2012年4月北京各区一模立体几何试题汇编与解析

1、.2012年4月北京各区一模立体几何试题汇编与解析（2012年东城一模立体几何）（14）如图，在边长为的正方形中，点在上，正方形以为轴逆时针旋转角到的位置 ，同时点沿着从点运动到点，点在上，在运动过程中点始终满足，记点在面上的射影为，则在运动过程中向量与夹角的正切的最大值为 .答案：（2012年东城一模立体几何）（17）（本小题共13分）如图1，在边长为的正三角形中，分别为，上的点，且满足.将沿折起到的位置，使二面角成直二面角，连结，.（如图2）（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的大小. 图1 图2 （）证明：取中点，连结.因为，所以，而，即是正三角形.又因为, 所以. 2分所以在图2中有

2、，.3分所以为二面角的平面角. 图1又二面角为直二面角，所以. 5分又因为,所以平面,即平面. 6分（）解：由（）可知平面，如图，以为原点，建立空间直角坐标系，则，.在图中，连结.因为，所以，且.所以四边形为平行四边形.所以，且.故点的坐标为（1，0）. 图2所以， ，. 8分不妨设平面的法向量，则即令，得. 10分所以. 12分故直线与平面所成角的大小为. 13分（2012年西城一模立体几何）4已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（ ）（A）（B）（C）（D）答案：A（2012年西城一模立体几何）17（本小题满分14分）如图，四边形与均为菱

3、形， ，且（）求证：平面；（）求证：平面；（）求二面角的余弦值 （）证明：设与相交于点，连结因为 四边形为菱形，所以，且为中点 1分又 ，所以 3分因为 ， 所以 平面 4分 （）证明：因为四边形与均为菱形，所以/，/， 所以 平面/平面 7分 又平面，所以/ 平面 8分 （）解：因为四边形为菱形，且，所以为等边三角形因为为中点，所以，故平面由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系9分 设因为四边形为菱形，则，所以，所以 所以 ， 设平面的法向量为，则有所以 取，得12分 易知平面的法向量为 13分 由二面角是锐角，得 所以二面角的余弦值为 14分（2012年海淀一模立体几何）（8）在正方体中

4、，若点（异于点）是棱上一点，则满足与所成的角为的点的个数为 （A）0 （B）3 （C）4 （D）6答案：B（2012年海淀一模立体几何） (16)（本小题满分14分）在四棱锥中，/，平面，. （）设平面平面，求证：/； （）求证：平面；（）设点为线段上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值（）证明： 因为/，平面，平面，所以/平面. 2分因为平面，平面平面，所以/. 4分（）证明：因为平面，所以以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，. 5分所以 ，所以，.所以 ，. 因为 ，平面，平面，所以 平面. 9分（）解：设（其中），直线与平面所成角为.所以 .所以 .所以

5、 即. 所以 . 11分由（）知平面的一个法向量为.12分因为 ，所以 .解得 .所以 . 14分（2012年朝阳一模立体几何）4. 已知平面，直线，且，则“且”是“”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案：B（2012年朝阳一模立体几何）10. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .21133正视图侧视图俯视图21 答案：（2012年朝阳一模立体几何）17. （本小题满分14分）CAFEBMD 在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形， 平面，且是的中点. （）求证：平面； （）求二面角的大小； （）在线段上是否存在一点， 使得与所

6、成的角为？ 若存在，求出的长度；若不 存在，请说明理由.证明：（）取的中点，连接.NCAFEBMD在中，是的中点，是的中点，所以， 又因为， 所以且.所以四边形为平行四边形，所以.又因为平面，平面， 故平面. 4分解法二：因为平面，故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 1分 由已知可得 zCAFEBMDxy（）， . 2分设平面的一个法向量是. 由得 令，则. 3分又因为， 所以，又平面，所以平面. 4分（）由（）可知平面的一个法向量是. 因为平面，所以. 又因为，所以平面. 故是平面的一个法向量. 所以，又二面角为锐角， 故二面角的大小为. 10分 （）假设在线段上存在一点，使得与所成

7、的角为. 不妨设（），则. 所以， 由题意得， 化简得， 解得. 所以在线段上不存在点，使得与所成的角为.14分（2012年丰台一模立体几何） 5若正四棱锥的正视图和侧视图如右图所示，则该几何体的表面积是（ ）A4BC8D答案：B（2012年丰台一模立体几何）16（本小题共14分）四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，侧面PAD底面ABCD，E是BC的中点，点Q在侧棱PC上（I）求证：ADPB；（）若Q是PC的中点，求二面角EDQC的余弦值；（）若，当PA/平面DEQ时，求A的值证明：（）取AD中点O，连结OP，OB，BD 因为 PA=PD，所以 POAD 1分因为 菱形ABCD中

8、，BCD=60，所以 AB=BD，所以 BOAD 2分因为 BOPO=O， 3分所以 AD平面POB4分所以 ADPB 5分（）由（）知BOAD，POAD因为 侧面PAD底面ABCD，且平面PAD底面ABCD=AD，所以PO底面ABCD 6分以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系7分则，因为为中点， 所以 8分所以 ，所以平面的法向量为因为 ，设平面的法向量为， 则令，则，即9分由图可知，二面角E-DQ-C为锐角，所以余弦值为10分（）因为，所以 ，由（）知，若设，则，由 ， 得，在平面中，所以平面法向量为， 12分又因为 PA / 平面DEQ，所以 ， 13分即，得所以，当时，PA / 平面DEQ 14分 （2012年石景山一模立体几何）4.设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ）ABCD答案：D（2012年石景山一模立体几何）7某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）ABCD答案：AACBDP8如图，已知平面，、是上的两个 点，、在平面内，且 ，在平面上有一个 动点，使得，则体积 的最大值是（ ） ABCD答案C（2012年石景山一模立体几何）17 （本小题满分14分）C1A1CB1ABD 如图，三棱柱中，面，为的中点. （）求证：； （）求二面角的余弦值； （）在侧棱上是否存在点，使得？请证明你的结论. ， 5分 设是面BDC1的一个法向量，则即，取.