艺术生高考数学专题讲义：考点12 导数的概念及其运算

1、10.x1x xx xxg(x)2艺考生高考数学专题讲义考点十二导数的概念及其运算 知识梳理1导数的概念在数学中，称瞬时变化率为函数 yf(x)在 x 点的导数，通常用符号 f(x )表示，记作 f(x )0 0 0 limx x1 0f(x)f(x) limx x1 0 x0f(xx)f(x) 0 0x2导数的几何意义函数 f(x)在点 x 处的导数 f(x )的几何意义是曲线 yf(x)在点(x ，f(x )处的切线的斜率0 0 0 0相应地，切线方程为 yf(x )f(x )(xx )0 0 03函数 f(x)的导函数如果一个函数 f(x)在区间(a，b)上的每一点 x 处都有导数，导数

2、值记为 f(x)：f(x) lim x0f(xx)f(x)，则 f(x)是关于 x 的函数，称 f(x)为 f(x)的导函数，通常也简称为导数4基本初等函数的导数公式 (1) c0 (c 为常数)；(2) (x )x( 为实数)；(3) (sin x )cos_x；(4) (cos x)sin_x；(5) (a )a ln_a(a0，a1)； (6) (e )e ；(7) (log x)a1(a0，且 a1)； xln a1(8) (ln x) .5.导数的运算法则(1) f(x)g(x)f(x)g (x)；(2) f(x) g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；f(x) f(x)g(x)

3、f(x)g(x)(3) (g(x)0)g(x)高中数学x232xxxx32x x23222 222222222223 2 23 22222x0x0艺考生高考数学专题讲义典例剖析题型一 导数的运算例 1 求下列函数的导数 (1)ye ln x；(2)yxx1 1 ；x xln x(3)y x 1解析 (1)y(e ln x)e ln xe 1x1e (ln x )x1 2(2)yx 1 ，y3x .(3)y(ln x)(x1)ln x(x1)(x1)1(x1)2xln xx x 12x ln x . (x1) x(x1)变式训练 求下列函数的导数 (1)y(3x 4x)(2x1)；(2)yx s

4、in x；解析 (1)y(3x4x)(2x1)6x 3x 8x 4x6x 5x 4x， y18x 10x4.(2)y(x)sin xx(sin x)2xsin xx cos x.解题要点 求函数的导数一般有如下法则：(1) 求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导(2) 有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数 先化简，然后进行求导，可以避免使用商的求导法则，减少运算量题型二 曲线的切线问题例 2 曲线 y5e3 在点(0，2)处的切线方程为_答案 5xy20解析 易知点(0，2)在曲线上，又因为 y| 5e5，所以曲线在点(0，2)处

5、的切线方程为 y(2)5(x0)，即 5xy20.高中数学xx ln 23232332322 322332002变式训练 若曲线 ye _答案 (ln 2，2)x艺考生高考数学专题讲义上点 p 处的切线平行于直线 2xy10，则点 p 的坐标是解析 设 p(x ，y )，ye ，ye0 0，点 p 处的切线斜率为 kex 2，0x ln 2，x ln 2，0 0y e 2，点 p 的坐标为(ln 2，2)015例 3 若存在过点(1,0)的直线与曲线 yx 和 yax x9 都相切，则a 等于_425答案 1 或64解析 因为 yx ，所以 y3x ，设过(1,0)的直线与 yx 相切于点(x

6、 ，x )，0 0则在该点处的切线斜率为 k3x ，0所以切线方程为 yx 3x0 0(xx )，即 y3x x2x 0 0 0.3又(1,0)在切线上，则 x 0 或 x .0 0 215 25当 x 0 时，由 y0 与 yax x9 相切，可得 a ，0 4 643 27 27 15当 x 时，由 y x 与 yax x9 相切，可得 a1.0 2 4 4 4变式训练 已知函数 f(x)x 3x，若过点 a(0,16)且与曲线 yf(x)相切的直线方程为 yax 16，则实数 a 的值是_答案 9解析 点 a(0,16)不在曲线 yf(x)上，先设切点为 m(x ，y )，则切点在曲线上

7、有 y x 3x ，0 0 0 0 0求导数得到切线的斜率 kf(x )3x0 03，y 16 y 16又切线 l 过 a、m 两点，所以 k ，则 3x 3 ，x 0 x0 0联立可解得 x 2，y 2，0 0216从而实数 a 的值为 ak 9.2解题要点 解决切线问题的理论依据是：导数的几何意义是切点处切线的斜率.解题时需弄 清所给点是否为切点，要分清在点 p 处的切线与过 p 点的切线的区别，前者只有一条，而 后者包括了前者常见题型有三种：高中数学102x x x2243222 22 2 2 2 2423艺考生高考数学专题讲义(1)已知切点为 a(x ，f(x )，求切线方程，则先求出

8、斜率 kf(x )，从而切线方程是 yf(x )0 0 0 0f(x )(xx )；0 0(2)已知斜率 k，求切点 a(x ，f(x )，即解方程 f(x )k；1 1 1(3)已知过某点 m(x ，f(x )(不是切点)的切线斜率为 k 时，常需设出切点 a(x ，f(x )，利用 k1 1 0 0f(x)f(x) 求解x x1 0当堂练习11已知函数 f(x) cosx，则 f(x)_xcosxxsinx答案 x1 sinx cosxxsinx解析 f(x) cosx .2若曲线 yx的一条切线 l 与直线 x4y80 垂直，则切线 l 的方程为_答案 4xy30解析 设切点为 p(x

9、，y )，则斜率 k4x 4，0 0 0x 1，故切点为 p(1,1)，所求切线方程为 y14(x1)，即 4xy30.03. 若曲线 yx axb 在点(0，b)处的切线方程是 xy10，则_(填序号) a1，b1 a1，b1a1，b1 a1，b1答案 解析 y2xa，曲线 yx axb 在(0，b)处的切线方程斜率为 a，切线方程为 ybax，即 axyb 0.a1，b1. 4已知函数 f(x)xsin(x )，则 f( )_答案 2解析 f(x)xsin(x )xcosx，2f(x)cosxxsinx， f( )cos sin .5已知曲线 yxax1 在点(1，a2)处切线的斜率为 8

10、，则 a_答案 6解析 由题意知 y| (4x 2ax)| 42a8，则 a6x1 x1高中数学a22 2222322222xx x2x1222 42艺考生高考数学专题讲义课后作业一、 填空题1曲线 yxln x 在点(e，e)处的切线与直线 xay1 垂直，则实数 a 的值为_ 答案 21解析 y1ln x，y| 1ln e2， 21，a2.xe2函数 f(x)(x2a)(xa) 的导数 f(x)_答案 3(x a )解析 f(x)(xa) (x2a)2(xa)3(xa)3若曲线 yx 在点 p 处的切线的斜率为 3，则点 p 的坐标为_ 答案 (1,1)或(1，1)解析 y3x，3x3.x

11、1.当 x1 时，y1，当 x1 时，y1.4与直线 2xy40 平行的抛物线 yx 的切线方程是_答案 2xy10解析 对 yx 求导得 y2x.设切点坐标为(x ，x )，则切线斜率为 k2x .0 0 0由 2x 2 得 x 1，故切线方程为 y12(x1)，即 2xy10. 0 05若 f(x)xe，则 f(1)_答案 2e解析 f(x) e xe ，f(1)2ex6曲线 y 在点(1，1)处的切线方程为_x2答案 y2x1解析 因为 y2 (x2)，所以，在点(1，1)处的切线斜率 ky| 2 (12)2，所以，切线方程为 y12(x1)，即 y2x1.1 57曲线 yx 1 在 p

12、 ， 处的切线的倾斜角为_ 答案 451解析 y2x，y|x 1.切线的倾斜角为 45.8曲线 ye 1答案32x1 在点(0,2)处的切线与直线 y0 和 yx 围成的三角形面积为_解析 ye2x(2)，ky| 2;切线方程为 y22x，即 y2x2，x0高中数学2322x 32xxx0xx x m22x x x2222xxxxxxxx xx x xx x3yx，由y2x2x ，得y ，3艺考生高考数学专题讲义1 2 1s 1 .2 3 39若抛物线 yx xc 上的一点 p 的横坐标是2，抛物线过点 p 的切线恰好过坐标原点， 则实数 c 的值为_答案 4解析 y2x1，y| 5.26c又

13、 p(2,6c)， 5.c4.210 (2015 新课标文)已知函数 f(x)ax x1 的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则 a_.答案 1解析 f(x)3ax 1，f(1)13a，f(1)a2.(1，f(1)处的切线方程为 y(a2)(13a)(x1)将(2,7)代入切线方程，得 7(a2)(13a)，解得 a1.111设曲线 ye 在点(0,1)处的切线与曲线 y (x0)上点 p 处的切线垂直，则 p 的坐标为x_答案 (1,1)1解析 ye ，曲线 ye 在点(0,1)处的切线的斜率 k e 1，设 p(m，n)，y (x0)的导11 1 1数为 y (x0)，曲线 y

14、 (x0)在点 p 处的切线斜率 k (m0)，因为两切线垂2直，所以 k k 1，所以 m1，n1，则点 p 的坐标为(1,1)1 2二、解答题12求下列函数的导数：cos x(1)y ；sin x(2)y3 e 2 e.解析 (1)ysin xcos x 1 .sin x sin x(2)y(3e)(2)e(3x)e3(e)(2)3 e ln 33 e 2 ln 2(ln 31)(3e) 2 ln 2.13已知函数 f(x)x x16.(1) 求曲线 yf(x)在点(2，6)处的切线的方程；(2) 直线 l 为曲线 yf(x)的切线，且经过原点，求直线 l 的方程及切点坐标高中数学32232323332艺考生高考数学专题讲义解析 (1)可判定点(2，6)在曲线 yf(x)上f(x)(x x16)3x 1.f(x)在点(2，6)处的切线的斜率为 kf(2)13. 切线的方程为 y613(x2