4平面向量、数系的扩充与复数的引入质量检测

1、第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入3（自我评估、考场亮剑，收获成功后进入下一章学习！）（时间120分钟，满分150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,有一项是符合题目要求的.）1. （2009天津高考）i是虚数单位,5i2iA . 1 + 2iB. - 1 2iC. 1 2iD. 1 + 2i1 + 2i.答案：D2.已知向量 a = ( 5,6), b = (6,5)，贝U a与 bA .垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向解析：已知向量 a= ( 5,6), b = (6,5), a b= 30+ 30= 0,则 a 与 b

2、垂直.答案：A3. (2010 利辛模拟)已知向量 a = (2,3), b = ( 1,2)，若(ma + b)/ (a 2b)，则实数解析：ma + b = m(2,3) + ( 1,2) = (2m 1,3 m+ 2),a 2b= (2,3) 2( 1,2) = (4, 1)./ (ma + b)/ (a 2b) 1 2m = (3m + 2) x 4.答案：BuuruuuuuLT uuu uuuruuur4 .如图，已知AB= a, AC= b, BD= 3 DC，用a, b表示AD,则AD等于A. a + 3b4C.|a + 4b44解析：uuurADuuu =ABuuu + BDu

3、uuABuuu =ABuuLr+ |(AC -uuuAB)= 4D.3a + 4b443 uuu+3bci uuuiAB + 4AC3 uuu13= 4a+4b.答案：5 .若在 ABC中,uuuruuur| AC |= 3,1 BC |= 5,uuur| AC |= 4,uuu uuu则 |5AB + BC |=B. 285C. 210D.V190解析：根据三边边长易知 ABC为直角三角形.uuuuuur3cos AB , BC=-.5uuu uuu/15 AB + BC |2=uuu uuu uuur uuu uuu uuu25| AB |2+ | BC |2+ 10|AB | |BC |

4、cos AB , BC= 160. uuu uuu|5 AB + BC |= 4寸10.答案：A6. （2010鞍山模拟）已知复数z= 1 + i，则ZZ学等于A. 2iB . - 2iC. 2z2 2z(1 + i)2-2(1 + i) 2i - 2 2i 解析：z- 1=2i.答案：7.已知命题：“若 kia + k2b= 0,则ki = k2= 0 ”是真命题，则下面对a,b的判断正确的是A . a与b 一定共线B . a与b一定不共线C . a与b 一定垂直D . a与b中至少有一个为 0解析：假设a与b共线，由已知得kia=- k2b，如果a、b均为非零向量，与已知条A、D.把 ki

5、a件矛盾.如果a、b中至少有一个非零向量，明显的与已知矛盾，排除2 2+ k2b = 0 两边平方得 k1 a2 + k2 b2 + 2kik2a b= 0,因为 ki= k2= 0，所以 a 不一定等于0，排除C.答案：B&若平面向量 a = (- 1,2)与b的夹角是180且|b|= 3a/5,贝U b的坐标为A. (3, 6)(-3,6)C. (6, - 3)(-6,3)解析：由题意设b =入尸X 1,2).由|b|= 35得 X= 9. X 出.因为a与b的夹角是180.所以 X- 3.答案：A9. (2010黄冈模拟)已知A、B、C是锐角 ABC的三个内角，向量p= (1 + sin

6、A,1 + cosA),q = (1 + sinB,- 1 cosB),则 p 与 q 的夹角是A .锐角B 钝角C.直角D .不确定解析：锐角 ABC 中，sinA cosB 0, sinB cosA 0,故有 p q= (1 + sinA)(1 +sinB) (1 + cosA)(1 + cosB) 0,同时易知p与q方向不相同,故P与q的夹角是锐角.答案：AUUU UULTUUU10.已知非零向量ABUUurUUUrLUurLuurUULT,AC和BC满足-UUtr+ -UULTAC = 0,且-UUUT-UUtrABACACBC(2则 ABC为A .等边三角形B .等腰非直角三角形c.

7、非等腰三角形UUUUULT納旃 ABAC解析：D .等腰直角三角形UUITBC-UULT、wtr、tUUTABACBC均为单位向量.UUUUULT由 AB ACUUUrr+ -UUUTab|ACUULTBC = 0,UUU UUUr 得 | AB |= |AC |.UULT UUU由 AC BC-UUtrUUUTACBC=1X 1 X cosC = ，得 C= 45.故三角形为等腰直角三角形.答案：D11.如图，AB是半圆0的直径,D是弧AB的三等分点,M, N是线段AB的三等分点,OA = 6,uuurUUUT则 MD -NC的值为A. 13B. 26C. 18)(理)已知 a = (3,2

8、), b( 1,2) ,a + 入 b丄 b,则实数 X=解析uuuODuuur :MDuuur ON +uuuruuu uuur uuu uuur uuur uuur uuuuuuu NC =( OD - OM ) (-OC- ON) = OD -OC - OM-OC-uuur uuurOM ON = 6X 6cos60 6x 2cos120 6X 2cos120 + 2X 2cos180 =26.答案：B12.设 a = （a1，a2）， b= （b1，b2）.定义一种向量积:，点 P（X, y）1na b = (a1, a2)(b1, b2) = (a1b1, a2b2).已知 m= 2

9、, g , n= 3, 0uuuOP + n(其uuu在y= sinx的图象上运动，点Q在y= f(x)的图象上运动，满足OQ = m中O为坐标原点），贝y y= f（x）的最大值A及最小正周期T分别为9B . 2,4 nuuiu解析：设 Q(X0, y0), OQ = (X0,C-, 4 nuuuy0), OP = (x,y)，uuurT OQ = muuuOP (Xo, yo) =(X, y) +n3,1=2x, 2y +nX0= 2x+ 3,7t1x= *0-6,D.， nn cn 13,0 = 2x+3,0y，y= 2yo.yo= 2y，代入y= sinx中得,2y0= sin 2X0

10、-Z1 心 (m + 2i)(3 + 4i) 3m- 8+ (6 + 4m)i 是实数, 6+ 4m = 0,故解析 : Z23-4i2525m=答案：-2入=14.（文）若向量 a= （1 + 2入2-3为与b = （4,1）共线，则解析：依题意得4（2 3?）-（1 + 2为=0，由此解得解析：T （a+入b丄b,1(a + 入 b b= a b + 入2= 1 + 5 = 0,二入=一7515.已知平面向量 a, b, c满足a+ b + c= 0,且a与b的夹角为135 c与b的夹角为|a|120 |c|= 2ai=解析：根据已知条件，组成以|a|,|b|,|c|为边长的三角形，由正弦

11、定理得sin（180 120 =sin(180 135 ，又 |c|= 2，所以 |a|=e答案：承16.在直角坐标系xOy中，i、j分别是与x轴，y轴平行的单位向量，若直角三角形 ABCuuuuuur中，AB = i + j, AC = 2i + mj,则实数 m =.uuu uuur uuu 解析：本题考查了向量的运算.由已知可得BC = AC AB = i + (m 1)j.uuur uuurAB -AC = (i + j) + mj)= 2 + m= 0, m= 2.uuu uuurBA -BC = (i + j) i + (m 1) j = (1 + m 1)= m = 0, m =

12、 0.uurr uuuCA Cb = (2i + mj) i (m 1)j = 2 + m(m 1) = m2 m + 2 = 0,当A = 90时,当B = 90时,当C= 90时,此时m不存在.故m= 0或2.答案：0或2 三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(1 + i)2(3 + 4i)22z17.(本小题满分12分)已知复数z满足：Z|= 1 + 3i Z,化简 解：设 z= a+ bi(a, b R),而 |z|= 1 + 3i 乙即a2+ b2 1 3i + a+ bi = 0,则耐+ a - 1 = 0b 3 = 0a = 4,z = 4

13、+ 3i. (1 + i)2(3 + 4i)2 = 2i( - 7+ 24i) = 3 = 3+ 4i. 2( 4+ 3i)4 3i2z18. （本小题满分12分）如图，在平行四边形 ABCD中,uuuuBC的中点，已知AM = c,uuu uuurd 表示 AB , AD .uuur=a, Ad = b,贝 uM , N分别为DC ,uuuAN = d，试用 c,uuu解：法一：设ABUUUTa= AN +UUU1Nb = d+ (- b)UULUb= AM +UUUT1MD = c+ (-a),将代入得1 1a=d+ (5)c +(尹)42a= ld lC，代入得 b =c+ (2)(子)

14、=4242|C尹UUU 42故 AB =|d |c,UUur法二：设 AB = a,UULT 42AD = |c刃UULTAD = b.UULT 4 所以BN = 2b,UULM DM1=2a,1c= b + 2a 因而1 d= a+ 尹a= |(2d c)b= |(2c d)UUU 2 即 AB = |(2d c)UULT 2AD = |(2c d).19. (本小题满分 12 分)已知向量 a= (cos( 0), sin( 0), b=(35(扌一0), sin(扌一0) 求证：a丄b;(2)若存在不等于0的实数k和t,使x= a+ (t2 + 3)b,k+12y = ka+tb,满足x

15、丄y,试求此时一的最小值.解：(1)证明： a bnn=cos( 0) cosq 0) + sin( 0) sing 0)=sin 0cos 0- sin (fcos 0= 0. a 丄 b.由X丄y得：xy= 0,即a+ (t2 + 3)b (- ka+ tb) = 0, ka2 + (t3 + 3t)b2 + t k(t2 + 3)a b= 0, k|a|2 + (t3 + 3t)|b|2= 0.又|a|2 = 1, |b|2= 1,- k+ t3 + 3t = 0,- k= t3 + 3t.生=t1 = t2+ t + |= (t+ 1)2 + 故当t= 1时，k： t有最小值严.20.

16、 (本小题满分12分)在 ABC中，角A、B、C所对的边长分别为 a、b、c,已知向量m= (1,2sinA), n = (sinA,1 + cosA)，且满足 ml n, b+ c=/la.(1)求角A的大小;求sin B + 6的值解：(1) V m II n, 1 + cosA = 2sin2a,1 即 2cos2A + cosA 1 = 0，解得 cosA= 1(舍去),cosA=冗又 0 V A n, A= |.lb+ c=诵a,=3=2,-由正弦定理可得 sinB+ sinC= V3sinA= |.又 C = n (A + B)= 77 B, sinB+sin Bl3即|sinB+

17、 2|cosB= |, - sin B+ 才二当.21.(本小题满分 12 分)已知向量 a=(COSX, sinx), b= ( cosx, cosx), c= ( 1,0) (1)若x= n 求向量a, c的夹角;当x j 眷时，求函数f(x) = 2a b +1的最大值.解：(1)设a, c的夹角为0,当x= 6时cosxcos a，c |a| |c| 寸cos2x+ sin2x ( 1)2+ 02=cosx= cosn= cos.V 0 = 776(2)f(x)= 2a + 1 = 2( cos2x + sinxcosx) + 1 =2si nxcosx (2cos2x 1) = si

18、n 2x cos2x=辰n(2x- n.x n 劭, sin(2x- - 1,爭,当 2x 4= 即 x = n寸，f(x)max = 1.uuu uuu uuu22.(本小题满分14分)已知 ABC的面积为S,满足Sw 3,且AB -BC = 6, ABuur与BC的夹角为0.(1)求角0的取值范围;(2)求函数 f( 0) = sin2 0+ 2sin 0 cos 0+ 3cos2 0 的最小值.uuu uuur uuu uuu解：(1)由题意知，AB BC = | AB 11 Be |cos 0= 6,1 uuu uuur1 uuu uurS= 2l AB | |BC |si n( n 0) = JAB | |BC |si n 0,由，得6 =加n0即3ta n 0= S.由寸3 SW 3,得3tan0W 3,即3w tan 0 1.3uuu uuu又