分类讨论思想

1、专题一,第 三 讲,思想方法概述,应用角度例析,通法归纳领悟,专题专项训练,角度一,角度二,角度三,1分类讨论思想的含义 分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略,2分类讨论的常见类型 有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种： (1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等 (2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理

2、、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等,3)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根被开方数为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等 (4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、 位置需要分类，如角的终边所在的象限，点、线、面的位置关系等 (5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法,6)由实际意义引起的讨论：此类问题常常出现在应用题中

3、，特别是排列、组合中的计数问题 3分类讨论解题的步骤 (1)确定分类讨论的对象：即对哪个变量或参数进行分类讨论 (2)对所讨论的对象进行合理的分类 (3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决 (4)归纳总结：将各类情况总结归纳,由概念、法则、公式引起的分类讨论,2)已知数列an的前n项和snpn1(p是常数)，则数列an是 () a等差数列 b等比数列 c等差数列或等比数列 d以上都不对 思路点拨(1)由于题目中没有明确此圆锥曲线是椭圆还是双曲线，故应进行分类讨论 (2)由于公式ansnsn1适用条件为n2，另外p的取值会影响数列的性质，故应考虑分类讨论,2)snpn1， a1p1，ans

4、nsn1(p1)pn1(n2)， 当p1，且p0时，an是等比数列； 当p1时，an是等差数列 当p0时，a11，an0(n2)，此时an既不是等差数列也不是等比数列 答案(1)a(2)d,1)圆锥曲线没有给定时，要讨论是哪类圆锥曲线，否则会造成漏解.本题中由于所给曲线有两个焦点，所以不必考虑抛物线. (2)本题的讨论在于p的取值，同时对n的取值还要讨 论，极易错误地选取c的原因就是忽略了对n的讨论,例2(2012北京高考)已知函数f(x)ax21(a0)，g(x)x3bx. (1)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值； (2)当a24b时，求函数

5、f(x)g(x)的单调区间，并求其在区间(，1上的最大值 思路点拨(1)由两曲线在交点(1，c)处具有公切线知，f(1)g(1)，f(1)g(1,由参数的变化而引起的分类讨论,2)由于f(x)g(x)的单调区间与a或b有关，因此求其在区间(，1上的最大值时应对a或b的取值进行分类讨论 解(1)f(x)2ax，g(x)3x2b， 因为曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线， 所以f(1)g(1)，且f(1)g(1) 即a11b，且2a3b. 解得a3，b3,由于所求的变量或参数的取值不同会导致结果不同，所以要对某些问题中所求的变量进行讨论；而有的问题中虽然不需要对变量

6、讨论，但却要对参数讨论.在求解时要注意讨论的对象，同时应理顺讨论的目的,2(2012温州模拟)已知函数f(x)(2xa)ex(e为自然对数的 底数) (1)求函数f(x)的极小值； (2)对区间1,1内的一切实数x，都有2f(x)e2成立，求实数a的取值范围,例3抛物线y24px(p0)的焦点为f，p为其上的一点，o为坐标原点，若opf为等腰三角形，则这样的p点的个数为 () a2 b3 c4 d6 思路点拨由于本题只说明opf为等腰三角形，但是没有明确三角形的顶点，因此应进行分类讨论,根据图形位置或形状变化分类讨论,答案c,本题的分类讨论是由于点p的位置变化而引起的.一般由图形的位置或形状变

7、化引发的讨论包括：二次函数对称轴位置的变化；函数问题中区间的变化；函数图像形状的变化；直线由斜率引起的位置变化；圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；立体几何中点、线、面的位置变化等,5)幂函数yxa的幂指数a的正、负与定义域、单调性、奇偶性的关系； (6)指数函数yax及其反函数yloga x中底数a1及0a1对函数单调性的影响； (7)等比数列前n项和公式中q1与q1的区别； (8)不等式性质中两边同乘(除)以正数或负数时对不等号方向的影响； (9)直线与圆锥曲线位置关系的讨论； (10)运用点斜式、斜截式直线方程时斜率k是否存在,2利用分类讨论思想应注意以下问题 (1)分类讨论要标准统一，层次分明，分类要做到“不重不漏” (2)分类讨论时要根据题设条件确定讨论的级别，再确定每级讨论的对象与标准，