无论 n再大， 的图象总有一部分落在带以外。事实上存在 ， ，所以该函数列是不一致收敛的。例 函数列 在上不一致收敛，但在 上一致收敛。先看看该函数列的图象clf,x=0:1/100:1;y1=x.4;y2=x.10;y3=x.50;plot(x,y1,x,y2,x,y3,linewidth,2) 对于，不管n

6、再大，的图象总有一部分落在带以外。事实上，我们容易看出 充分大时， 所以该函数列在上不一致收敛。再看看该函数列在 上的图象clf,x=0:1/100:0.7;y1=x.13;y2=x.18;y3=x.20;plot(x,y1,x,y2,x,y3,b,linewidth,2),hold onplot(0,0.7,0,0,r,0,0,-0.02,0.02,r)plot(0,0.7,0.005,0.005,m)axis(0,0.71,-0.01,0.02) 对任意的 ，总存在N, 当 nN 时，的图象将全部落入带之内。事实上，所以，该函数列在 上是一致收敛。函数项级数及其一致收敛性定理13.1 (一

7、致收敛的Cauchy准则 ) 函数列 一致收敛的充分必要条件是：对任意 ，存在某一自然数，当 时，对一切 ，都有 证 ( 利用式 ) 易见逐点收敛. 设,有 .令, 对D成立, 即,，D.定理13.2 函数列 一致收敛的充分必要条件是： 推论 设在数集D上 , . 若存在数列D , 使, 则函数列在数集D上非一致收敛 .应用此判断函数列在数集D上非一致收敛时, 常作辅助函数 取在为数集D上的最值点.例7 对定义在区间上的函数列 证明: , 但在上不一致收敛. 证 时, 只要, 就有. 因此, 在上有. , .于是, 在上有 . 但由于 , ,因此 , 该函数列在上不一致收敛.例 判别下面函数列

8、在区间 上的一致收敛性1) 2) 解 1） 所以，函数列在区间 上一致收敛。2） 求极大点方法可求得函数列 在 上不一致收敛。例 . 证明在R内 , 但不一致收敛.证 显然有, 在点 处取得极大值 ,. 不一致收敛.例6 . 证明在内, .证 易见 而 在内成立. 二 函数项级数及其一致收敛性我们知道，有限个函数的和函数的性质是通过每个相加的函数的性质去认识的，有限个连续函数的和是连续的；有限个可微函数的和是可微的，且和的导数等于每个函数的导数的和；有限个可积函数的和是可积的，且和的积分等于每个函数积分的和。现在要问：是否可以从级数每一项所具有的连续性、可微性与可积性，而得出和函数的连续性、可

9、微性与可积性呢？一般来说，这是不行的！例 讨论 的收敛域由几何级数的敛散性, 时 收敛, 时 发散, 所以的收敛域为 例 讨论级数 收敛域, 所以级数 收敛域为 一致收敛性概念 例 函数项级数 每一项 在 上都是连续的， 而其部分和为 ，从而 在上却是不连续的。clf, x=0:1/100:1;n=2:2:8;y1=x.2;y2=x.4;y3=x.6;y4=x.100;plot(x,y1,x,y2,x,y3,b,x,y4,r,linewidth,2) 那么在什么条件下，由级数每一项所具有的某种性质（如连续性、可积性、可微性），就可推出和函数也具有这种性质？这需要一个重要的概念一致收敛性。函数级

10、数一致收敛判别法:定理13.3 (柯西准则) 函数级数在区间一致收敛 有 或定理13.4 函数项级数在上一致收敛于的充分必要条件是： 例 讨论函数级数 在区间 上的一致收敛性所以, 函数级数 在区间 上一致收敛性一般来说, 柯西准则用起来不大方便, 下面给出一个较简便的判别方法定理13.5 ( Weierstrass判别法) 设级数定义在区间D上, 是收敛的正项级数.若当充分大时, 对D有|, 则在D上一致收敛 .证 然后用Cauchy准则.亦称此判别法为优级数判别法. 称满足该定理条件的正项级数是级数的一个优级数. 于是Th 4 可以叙述为: 若级数在区间D上存在优级数 , 则级数在区间D上

11、一致收敛 . 应用时, 常可试取.但应注意, 级数在区间D上不存在优级数 , 级数在区间D上非一致收敛. 注意区分用这种控制方法判别函数列和函数项级数一致收敛性的区别所在.例 证明 在R 上一致收敛.因为 收敛, 由M判别法在R上一致收敛. 凡是M判别法判别的必然是绝对收敛, 一致收敛的, 对于条件收敛级数, 不能用M 判别法判定. 下面介绍两个条件收敛, 一致收敛的判别法定理13.6 (阿贝尔判别法) 若函数列 在区间I单调一致有界, 且函数级数在区间I一致收敛, 则函数级数在区间I一致收敛.注意两个定理的条件的区别.定理13.7 (狄里克雷判别法) 若函数列 在区间I单调递减一致收敛于0,

12、 且函数级数的部分和函数列 在区间I一致有界, 则函数级数在区间I一致收敛.例10 几何级数 在区间上一致收敛；但在内非一致收敛.证 在区间上 , 有, . 一致收敛 ; 而在区间内 , 取, 有, . 非一致收敛.( 亦可由通项在区间内非一致收敛于零 非一致收敛.)几何级数虽然在区间内非一致收敛, 但在包含于内的任何闭区间上却一致收敛. 我们称这种情况为“闭一致收敛”. 因此 , 我们说几何级数在区间内闭一致收敛 . 例12 判断函数项级数 和 在R内的一致收敛性 .例13 设是区间上的单调函数. 试证明 : 若级数 与都绝对收敛, 则级数在区间上绝对并一致收敛 .留为作业. . 例14 判断函数项级数在区间上的一致收敛性. 解 记. 则有 1）级数收敛; 2） 对每个, ；3） 对 和成立. 由Abe