基本不等式教学设计课题

1、标准文档 实用文案 基本不等式 （教学设计） 一、教材分析 基本不等式是人教版高中数学必修五第三章第四节的内容。它是在学完不等式性质，不等式的解法及线性规划等知识的基础上，对不等式的进一步研究，同时也为选修1-2中直接证明和间接证明中的有关不等式证明的问题作好准备，为选修45：不等式选讲中的几种重要不等式及不等式的证明做好了铺垫。在整个知识体系中起到了承上启下的作用，具有很重要的作用。在课本封面就能体现出来。 基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，为今后解决最值问题提供了新的方法，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如数形结合、演绎推理、分析法证明等在各种不等式的研究中均有着广

2、泛的应用；另外，在解决函数最值问题中，基本不等式也起着重要的作用。 二、学情分析 在认知上，学生已经掌握了不等式的基本性质，并能够根据不等式的性质进行数、式的大小比较，也具备了一定的平面几何的基本知识。但是，倘若教师不加以引导，学生并不能自觉地通过已有的知识、记忆去发展和构建几何图形中的相等或不等关系，这就需要教师逐步地引导，去激活学生的思维，增强数形结合的思想意识。 三教学目标 标准文档 实用文案 （1）知识与技能: 了解基本（重要）不等式证明过程，能在证明过程中分析不等式成立的条件. 知道基本不等式成立的条件，并 会求?0,0?baxbaxy类型的函数在0?x时的最小值，初步认识 “=”成

3、立的作用. 会运用基本不等式解决实际问题的最优化配置问题. （2）过程与方法：按照创设情景，提出问题 基本不等式的探究基本不等式的分析基本不等式的 应用的过程呈现。启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。 （3）情感态度与价值观：在认识赵爽弦图的过程中，了解中国数学文化，增强民族自豪感.通过基本不等式在求最值上的应用，体会数学来源于生活，反馈于生活，提高学生学习数学的兴趣，提倡学生树立科学的节能减排的环保理念. 教学重点：应用数形结合的思想理解基

4、本不等式，并从不同角度探 索基本不等式2abab? 的证明过程； 难点：用基本不等式求最大值和最小值 四、教学方法 本节课采用数形结合的思想，引导学生观察探究感知抽象归纳；用启发诱导、探究合作、讲练结合的教学方法，以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出发，放手让学标准文档 实用文案 生探究思索。以现代信息技术多媒体课件.几何画板以及希沃授课助手作为教学辅助手段，加深学生对基本不等式的理解。 五、学法指导 在教学过程中，以教师为主导，以学生为主体，在教学中引导学生去提出、分析和解决问题。课堂上从实际生活出发，通过创设问题情境，让学生经历由实际问题出发，探求基本不等式，发现基本不等式的实质

5、，利用基本不等式解决实际问题。使学生从代数证明和几何证明两方面理解基本不等式。 六、教学工具：多媒体课件，几何画板，希沃授课助手 七、教学基本流程 创设问题情境 探究基本不等式 归纳总结基本不等式 运用基本不等式解决实际问题 课堂小结 练习提高与作业 标准文档 实用文案 八、教学过程 教师活动 学生活动 设计意图 一、问题引入: 问题1：请同学们拿出四个全等的直角三角形，同桌合作拼成以斜边为边长、外轮廓为正方形的图形 教师巡视适时给予点拨提示： 利用PPT逐个出示图片赵爽弦图 ? ? 同桌合作动手摆出图形,并将小组作品投影展示 了解中国数学文化，增强学生的民族自豪感和爱国主义精神，增强学生对国

6、家发展的信心.通过对”会标”的了解,感受中国人的智慧和华夏民族热情好客的优良传统. 标准文档 实用文案 二、公式探究： 借助几何画板动态演示 问题2：将图形抽象成右图所示图 小组合作结合所拼会标图形，小组代表回答本组答案，得 利用图中相关面积间存在的数量关系，抽 形， 设AF长为a，BF长为b (1)你能用a,b表示大正方形ABCD 的边长和面积s吗？ (2)四个直角三角形的面积之和S是 (3)大正方形的面积S与S的大小关系是 (4)它们有相等的情况吗？ 由于正方形的面积大于4个直角三角形的面积和，得到一个不等式：abba222?。 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩

7、为一个点，有222abab?。 出不等式以及等号成立的条件 象出不等式abba222?学生体会如何从实验中发现问题，培养学生数形结合的思想方法, 标准文档 实用文案 问题3：由图形得出的结论只是一个猜想，你能证明你的猜想吗？总结上面结论并证明 证明：（作差法） 因为 0)(2222?baabba 所以 .222abba? 当且仅当ba?时，等号成立 教师板书： 总结结论1：重要不等式时等号成立当且仅当baRbRaabba?),(222 问题4：如果a0,b0,我们用a、b分别代替不等式.222abba?中的a,b能得到什么结论？ 替换后得到：2abab?， 通常把上式写作： (a0,b0)2a

8、bab? 总结结论2：基本不等式 )00(2?babaab， 当且仅当a=b时，等号成立。 学生用作差法口述证明重要不等式 观察重要不等式的结构特点 由换元替代的方法，直接得出基本不等式 . 通过证明过程发现不等式成立的条件，加深学生对知识的理解. 培养学生从特殊到一般的数学思想方法 此处采用了换元法，也为后面利用基本不等式求最值奠定基础. 标准文档 实用文案 问题5：你能从代数证明的角度证明此不等式吗？ 问题6：在数学中，我们称2ba?为a、b的算术平均数，称ab为a、b的几何平均数.基本不等式可叙述为：两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数.刚才从代数角度证明了基本不等式的成立，从几

9、何图形上能否证明它成立呢？ 借助几何画板动态演示 如图AB是圆O的直径，C为AB上一点，过C做直径的垂线交圆于D、E两点，设AC=a,BC=b 1.如何用a,b表示OD,CD? ba基本不等式的几何解释BA隐藏对象隐藏线段隐藏外圆隐藏对象DOC 类比前面的证明方法，学生用作差法口述证明基本不等式 通过证明过程发现基本不等式成立的条件，加深学生对知识的理解 标准文档 实用文案 2.你能从图形中得出OD和CD的大小关系吗？ 3.你能给出基本不等式的几何解释吗？ 易证tADtDB，或利用相交弦定理，那么D2AB 即Dab. 这个圆的半径为2ba?，显然，它大于或等于CD，即abba?2，其中当且仅当

10、点C与圆心重合，即ab时，等号成立. 因此：基本不等式2abab?几何意义是“半径不小于半弦” 问题7：基本不等式有何作用呢？ 222?baababba， 对于0,0?yx， （1）若pxy?（定值），则当且仅当ba?时，yx?有最小值p2； （2）若syx?（定值），则当且仅当ba?时，xy有最大值42s 小组合作讨论，学生回答，根据按钮拖动直观地观察CD与OD的大小关系. 学生总结变形式，分析基本不等式在求函数最值中的作用 培养学生团结合作精神以及数形结合的意识，养成数形结合地分析问题的习惯. 培养学生观察概括能力，结论的得出发挥学生自主能动性 标准文档 实用文案 三 、基本不等式应用 问

11、题8：应用1 9262,6,0,0322,0)2(2121,0)1(22?yxxyyxyxabbaabbabaxxxxx则且）若（则若则若应用：推出如下结论，请你帮他找一找有没有错误.1.某同学学完基本不等式后用222?baababba， 变式练习： ?最小值为时当最小值为，若变式：yxxyxyxxx?2,0.2820.1 学生观察指出错误，体会不等式成立的条件的重要性. 总结出一正二定三相等的特点 学生独立完成，并将优秀作业投影 基本不等式成立的条件学生往往易忽视，在应用方面仍存在不仔细的现象，所以这里用易出错的题目进行强调.另外此处继续巩固用换元的方法思考问题； 变式练习将两个正数变为不互

12、为倒数的情况,使学生能举一反三解决问题. 标准文档 实用文案 问题9：应用2 应用举例2.用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短篱笆是多少？变式：一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 思考、运用基本不等式解决问题 1. 使学生利用基本不等式解决简单的实际问题； 2. 尝试运用数学知识解决实际问题，树立科学的节能减排意识和环保意识.体会在市场经济下，运用所学数学知识优化生活中的一些问题的重要性. 标准文档 实用文案 四、知识梳理，体会研究价值 问题10：本节课主要学习了什么内容？什

13、么数学思想方法？ 由学生总结学习的内容，指出本节课所经历的知识探究过程和数形结合的思想。 通过总结，培养学生数学交流和表达的能力，养成及时总结的良好习惯，并将所学知识及方法纳入已有的认知结构，提升情感、态度、价值观目标. 五、目标检测设计 作业：题组，练习1321.1100AP);0(214)1(?xxxy的最大值求函数若的最小值求函数)2(,20.2)1(11.1xxyxxxxy?)2,0(sin1sin)2(?xxxy2.求下列函数的最小值，并求出自变量满足什么条件时取得最小值。课后思考： 设计意图：（1）采用几道简单的求最值的问题，检测学生对基本不等式内容的掌握和使用情况 （2）课后思考

14、为学有余力的学生准备，同时也为下一节的学习做标准文档 实用文案 好铺垫，也达到分层教学的目的。 九、教学反思 1. 逐层铺垫，降低难度 由具体到一般，建立实际生活中的图形与不等式的联系，然后归纳出重要不等式和基本不等式及其取等号的条件 2. 恰当使用信息技术 恰当地使用多媒体课件.几何画板.希沃教学助手，让学生直观形象地理解问题，了解知识的形成过程. 3. 采用“启发探究讨论”教学模式 精心设置一个个问题链，给每个学生提供思考、创造、表现和成功的机会. 4.适时渗透德育内容 抓住教材中赵爽弦图，弘扬中国的数学文化，赞扬华夏民族热情好客的优良传统.并与学生共享，一定能提升学生科学的态度和良好的学习品质，定能将民族精神渗透到日常的教学中.通过对教材例1的题后反思，使学生树立科学的节能减排的环保意识，从教学效果上看，德育内容的充实使数学课堂