勾股定理的各类题型

1、勾股定理各种题型:一:勾股定理面积相等法:方法1:4工朋皿“y.宀化简可证.方法2：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直第三角形的面积与小正方形面积的和为-4逅血+2边丰2大正方形面积为S = （a+b）2 = ” + 2ab +夕方法3：S棚 = 1（&十b）（a+0）,务形= 2Ss+S=2同化简得证2 2 2二:方程思想与勾股定理结合得题目1. （2016春宜春期末）一旗杆在其得B处折断，量得AC= 5米，则旗杆原来得高度为（）A、米 B、2 米C、10 米D、米【考点】勾股启理得应用、【分析】町设AB=x,则BC=2 X,进而在AABC中，利用勾股宦理求解X

2、得值即可、【解答】解:由题意可得，AC-=BC- AB-.EP（2x） - x-=5解得x =, 所以旗杆原来得高度为3x=5,故选D、【点评】能够利用勾股楚理求解一些简单得直角三角形、2、（2016 春防城区期中）如图，在ABC 中，ZB=4OEFZ/AB,Z1=5 0CE=3,EF比CF大1则EF得长为（）A、5汨、6 C、3 D、4【考点】勾股是理;平行线得性质、【分析】由平行线得性质得出ZA = Zl=5（r得岀ZC=90。,设CF=x,则EF=x+l根据勾股 立理得出方程，解方程求出X,即可得出EF得长、【解答】解：TEFABZA=Z1=5 0% Z A-ZB=50U4（r=9 0

3、ZC=90设 CF=x,则 EF=x+l.根据勾股定理得:C e2乂:f2=ef2,即 3 2+x 2=（x+1）2,解得:x=4AEF=4 +1=5,故选:A、【点评】本题考査了平行线得性质、直角三角形得判定、勾股立理;熟练掌握平行线得性质, 并能进行推理论证与il算就就是解决问题得关键、3、（2015春蚌埠期中）已知，如图长方形ABCD中,AB=3cmAD=9cm将此长方形折叠,使点B仃D重介,折痕为EE则BE得长为（A. 3cm B、4cm C、ScimD、6cm【考点】翻折变换（折叠问题）、【分析】根据折叠得性质可得BE=ED,设AE=x,表示出BE=9 - x.然后在RtAABE中，

4、利用 勾股世理列式计算即可得解、【解答】解:T长方形折叠点B与点D重合，BE=ED设AE=x,贝IJED=9 - XBE=9 - x,在 RlABE 中.AB?丄 AELbeIup 3-+x-=（9 - x）解得x=4,AAE得长就就是4,BE=9 -4=5,故选c、【点评】本题考查了翻折变换得性质，勾股楚理得应用，根据勾股左理列出关于AE得长得 方程就就是解题得关键、4（2008秋奎文区校级期末）在我国古代数学著作九章算术中记载了一个有趣得问题这个问题得意思就就是:有一个水池，水而就就是一个边长为10尺得正方形,在水池正中央 有一根新生得芦苇，它髙出水面1尺，如图所示，如果把这根芦苇垂宜拉向

5、岸边，它得顶端恰 好到达岸边得水而、那么水深多少?芦苇长为多少？【考点】勾股楚理得应用、【分析】找到题中得直角三角形，设水深为X尺,根据勾股定理解答、【解答】解：设水深为X尺,则芦苇长为（x+1）尺，根摇勾股;1理得：，解得:x=12（尺），芦苇得长度=x+l=12+l=13（尺），答:水池深12尺,芦苇长13尺、【点评】此题就就是一道古代问题，体现了我们得祖先对勾股是理得理解，也体现了我国古代 数学得辉煌成就、三:勾股定理应用:求最短距离问题1 （20 1 4秋环翠区期中）如图,长方体得底而边长为1cm.与3cm高为6cm、如果用一根细线从点A开始经过4个侧而缠绕一圈到达B，那么所用细线最短

6、需要（）A、12cmB、llcimC、lOcmD、9cm【考点】平面展开-最短路径问题、【分析】要求所用细线得最短距离，需将长方体得侧而展开，进而根据两点之间线段最短 得出结果、【解答】解:将长方体展开，连接A、B：则 A A =1+ 3 +1+ 3 =8（cm）.AB=6 c m,根抵两点之间线段最短，ABJ=10cm、故选C、【点评】本题考查了平面展开-最短路径问题，本题就就就是把长方体得侧而展开“化立体为 平面，用勾股左理解决、2、（2016春繁昌县期末）如图,就就是一长、宽都就就是3 cm高BC=9cm得长方体纸箱,BC有一点RP C = BC -只蚂蚁从点A出发沿纸箱表而爬行到点P得

7、最短距离就就是B、3cmC、 lOcimD、12 cmA、6 cm【考点】平面展开一最短路径问题、【分析】将图形展开，可得到安排AP较短得展法两种，通过计算，得到较短得即可、【解答】解：（1）如图 l.AD= 3 C ni-DP=3-=9cm,在 RtAD P 中,AP=3cm;（2）如图 2.AC = 6cm,CP=3+3=6 cm.RtAAD P 中,AP=6cm、综上，蚂蚁从点A出发沿纸箱表面爬行到点P得最短距离就就是6cm、故选A、PDABPC图1【点评】本题考查了平面展开-最短路径问题，熟悉平而展开图就就是解题得关键、3、（20 16 大悟县二模）如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐,正

8、好从A点绕到正上方B点 共四圈，已知易拉罐底面周长就就是1 2cg高就就是20cm那么所需彩带最短得就就是（）A、1 3 cm B、4cmoC、4cmoD、5 2cm【考点】平面展开-最短路径问题、【分析】要求彩带得长，需将圆柱得侧面展开，进而根摇两点之间线段最短得出结果,在求线 段长时，借助于勾股运理、【解答】解:由图可知，彩带从易拉罐底端得A处绕易拉罐4圈后到达顶端得B处，将易拉罐 表面切开展开呈长方形，则螺旋线长为四个长方形并排后得长方形得对角线长，T易拉罐底面周长就就是12cm,高就就是20cm,.x-=12X4）-+ 2 0-,所以彩带最短就就是5 2cm、故选D【点评】本题考査了平

9、而展开-最短路径问题，圆柱得侧而展开图就就是一个矩形，此矩形得 长等于圆柱底面周长，高等于圆柱得高，本题就就就是把圆柱得侧而展开成矩形，“化曲面为平 而用勾股世理解决、4- （2016游仙区模拟）长方体敞口玻璃罐长、宽、高分别为1 6cm、6 C m -*5 6 cm,在罐内点E处有一小块饼碎末，此时一只蚂蚁正好在罐外壁，在长方形A BCD中心得正上方2 C m处,则蚂蚁到达饼T得最短距离就就是多少cm、（）A、7田、C 24 D、【考点】平面展开-最短路径问题、【分析】做此题要把这个长方体中蚂蚁所走得路线放到一个平面内，在平而内线段最短，根 据勾股左理即可计算、【解答】解:若蚂蚁从平而ABC

10、D与平面CDFE经过，蚂蚁到达饼干得最短距离如图1:HE=7,若蚂蚁从平面ABCD勺平面BCEH经过, 则蚂蚁到达饼干得最短距离如图2 :图2HE=故选B、【点评】考査了平面展开-最短路径问题，此题得关键就就是明确两点之间线段最短这一知 识点，然后把立体得长方体放到一个平而内，求出最短得线段、5 (2015秋宜兴市校级期中)如图，一圆柱高8cg底而半径为cm一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行得最短路程就就是10cm、【考点】平面展开最短路径问题、【分析】此题最直接得解法，就就就是将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答、【解答】解:底而圆周长为2町，底而半圆弧长为M即半圆弧长为：X2nX=6

11、 (cm).展开得: B C =8cm. A C=6cin.根摇勾股立理得:AB=10(cm)、故答案为：10、【点评】此题主要考査了立体图形得展开打两点之间线段最短，解题得关键就就是根据题意 画出展开图，表示出各线段得长度、(简单)1、在边长为1得小正方形组成得网格中.A ABC得三个顶点均在格点上，则 ABC 中BC边上得高为 答案:设ABC中BC边上得髙为h、7 AB2 = 5 , AC人 2 =20, BC 2 =25,A B 2 =AB2+AC2 ,Z A=90S A ABC = ABAC= BCh,即=5h.解得,h=2、故答案就就是：2、2、如图，方格纸中每个小方格都就就是边长为

12、1得正方形，我们把以格点连线为边得多边形 称为格点多边形”、如图（一）中四边形ABCD就就就是一个格点四边形、求图（一沖四边形ABCD得而积；（2）在图（二）方搭纸中画一个格点三角形EFG使 EFG得面积等于四边形ABCD得面积且 为轴对称图形、图（二）答案:解：（1）方法一：S = x6x4。=1 2方法二:S=4x6x2xl-x4xlx3x4x 2 x3=12（2）（只要画出一种即可）7、/3、如图，在由边长为1得小正方形组成得网格中ABC得三个顶点均在格点上、 请按要求完成下列各题：画AD BC （D为格点），连接C D;（2）试判断 AB C得形状?请说明理由；答案:（1）图象如图所示

13、；(2)由图象可知AB2 =12+ 22=5,AC2 = 2 2+42=20, BC2 =32+ 4 2 =25. BC = AB + ACABC就就是直角三角形。4、如图,就就是一块由边长为20cm得正方形地砖铺设得广场，一只鸽子落在点A处,它想 先后吃到小朋友撒在B、C处得鸟食，则鸽子至少需要疋多远得路程？答案:AB=5cm.BC= 1 3cm、所以其最短路程为1 8 cm(难题)5、如图中得虚线网格我们称之为正三角形网格,它得每一个小三角形都就就是边长 为1得正三角形,这样得三角形称为单位正三角形。必(1 )直接写出单位正三角形得高与面 积。(2)图中得平行四边形ABCD含有多少个单位正

14、三角形?平行四边形A BCD得而积就就 是多少？(3)求岀图中线段AC得长(可作辅助线)。亠盘【答案】(1)单位正三角形得高为,而积就就是。4(2)如图可直接得出平行四边形A BCD含有24个单位正三角形,因此其而积。，故(3)过A作AK丄BC于点K(如图所示)，则在RtAACK中丿五:方位角问题1、如图所示,在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60。方向走了 m到达B点, 然后再沿北偏西3 0。方向疋了 500m到达目得地C点、(1)求A、C两点之间得距离；(2)确楚目得地C在营地A得什么方向？(1)过B点作BE AD W如图,.zDAB=zABE=60 730+2CBA+2AB

15、E=180zCBA=90 ,即=Aec为直角三角形由己知可得：B0500m , AB=500 J3 m . 由勾股走理可得：AC 2 =BC 2 +AB 2 , 所以AO J5OO 2 +(500迟)2 =1000 ( m );(2 )在Rt-ABC中 TBC=500m . AC=1000m ,zCAB=30zDAB=60zDAC=30 即原C在羔A的北偏东30。的方冋2、甲、乙两位探险者到沙漠进行探险没有了水，需要寻找水源、为了不致于泄散，她们用两 部对话机联系，已知对话机得有效距离为15千米、早晨&00甲先出发，她以6 F米/时得 速度向东行走，1小时后乙出发，她以5千米/时得速度向北行进

16、，上午10:0 0,甲、乙二人 相距多远？还能保持联系吗？答案:如图，甲从上午8:0 0到上午10:0 0共走了 2小时，走了 12千米，即OA=12、乙从上午9:00到上午10:00-共走了 1小时，走了 5千米，即OB=5、在 RtAOAB 中,AB 2=1 22 1*5 2 =169./. AB=1 3 ,因此，上午10:0 0时，甲、乙两人相距13千米、V 1 513,.-.甲、乙两人还能保持联系、答:上午10:00甲、乙两人相距口千米，两人还能保持联系、3、如图，甲乙两船从港口 A同时出发,甲船以16海里/时速度向北偏东40。航行，乙船向南 偏东50航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛、若C、B两岛相距60海里，问 乙船得航速就就是多少？ 答案：从两船航行得方向瞧匕偏东40度与南偏东50度得夹角为90AC 丄 A B甲船速度每小时16海里，所以AC=16X3=48海里AB =BC - AC =3 6 00-2 3 0 4 =12 9 6AB=3 6所以乙船速度为毎小时:364-3=12海里4、如图，北海海而上，一艘解放军军舰正在基地A得正东方向且距A地40海里得B处训 练，突然接基地命令，要该舰前往C岛，接送一病危漁民到基地医院救治，已知C岛在A得北偏 东6