南京工程学院《概率论与数理统计》 盛骤 各章难点

1、概率论与数理统计 部分难点问题解析,设 a1, a2, ,an 为样本空间 s 的一个完备事件组，b 为一个随机事件. 若 p (ai ) 0, i =1,2,n, 则成立,第一章 随机事件及其概率,全概率公式 与 贝叶斯 公式,全概率公式,p (b) = p (a1) p (b|a1)+ p (a2) p (b|a2)+ p (an) p (b|an,贝叶斯公式,难点类型：利用两公式求概率,例1 由三台机床加工一大批零件，加工比例分别为5:3:2，合格率分别为0.94 , 0.90, 0.95，在全部产品中随机抽取一个,1) 求此零件合格的概率（产品合格率）； (2) 已知抽到的是合格品，求

2、此零件为1号机床加工的概率,解 设 ai : 零件由i 号加工(i=1,2,3 ), b: 抽到零件合格. 因此,p(a1)=0.5, p(a2)=0.3, p(a3)=0.2,p(b|a1)=0.94, p(b|a2)=0.90, p(b|a3)=0.95,2) 由贝叶斯公式,1) 由全概率公式，p(b)= p(a1)p(b|a1)+p(a2)p(b|a2)+p(a3)p(b|a3)=0.47+0.27+0.19=0.93,例2 盒中有9新、6旧共15只乒乓球，上午比赛时从盒中任取两球，用后放回，下午比赛时再从盒中任取两球,1) 求下午取两球都为新球的概率； (2) 已知下午取两球都为新球，

3、求上午取两球为1新1旧的概率,解 ai :上午取两球有i 个新球(i=0,1,2), b:下午取两新球. 因此,2) 由贝叶斯公式,1) p(b)=p(a0)p(b|a0)+p(a1)p(b|a1)+p(a2)p(b|a2)=0.2547,例3 ( 产品检验问题 ) 要验收 100 件产品的方法是：抽取 3 件产品，若测出次品就拒绝接收 . 已知一件次品被测出的概率为 0.95 ，一件合格品被误测为次品的概率是 0.01 . 若这 100 件产品中恰好有 4 件次品，求这批 100 件产品被接受的概率,解 设a: 产品被接受（抽到的3件产品都被认为是合格的）. bk : 抽到的 3 件产品恰有

4、k 个次品(k= 0,1,2,3,其中p (bk ) 服从超几何分布,p ( a | bk ) = 0.05 k0.99 3k (k= 0,1,2,3,由全概率公式，这批产品被接受的概率是 p (a ) = k=03 p (bk ) p (a | bk ) = k=03 0.05k0.99 3 k 0.8629,c4k c96 3 k c1003,第二章 随机变量及其分布,连续型随机变量函数的分布,难点类型,py y = p g ( x ) y = p x g 1 ( y,解法,即,两端求导数,fy ( y )= fx ( g 1 ( y,fy ( y )= fx ( g 1 ( y ) g

5、1 ( y,已知 x 的密度函数 fx(x)，求 y = g ( x ) 的密度函数,例1 已知 x 具有密度函数,求 y = 2x + 8 的密度函数,解,两端求导得,px,例2 设随机变量x 的密度函数为,求y =1e 2 x 的密度函数 fy ( y,解,即 fy ( y ) = fx (,两端求导得,py y = p1e 2 x y,即yu(0,1,例3 证明 若 xn (0,1) , 即x 具有概率密度,则 y = x 2 的概率密度为,第三章 多维随机变量及其分布,二维连续型随机变量及其概率密度,1. 已知 (x,y) 的密度函数 f (x, y)，求其分布函数f (x, y,其中

6、区域 d 为: u x, v y,解法 求二重积分,2. 已知 (x,y) 的密度函数 f (x, y)，求x,y 的边缘密度函数 f x (x) 及 f y (y,解法 求积分,例1 设 x , y 的密度函数为,2 e ( 2 xy ) ,当 x 0 , y 0 ； 0 ， 其它,f ( x，y ),1 ) 求分布函数 f ( x ，y ) ； ( 2 ) 计算 p y x,解,1 ) 对任意的 x 0 、 y 0,0 ， 其 它,f ( x，y ),于是,1e2 x)(1e y ) ,当 x, y 0,例1 设 x , y 的密度函数为,2 e ( 2 xy ) ,当 x 0 , y 0

7、 ； 0 ， 其它,f ( x，y ),1 ) 求分布函数 f ( x ，y ) ； ( 2 ) 计算 p y x,解,2 ) 设在g 0 上 f ( x , y ) 0 ，且 yx ，则,按 y - 型区域,用x -型区域求,用y -型区域求,解,例2 已知 x 、y 的联合密度函数为,计算 x、y 的边缘概率密度,6 ， x 2 y x ; 0 ， 其它,f ( x，y ),第四章 随机变量的数字特征,定理 (独立同分布中心极限定理) 设 x 1 , x 2 , , x n , 独立同分布，其期望 、方差 2 0 存在，则有,中心极限定理,定理 ( 棣莫弗- 拉普拉斯定理 ) 若 xn b

8、 (n , p ) , 则有,或者,解,易知，e (vk ) = 5 , d (vk ) = 100/12,由独立同分布中心极限定理 ，有,于是有 pv 255,例1 某仪器同时收到48个独立的噪音电压 vk u(0,10) (k=1,48) . 记 v = v1 + v2 + + v48 . 求pv 255的近似值,1 (0.5)= 0.3085,以 x 记90000次海浪冲击时纵摇角大于3的次数，则 x b ( 90000 , 1/3 ),例2 一船舶在海上航行，已知每遭受一次海浪的冲击，纵摇角大于3的概率为 p=1/3，若船舶遭受90000次海浪冲击，问其中有 2950030500 次纵

9、摇角大于3的概率是多少,解,由棣莫弗 - 拉普拉斯定理 ，近似地有,p 29500x 30500,0.9996,1) 以xk 记第k个学生 来参加家长会的人数，则有,例3 设每个学生无家长、有1名家长、有 2名家长来参加家长会的概率分别为0.05、0.8、0.15. 若学校共有学生400名，且各学生参加会议的家长数独立同分布. 求下列概率： (1) 参加家长会的家长数超过450； (2) 有1名家长来参加会议的学生数不超过340,解,由独立同分布定理. 参加家长会的家长数,可求得，e (xk ) = 1.1 , d (xk ) = 0.19 , k=1,2,400,p x 450,1 (1.1

10、47)=0.1357,2) 若以y 表示有1名家长来参加会议的学生数，则 y b(400,0.8)，由棣莫弗 拉普拉斯定理得,p y 450,(2.5)=0.9938,例3 设每个学生无家长、有1名家长、有 2名家长来参加家长会的概率分别为0.05、0.8、0.15. 若学校共有学生400名，且各学生参加会议的家长数独立同分布. 求下列概率： (1) 参加家长会的家长数超过450； (2) 有1名家长来参加会议的学生数不超过340,解,点估计的常用方法,第六章 参数估计,最大似然估计,由总体x的概率密度 f (x) (或分布律p x= xi )建立似然函数,或,求似然函数 l ( x1, x2

11、, xn ;) 的最大值,例1 设 x b(1, p). x 1 , x 2 , x n 是来自x 的一个样本，试求参数 p 的最大似然估计量,解 x 的分布律为px=x= px (1 p) 1x，x = 0,1 .设 x 1 , , x n 为样本值. 似然函数为,两边取对数,求导数，令其为零，得,解得 p 的最大似然估计值为,所以， p 的最大似然估计量为,例2 设 x n( , 2). x 1 , x 2 , x n 是来自x 的一个样本值，试求参数 , 2 的最大似然估计量,解 x 的概率密度为,故似然函数为,等式两边取对数，得,令其两个偏导数为零，得方程组,解得 , 2 的最大似然估计值分别为,所以， , 2的最大似然估计量分别为,现测得一组容量为8的样本观察值为 1