小学的奥数 几何五大模型蝴蝶模型

1、 模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型） 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理” ： S 4 S 3 S 2 S 1D C B A 1243:S S S S =或者1324S S S S ?=? (1243:AO OC S S S S =+ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 【例 1】 (小数报竞赛活动试题 如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分， AOB 面积为1平方千米，BOC 面积为2平方千米，COD 的面积为

2、3平方千米，公园由陆地面积是692平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ A 【分析】 根据蝴蝶定理求得3121.5AOD S =?=平方千米，公园四边形ABCD 的面积是1231.57.5+=平 方千米，所以人工湖的面积是7.56.920.58-=平方千米 【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：三角形BGC 的面积；:AG GC =？ B 【解析】 根据蝴蝶定理，123BGC S ?=?，那么6BGC S =； 根据蝴蝶定理，(:12:361:3AG GC =+= (？ ABCD AC O BCD 任意四边形、梯形与相似模型 面积的1

3、3 ，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_倍。 A B C D A B C D 【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：利用已 知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高

4、相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。 解法一：:1:3ABD BDC AO OC S S ?=， 236OC =?=， :6:32:1OC OD = 解法二：作AH BD 于H ，CG BD 于G 1 3ABD BCD S S ?=， 1 3AH CG =， 1 3AOD DOC S S ?=， 1 3 AO CO =， 236OC =?=， :6:32:1OC OD = 【例 3】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF 、OEF 、ODF 、BOE 的面积依次是2、 4、4和6。

5、求：求OCF 的面积；求GCE 的面积。 E D C B A 【解析】 根据题意可知，BCD 的面积为244616+=，那么BCO 和CDO ?的面积都是1628=， 所以OCF 的面积为844-=； 由于BCO 的面积为8，BOE 的面积为6，所以OCE 的面积为862-=， 根据蝴蝶定理，:2:41:2COE COF EG FG S S ?=，所以:1:2GCE GCF S S EG FG ?=， 那么11221233 GCE CEF S S ?= =?=+ 【例 4】 图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的 面积分别是6公顷和7公顷。那么

6、最大的一个三角形的面积是多少公顷？ 7 7 B A 【解析】 在ABE ，CDE 中有AEB CED =，所以ABE ，CDE 的面积比为( AE EB ?:( CE DE ?。同 理有ADE ，BCE 的面积比为( :( AE DE BE EC ?。所以有ABE S CDE S =ADE S BCE S ，也就是 说在所有凸四边形中，连接顶点得到2条对角线，有图形分成上、下、左、右4个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积。 即6ABE S ?=7ADE S ?，所以有ABE 与ADE 的面积 比为7:6，ABE S =7392167?=+公顷，ADE S =6 391867

7、?=+公顷。 显然，最大的三角形的面积为21公顷。 【例 5】 (2008年清华附中入学测试题 如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积 为 。 B D B D 【解析】 连接AD 、CD 、BC 。 则可根据格点面积公式，可以得到ABC ?的面积为：41122+ -=，ACD ?的面积为：3 313.52 +-=，ABD ?的面积为：4 2132 + -= 所以:2:3.54:7ABC ACD BO OD S S ?=，所以44123471111 ABO ABD S S ?= ?=?=+ 【巩固】如图，每个小方格的边长都是1，求三角形ABC 的面积。 D 【解析】 因为:2:5B

8、D CE =，且BD CE ，所以:2:5DA AC =，525ABC S ?= +，510 277 DBC S ?=?= 【例 6】 (2007年人大附中考题 如图，边长为1的正方形ABCD 中，2BE EC =，CF FD =，求三角形AEG 的面积 A B C D E F A B C D E F 【解析】 连接EF 因为2BE EC =，CF FD =，所以1111 ( 23212 DEF ABCD ABCD S S S ?=?= 因为12AED ABCD S S ?=，根据蝴蝶定理，11 :6:1212 AG GF =， 所以6613 677414 AGD GDF ADF ABCD A

9、BCD S S S S S ?=?= 所以1322 21477AGE AED AGD ABCD ABCD ABCD S S S S S S ?=-=-=， 即三角形AEG 的面积是2 7 【例 7】 如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长 方形ABCD 的面积 A B C D E F A B C D E F 【解析】 连接AE ，FE 因为:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，所以3111 ( 53210 DEF ABCD ABCD S S S =?=长方形长方形 因为12AED ABCD S S =长方形，1

10、1 :5:1210 AG GF =， 所以510AGD GDF S S =平方厘米，所以12AFD S =平 方厘米因为1 6 AFD ABCD S S =长方形，所以长方形ABCD 的面积是72平方厘米 【例 8】 如图，已知正方形 ABCD 的边长为10厘米，E 为AD 中点，F 为CE 中点，G 为BF 中点，求三角 形BDG 的面积 A B A B 【解析】 设BD 与CE 的交点为O ，连接BE 、DF 由蝴蝶定理可知:BED BCD EO OC S S =，而1 4 BED ABCD S S =，12 BCD ABCD S S =， 所以:1:2BED BCD EO OC S S

11、=，故1 3 EO EC = 由于F 为CE 中点，所以1 2 EF EC =，故:2:3EO EF =，:1:2FO EO = 由蝴蝶定理可知:1:2BFD BED S S FO EO =，所以11 28 BFD BED ABCD S S S =， 那么111 10106.2521616 BGD BFD ABCD S S S =?=（平方厘米） 【例 9】 如图，在ABC ?中，已知M 、N 分别在边AC 、BC 上，BM 与AN 相交于O , 若AOM ?、ABO ?和 BON ?的面积分别是3、2、1，则MNC ?的面积是 N M C B A 【解析】 这道题给出的条件较少，需要运用共边

12、定理和蝴蝶定理来求解 根据蝴蝶定理得 313 22 AOM BON MON AOB S S S S ?= 设MON S x ?=，根据共边定理我们可以得 ANM ABM MNC MBC S S S S ?=，3332 312 x x += +，解得22.5x = 【例 10】 (2009年迎春杯初赛六年级 正六边形123456A A A A A A 的面积是2009平方厘米， 123456B B B B B B 分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米 B 4 B A 6 5 4 A 3 A A B 4 B A 6 5 4 A 3 A A 【解析】 如图，设62B A 与

13、13B A 的交点为O ，则图中空白部分由6个与23A OA ?一样大小的三角形组成，只要求 出了23A OA ?的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积 连接63A A 、61B B 、63B A 设116A B B ?的面积为”1“，则126 BAB ?面积为”1“，126A A B ?面积为”2“，那么636A A B ?面积为126A A B ?的2倍，为”4“，梯形1236A A A A 的面积为224212?+?=，263A B A ?的面积为”6“，123B A A ?的面积为2 根据蝴蝶定理，12632613:1:6B A B A A B B O A O S S ?

14、=，故23616A OA S ?=+，12312 7 B A A S ?=， 所以23123612:12:1:77A OA A A A A S S ?=梯形，即23A OA ?的面积为梯形1236A A A A 面积的1 7，故为六边形 123456A A A A A A 面积的114，那么空白部分的面积为正六边形面积的13 6147 ?=，所以阴影部分面积为 32009111487? ?-= ? (平方厘米 板块二 梯形模型的应用 梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理” ： A B C D b a S 3 S 2 S 1S 4 2213:S S a b = 221324:S S S S a b a

15、b ab =； S 的对应份数为(2 a b + 梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明 【例 11】 如图，22S =，34S =，求梯形的面积 【解析】 设1S 为2 a 份，3S 为2 b 份，根据梯形蝴蝶定理，234S b =，所以2b =；又因为22S a b =?，所以 1a =；那么211S a =，42S a b =?=，所以梯形面积123412429S S S S S =+=+=，或者根 据梯形蝴蝶定理，(22 129S a b

16、=+=+= 【巩固】(2006年南京智力数学冬令营 如下图，梯形ABCD 的AB 平行于CD ，对角线AC ，BD 交于O ，已 知AOB 与BOC 的面积分别为25 平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是_平方厘米 35 25A B C D 【解析】 根据梯形蝴蝶定理，2:25:35AOB BOC S S a ab =，可得:5:7a b =，再根据梯形蝴蝶定理， 2222:5:725:49AOB DOC S S a b =，所以49DOC S =(平方厘米 那么梯形A B C D 的面积为 25353549144+=(平方厘米 【例 12】 梯形ABCD 的对角线AC 与BD

17、交于点O ，已知梯形上底为2，且三角形ABO 的面积等于三角 形BOC 面积的2 3 ，求三角形AOD 与三角形BOC 的面积之比 A B C D 【解析】 根据梯形蝴蝶定理，2:2:3AOB BOC S S ab b =，可以求出:2:3a b =， 再根据梯形蝴蝶定理，2222:2:34:9AOD BOC S S a b = 通过利用已有几何模型，我们轻松解决了这个问题，而没有像以前一样，为了某个条件的缺乏而千辛万苦进行构造假设，所以，请同学们一定要牢记几何模型的结论 【例 13】 (第十届华杯赛 如下图，四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于O 点，已知1AO =，并且 3 5 A

18、BD CBD =三角形的面积三角形的面积，那么OC 的长是多少？ A B C D O 【解析】 根据蝴蝶定理，ABD AO CBD CO =三角形的面积三角形的面积，所以35AO CO =，又1AO =，所以5 3 CO = 【例 14】 梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC 的面积是29cm ，问三角形AOD 的面积是多少？ A B C D 【解析】 根据梯形蝴蝶定理，:1:1.52:3a b =，2222:2:34:9AOD BOC S S a b ?=， 所以( 24cm AOD S ?= 【巩固】如图，梯形ABCD 中，AOB ?、COD ?的面积分别为1.2和2.7，求梯形ABC

19、D 的面积 D C B A 【解析】 根据梯形蝴蝶定理，22:4:9AOB ACOD S S a b =，所以:2:3a b =， 2:3:2AOD AOB S S ab a b a =，3 1.21.82 AOD COB S S =?=， 1.21.81.82.77.5ABCD S =+=梯形 【例 15】 如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG 的面积是11，三角形BCH 的面积是23，求四边形EGFH 的面积 G F E D C B A G F E D C B A 【解析】 如图，连结EF ，显然四边形ADEF 和四边形BCEF 都是梯形，于是我们可以得到三角形E

20、FG 的面 积等于三角形ADG 的面积；三角形BCH 的面积等于三角形EFH 的面积，所以四边形EGFH 的面积是112334+= 【巩固】(人大附中入学测试题 如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5，四边形2 的面积为36，则三角形1的面积为_ 321 3 21 【解析】 做辅助线如下：利用梯形模型，这样发现四边形2分成左右两边，其面积正好等于三角形1和三角 形3，所以1的面积就是4361645?=+，3的面积就是5 362045 ?=+ 【例 16】 如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点求图中阴影部分的面积 B A 【解析】 因为M 是AD 边

21、上的中点，所以:1:2AM BC =，根据梯形蝴蝶定理可以知道 22:1:12:12:21:2:2:4AMG ABG MCG BCG S S S S =?=（）（）， 设1AGM S =份，则123MCD S =+= 份，所以正方形的面积为1224312+=份，224S =+=阴影份，所以:1:3S S =阴影正方形，所以1 S =阴影平方厘米 【巩固】在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF 的面积为1平 方厘米，那么正方形ABCD 面积是 平方厘米 A B C D E 【解析】 连接DE ，根据题意可知:1:2BE AD =，根据蝴蝶定理得

22、2 129S =+=梯形（）(平方厘米 ，3ECD S =(平 方厘米 ，那么12ABCD S =(平方厘米 【例 17】 如图面积为12平方厘米的正方形ABCD 中，, E F 是DC 边上的三等分点，求阴影部分的面积 D A 【解析】 因为, E F 是DC 边上的三等分点，所以:1:3EF AB =，设1OEF S =份，根据梯形蝴蝶定理可以知道 3AOE OFB S S =份，9AOB S =份，(13 ADE BCF S S =+份，因此正方形的面积为244(13 24+=份，6S =阴影，所以:6:241:4S S =阴影正方形，所以3S =阴影平方厘米 【例 18】 如图，在长方

23、形ABCD 中，6AB =厘米，2AD =厘米，AE EF FB =，求阴影部分的面积 D D 【解析】 方法一：如图，连接DE ，DE 将阴影部分的面积分为两个部分，其中三角形AED 的面积为 26322?=平方厘米 由于:1:3EF DC =，根据梯形蝴蝶定理，:3:1DEO EFO S S =，所以3 4 DEO DEF S S =，而2D E F A D E S S =平方厘米，所以3 21.54 DEO S =?=平方厘米，阴影部分的面积为21.53.5+=平方厘米 方法二：如图，连接DE ，FC ，由于:1:3EF DC =，设1O E F S =份，根据梯形蝴蝶定理，3OED S

24、 = 份，2(13 16EFCD S =+=梯形份，134ADE BCF S S =+=份，因此416424ABCD S =+=长方形份，437S =+=阴影份，而6212ABCD S =?=长方形平方厘米，所以3.5S =阴影平方厘米 【例 19】 (2008年”奥数网杯”六年级试题 已知ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，三角形ODE 的 面积为6平方厘米则阴影部分的面积是 平方厘米 B B 【解析】 连接AC 由于ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，所以:2:3CE AD =， 根据梯形蝴蝶定理，22:2:23:23:34:6:6:9COE AOC DOE AOD

25、 S S S S =?=，所以6AOC S =(平方厘 米 ，9AOD S =(平方厘米 ，又6915ABC ACD S S =+=(平方厘米 ，阴影部分面积为61521+=(平 方厘米 【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米 ，阴影部 分的面积是 平方厘米 B B 【分析】 连接AE 由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么OCD OAE S S ?= 根据蝴蝶定理，4936OCD OAE OCE OAD S S S S ?=?=?=，故236OCD S ?=， 所以6OCD S ?=(平方厘米 【巩固】(2008年三帆

26、中学考题 右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单 位：平方厘米 ，阴影部分的面积是 平方厘米 B B 【解析】 连接AE 由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么OCD OAE S S ?= 根据蝴蝶定理，2816OCD OAE OCE OAD S S S S ?=?=?=，故216OCD S ?=，所以4OCD S ?=(平方厘米 另解：在平行四边形ABED 中，(11 1681222 ADE ABED S S ?=?+=(平方厘米 ， 所以1284AOE ADE AOD S S S ?=-=-=(平方厘米 ， 根据蝴蝶定理，阴影部分的面积

27、为8244?=(平方厘米 【例 20】 如图所示，BD 、CF 将长方形ABCD 分成4块，DEF ?的面积是5平方厘米，CED ?的面积是 10平方厘米问：四边形ABEF 的面积是多少平方厘米？ F A B C D 10 5 F A B C D 10 5 【分析】 连接BF ，根据梯形模型，可知三角形BEF 的面积和三角形DEC 的面积相等，即其面积也是10平 方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形BCE 的面积为1010520?=(平方厘米 ，所以长方形的面积为(2010260+?=(平方厘米 四边形ABEF 的面积为605102025-=(平方厘米 【巩固】如图所示，BD 、CF 将长方形ABC

28、D 分成4块，DEF ?的面积是4平方厘米，CED ?的面积是6平 方厘米问：四边形ABEF 的面积是多少平方厘米？ 6 4A B C D F 6 4A B C D F 【解析】 (法1 连接BF ，根据面积比例模型或梯形蝴蝶定理，可知三角形BEF 的面积和三角形DEC 的面积 相等，即其面积也是6平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形BCE 的面积为6649?=(平方厘米 ，所以长方形的面积为(96230+?=(平方厘米 四边形ABEF 的面积为3046911-=(平方厘 米 (法2 由题意可知， 4263EF EC =，根据相似三角形性质，2 3 ED EF EB EC =，所以三角形BCE 的

29、面积为：2 693 =(平方厘米 则三角形CBD 面积为15平方厘米，长方形面积为15230?=(平方厘米 四边形ABEF 的面积为3046911-=(平方厘米 【巩固】(98迎春杯初赛 如图，ABCD 长方形中，阴影部分是直角三角形且面积为54，OD 的长是16，OB 的长是9. 那么四边形OECD 的面积是多少？ B 【解析】 因为连接ED 知道ABO 和EDO 的面积相等即为54，又因为169OD OB =, 所以AOD 的面积 为5491696?=，根据四边形的对角线性质知道：BEO 的面积为：54549630.375?=，所以四边形OECD 的面积为：549630.375119.62

30、5+-=(平方厘米. 【例 21】 (2007年”迎春杯”高年级初赛 如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3块的 面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为_平方厘米 ? 8 5 2A B C D E F 8 5 2A B C D E F 【解析】 连接DE 、CF 四边形EDCF 为梯形，所以EOD FOC S S ?=，又根据蝴蝶定理， EOD FOC EOF COD S S S S ?=?，所以2816EOD FOC EOF COD S S S S ?=?=?=，所以4EOD S ?=(平方厘米 ，4812ECD S ?=+=(平方厘米 那么长方

31、形ABCD 的面积为12224?=平方厘米，四边形OFBC 的面积为245289-=(平方厘米 【例 22】 (98迎春杯初赛 如图，长方形ABCD 中，AOB 是直角三角形且面积为54，OD 的长是16，OB 的长是9那么四边形OECD 的面积是 A B C D E A B C D E 【解析】 解法一：连接DE ，依题意11 95422 AOB S BO AO AO =?=?=，所以12AO =， 则11 16129622 AOD S DO AO =?=?= 又因为154162AOB DOE S S OE =?，所以3 64 OE =， 得1133 96302248 BOE S BO EO

32、 =?=?=， 所以(35 54963011988 OECD BDC BOE ABD BOE S S S S S =-=-=+-= 解法二：由于:16:9AOD AOB S S OD OB =，所以16 54969 AOD S =?=，而54DOE AOB S S =，根据 蝴蝶定理，BOE AOD AOB DOE S S S S ?=?，所以3 545496308 BOE S =?=， 所以(35 54963011988 OECD BDC BOE ABD BOE S S S S S =-=-=+-= 【例 23】 如图，ABC ?是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与CD 相交于

33、K 点已知正方形 DEFG 的面积48，:1:3AK KB =，则BKD ?的面积是多少？ B B 【解析】 由于DEFG 是正方形，所以DA 与BC 平行，那么四边形ADBC 是梯形在梯形ADBC 中，BD K ?和 ACK ?的面积是相等的而:1:3AK KB =，所以ACK ?的面积是ABC ?面积的 11 134 =+， 那么BDK ?的面积也是ABC ?面积的 14 由于ABC ?是等腰直角三角形，如果过A 作BC 的垂线，M 为垂足，那么M 是BC 的中点，而且AM D E =，可见ABM ?和ACM ?的面积都等于正方形DEFG 面积的一半，所以ABC ?的面积与正方形DEFG

34、的面积相等，为48 那么BDK ?的面积为1 48124?= 【例 24】 如图所示，ABCD 是梯形，ADE ?面积是1.8，ABF ?的面积是9，BCF ?的面积是27那么阴 影AEC ?面积是多少？ 【解析】 根据梯形蝴蝶定理，可以得到AFB DFC AFD BFC S S S S ?=?，而AFB DFC S S ?=(等积变换 ，所以可得 99 327 AFB CDF AFD BFC S S S S ?= =， 并且31.81.2AEF ADF AED S S S ?=-=-=，而:9:271:3AFB BFC S S AF FC ?=， 所以阴影AEC ?的面积是：41.244.8

35、AEC AEF S S ?=?=?= 【例 25】 如图，正六边形面积为6，那么阴影部分面积为多少？ 【解析】 连接阴影图形的长对角线，此时六边形被平分为两半，根据六边形的特殊性质，和梯形蝴蝶定理把 六边形分为十八份，阴影部分占了其中八份，所以阴影部分的面积88 6183 ?= 【例 26】 如图，已知D 是BC 中点，E 是CD 的中点，F 是AC 的中点三角形ABC 由这6部分 组成，其中比多6平方厘米那么三角形ABC 的面积是多少平方厘米？ B E D C 【解析】 因为E 是DC 中点，F 为AC 中点，有2AD FE =且平行于AD ，则四边形ADEF 为梯形在梯形 ADEF 中有=

36、，=，：=2AD ： 2FE =4又已知-=6，所以=6(41 2-=，=48?=，所以=16，而=，所以=4，梯形ADEF 的面积为、四块图形的面积和，为844218+=有CEF 与ADC 的面积比为CE 平方与CD 平方的比， 即为1:4所以ADC 面积为梯形ADEF 面积的44-1=43，即为4 18243 ?=因为D 是BC 中点，所 以ABD 与ADC 的面积相等，而ABC 的面积为ABD 、ADC 的面积和，即为242448+=平方厘米三角形ABC 的面积为48平方厘米 【例 27】 如图，在一个边长为6的正方形中，放入一个边长为2的正方形，保持与原正方形的边平行， 现在分别连接大

37、正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的面积为 【解析】 本题中小正方形的位置不确定，所以可以通过取特殊值的方法来快速求解，也可以采用梯形蝴蝶定 理来解决一般情况 解法一：取特殊值，使得两个正方形的中心相重合，如右图所示，图中四个空白三角形的高均为1.5，因此空白处的总面积为61.5242222?+?=，阴影部分的面积为662214?-= 解法二：连接两个正方形的对应顶点，可以得到四个梯形，这四个梯形的上底都为2，下底都为6， 上底、下底之比为2:61:3=，根据梯形蝴蝶定理，这四个梯形每个梯形中的四个小三角形的面积之 比为221:13:13:31:3:3:9

38、?=，所以每个梯形中的空白三角形占该梯形面积的9 16 ，阴影部分的面 积占该梯形面积的716，所以阴影部分的总面积是四个梯形面积之和的7 16 ，那么阴影部分的面积为 227 (62 1416 ?-= 【例 28】 如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别在BC 与CD 上，且2CE BE =，2CF DF =，连接BF 、 DE ，相交于点G ，过G 作MN 、PQ 得到两个正方形MGQA 和PCNG ，设正方形MGQA 的面积为 1S ，正方形PCNG 的面积为2S ，则12:S S =_ Q P N M A B C D E F G Q P N M A B C D E F 【解析】 连

39、接BD 、EF 设正方形ABCD 边长为3，则2C E C F =，1BE DF =，所以，222228EF =+=， 2223318BD =+=因为22281814412EF BD ?=?=，所以12EF BD ?=由梯形蝴蝶定理，得 22:8:18:12:124:9:6:6GEF GBD DGF nBGE S S S S EF BD EF BD EF BD =?=， 所以，66496625BGE BDFE BDFE S S S =+梯形梯形因为9 3322 BCD S =?=，2222CEF S =?=， 所以52BCD CEF BDFE S S S =-=梯形，所以，653 2525 B

40、GE S =?= 由于BGE 底边BE 上的高即为正方形PCNG 的边长，所以362155CN =?=，69 355 ND =-=， 所以:3:2AM CN DN CN =，则22 12:9:4S S AM CN = 【例 29】 如下图，在梯形ABCD 中，AB 与CD 平行，且2CD AB =，点E 、F 分别是AD 和BC 的中点， 已知阴影四边形EMFN 的面积是54平方厘米，则梯形ABCD 的面积是 平方厘米 D D 【解析】 连接EF ，可以把大梯形看成是两个小梯形叠放在一起，应用梯形蝴蝶定理，可以确定其中各个小 三角形之间的比例关系，应用比例即可求出梯形ABCD 面积 设梯形ABCD 的上底为a ，总面积为S 则下底为2a ，(13 222 EF a a a =+= 所以3:2:32AB EF a a =，3 :23:42 EF DC a a =