第一册因式分解中转化思想的应用_七年级数学教案

1、第一册因式分解中转化思想的应用_七年级数学教案 _模板因式分解是初中代数的重要内容，因其分解方法较多，题型变化较大，教学有一定难度。转化思想是数学的重要解题思想，对于灵活较大的题型进行因式分解，应用转化思想， 有章可循，易于理解掌握，能收到较好的效果。因式分解的基本方法是： 提取公因式法、 应用公式法、十字相乘法。对于结构比较简单的题型可直接应用它们来进行因式分解，学生能够容易掌握与应用。但对于分组分解法、折项、添项法就有些把握不住，应用转化就思想就能起到关键的作用。分组分解法实质是一种手段，通过分组， 每组采用三种基本方法进行因式分解，从而达到分组的目的，这就利用了转换思想。看下面几例：例

2、1、4a2+2ab+2ac+bc解: 原式=（ 4a2+2ab） +(2ac+bc)=2a(2a+b)+c(2a+b)=(2a+b)(2a+c)分组后，每组提出公因式后，产生新的公因式能够继续分解因式，从而达到分解目的。例 2、 4a2-4a-b2-2b解 : 原式 =(4a2-b2)-(4a+2b) =(2a+b)(2a-b)-2(2a+b)=(2a+b)(2a-b-2)按“二、二 ”分组，每组应用提公因式法，或用平方差公式，从而继续分解因式。例 3、 x2-y2+z2-2xz解 : 原式 =(x2-2xz+z2)-y2=(x-z2)-y2=(x+y-z)(x-y-z)四项式按 “三一 ”分

3、组，使三项一组应用完全平方式，再应用平方差进行因式分解。对于五项式一般可采用 “三二 ”分组。 三项这一组可采用提公因式法、 完全平方式或十字相乘法，二项这一组可采用提公因式法或平方差公式分解，因此变化性较大。例 4、 x2-4xy+4y2-x+2y解 : 原式 =(x2-4xy+4y2)-(x-2y)=(x-2y)2-(x-2y)=(x-2y)(x-2y-1)例 5、 a2-b2+4a+2b+3解 : 原式 =(a2+4a+4)-(b2-2b+1)=(a+2)2-(b-1)2=(a+2+b-1)(a+2-b+1)=(a+b+1)(a-b+3)对于六项式可进行“二、二、二 ”分组， “三、三

4、”分组，或 “三、二、一 ”分组。例 6、 ax2-axy+bx2-bxy-cx2+cxy解 :原式 =(ax2-axy)+(bx2-bxy)-(cx2-cxy)=ax(x-y)+bx(x-y)-cx(x-y)=(x-y)(ax+bx-cx)=x(x-y)(a+b-c)解 :原式 =(ax2+bx2-cx2)-(axy+bxy-cxy)=x2(a+b-c)-xy(a+b-c)=x(x-y)(a+b-c)例 7、 x2-2xy+y2+2x-2y+1解 : 原式 =(x2-2xy+y2)+(2x-2y)+1 =(x-y)2+2(x-y)+1=(x-y+1)2对于折项、添项法也可转化成这三种基本的方

5、法来进行因式分解。例 8、 x4+4y4解 : 原式 =(x4+4x2y2+4y4)-4x2y2=(x2+2y2)2-4x2y2=(x2+2xy+2y2)(x2-2xy+2y2)例 9、 x4-23x2+1解 : 原式 =x4+2x2+1-25x2=(x2+1)2-25x2=(x2-5x+1)(x2+5x+1)又如 x3-7x-6 可用折项、添项多种方法分解因式: x3-7x-6=(x3-x)-(6x+6) x3-7x-6=(x3-4x)-(3x+6) x3-7x-6=(x3+2x2+x)-(2x2+8x+6) x3-7x-6=(x3-6x2-7x)+(6x2-6)只有掌握好三种基本的因式分解

6、方法， 才能应用转化思想处理灵活性较大、 技巧性较强的题型。本文有些内容超出大纲， 但由于强调转化，既巩固知识， 又开阔视野， 对因式分解这一章会起到一定 教学目标 ：1、经历观察、操作、推理、交流等过程，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力。2、在具体情境中了解补角、余角、对顶角，知道同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等，对顶角相等，并能解决一些实际问题。 教学思考 ：体会知识来源于生活实践，又服务于现实生活的道理。 教学重点 ：1、了解补角、余角、对顶角。2、理解余角、补角、对顶角的性质，并能应用它们解决一些实际问题。 教学难点 ：探索出 “同角或等角的余角相等，同角或等角

7、的补角相等”的结论。 情感态度和价值观：通过学生喜欢的台球运动， 抽象到与角有关的几何图形， 在愉快的情景中领会教学与现实生活的紧密关系，培养学以致用的价值趋向。第 1 页 教学方法 ：自主探讨、合作交流、启发引导。 教学用具 ：多媒体 教学过程 ：一、创设情景，引出课题多媒体展示四副图： 道路、房屋、山川、桥梁，让学生观察寻找自己熟悉的几何图形引入 “第二章平行线与相交线 ”。多媒体显示课本 50 页的台球桌，并出示白球击打红球，反弹后的红球直接入袋，引入本节课题 “台球桌面上的角 ”。二、新知探究1、互为余角，互为补角的定义如图（ 1）找一找：（1） 1 与哪些角的和等于900；（2） 1

8、 与哪些角的和等于1800。 图（ 1）在学生回答此问题的基础上得出互余、互补的定义。2、理解定义：图（ 2）图（ 3）电脑演示图（2）和图（ 3）中的 2、 4 的位置发生变化，第 2 页同时提出问题：1 与 2 还互为补角吗？3 与 4 还互为余角吗？教师归纳：互余、互补仅仅表明了两个角之间的数量关系，与它们的位置无关。3、巩固定义：抢答：（ 1）若 1 与 2 互补，则 1+2=_ 。（ 2）若 1=1800- 2 则 1 与 2_。（ 3） 300 角的余角的度数是 _,补角的度数是 _。（4） 600 角的余角的补角的度数是_。4、能力拓展议一议：如图，已知cd ef 于 d， 1=

9、 2。（1）哪些角互为余角？哪些角互为补角？（2） 3 与 4 的大小有什么关系？图（ 4）（3） adf 与 bde 的大小有什么关系？5、余角、补角的性质由能力拓展探索出“同角或等角的余角相等”“同角或等角的补角相等”的结论。6、对顶角的定义及性质电脑演示图形的变换得图（5）（直线 ab 、 ef 相交于点d ）第 3 页问：（ 1）图中 1 与 2 的大小有什么关系？为什么？（2） 1 与 2 的位置有什么关系？由问题（ 1）、（ 2）分别得出对顶角的性质及定义。找一找：图（ 5）中还有对顶角吗？反馈练习：1、下列图形中，1 与 2 是对顶角的是（）abcdef2、找出图中哪些角是对顶角

10、？第 4 页（3）举出生活中包含对顶角的例子。7、性质的应用课本 52 页议一议三、课堂小结：学生谈谈通过本节课学习，有什么收获。“圆 的 认 识 ”教学案例片段一：师：上新课之前，老师先作一下统计，家里有摩托车的同学请举手，摩托车乘上去舒服吗？你家里的摩托车的轮子仔细观察了吗，是什么形状？为什么车轮子一定要设计成圆形呢，你们知道这是为什么吗？（学生在自己生活经验的基础上纷纷说出自己的各种猜测）那么， 今天这堂课，我们就来认识圆。（出示课题：圆的认识）片段二：1通过举例，说明在日常生活中，有着许多大小不等的圆。（1）引导举例。（2）多媒体演示。2学习用圆规画圆。师：接下来就请同学们自学书本 p

11、115 上的内容，小组交流一下，可以用哪些方法能画圆，比较一下，哪种方法好，步骤怎样，并用这种方法尝试着画一个圆（ 1） 学生汇报交流，接受老师同学的质询。（ 2） 教师示范画圆并提示画圆时要注意的问题。3 的各部分名称和 的特征。（ 1）提 ：如果要在 内画出一条 段来表示定 ， 从哪一点画到哪一点呢？（ 学生上黑板指出，教 引 。引出 心概念）（ 2）教 画出一条表示定 的 段后， ：我 它取个名称叫半径。用字母 r 表示。下面 同学翻到第 116 自学什么叫半径？并小 交流， 通 比一比 （比 上一点， 内一点和 外一点。 ）指一指（指 上任意一点） ，再理解 “ 上任意一点 ”的含 。

12、 交流 果，接受老 同学的 。（ 3） 同学 分 画一个半径是 2 厘米和 1.5 厘米的 ，并在每个 上画几条半径，想一想、比一比： 同一个 中有多少条半径？半径 度都相等 ？ 的大小由什么决定？ 的位置由什么决定？（ 4） 自学交流 果，接受老 同学的 片段三：拿出老 的 ，要求先 折几次，描出几条折痕，然后量一量每一条折痕，小 交流你 了什么 律？生：我 每条折痕都通 心。生：我 每条折痕的 度都相等。生：我 有无数条，画不完。生：我 描下来的 段两端都在 的 沿上。生：我 一条折痕的 度等于两条半径的 度。生：我 一条半径等于半条（二分之一条）直径。生：我 折后两 大小都相等。生：我

13、.教 在学生 的基 上，引 学生 直径的概念。 析：1、 的 的教学理念。建构主 的学 理 ： 学 不 被 看成 于教 所授予知 的被 接受，而是学 者以自身已有的知 和 基 的主 的建构活 。在数学新 程 准中，也 要从学生已有的生活 出 ， 学生 身 将 抽象成数学模型并 行解 与运用的 程。因此，在 些片段中，能根据儿童的 知 律，科学地、 造性 教学程序。 情境，激 学生的学 趣和 烈的求知欲望，在引 学生 极思 ，主 取知 ，使学生在自主学 、探索、交流中要学数学，会学数学和 学数学，力求体 “以学生 展 本”的指 思想。二、教学 力求体 以下几点：1. 学生学 有价 的数学，才能学

14、得主 。教学 不要把教 和学生死死的捆在教科 上， 学生死 那些他 很枯燥的概念和公式。 教 他 与接受的，有价 的数学内容 材，从生活 引入，在上新 的 程中密切 系生活 。例如在上 的一开始，教 就从学生 生活中，提 出“ 什么摩托 的 子是 形 ”的 一 ， 学生 了“心求通而未得 ”、 “口欲言而不能 ”的 一个 “ 悱 ”境界， 激 学生学 趣和学 机。又如，通 屏幕 示生活中 常 到的 ，如 面、 车轮 后来又 学生 例 出几个 形的物体，使学生具体地感知数学 用的广泛性，潜移默化地向学生 行了学 目的的教育。2.重 引 学生用多种感官参与知 的形成 程心理学 明： 思 往往是从

15、作开始的。切断活 与思 的 系，思 就不能得到 展。要解决数学知 的抽象性与学生思 形象性之 的矛盾，关 是依靠 手操作。 基于上面的 ， 教 在引 学生 的各部分名称，理解 的特征， 以及教学 的的画法 ，有目的、有意识地安排了让学生画一画、指一指、比一比、量一量等动手实践活动，启发学生用眼观察，动脑思考，动口参加讨论，用耳去辨析同学们的答案，收到了很好的教学效果。教育家乌申斯基说：“接受知识的感官越多，知识就掌握得越牢固，越全面。”3.创设开放问题情景，激发兴趣，让学生成为知识的探索者和发现者。苏霍姆林斯基说过：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是一个发现者、研究者、

16、探索者，而在儿童的精神世界中，这种需要更为强烈。 ”所以，在探究直径这一环节中，该教师精心设计了让学生把圆折一折、描一描、量一量、想一想，你发现了什么规律， 这一开放式的教学方法， 使学生在具体、 直观的操作中除了发现直径的本质特征、发现直径和半径的关系， 还发现在同一个圆中直径相等， 直径有无数条， 沿着直径对折圆的两部分重合等知识。这样的设计，我认为一方面充分体现了让学生自主的去探索、去发现，自豪的成为知识的探索者和发现者，另一方面很自然的突破了本课的教学难点。7.5镜子改变了什么目标：知识与能力：结合现实生活中的典型例子，了解并欣赏物体的镜面对称。过程和方法： 通过操作、 观察、分析、欣

17、赏的过程， 抽象概括出镜内影像所体现的真实画面，并从中总结出确定画面的技巧和方法。情感、态度、价值观： 本节课的学习中，有意识地培养学生积极的情感、态度以及发现问题，解决问题的能力，并促进观察，分析，归纳，概括等一般能力和审美意识的发展。重点：了解和欣赏镜面对称，并从中找出镜面对称的规律。难点：对镜面对称性质的理解。课前准备：学生：镜子教师：多媒体课件关于镜面中的数学问题：（）镜面具有对称性，物体与在镜面中的像是关于镜面对称的。（）物体在正对镜面时与像的方向正好相反，但数字 0、1、8 在镜中的像和原来数字一样。（）物体与镜面垂直时，像的方向与物体上下颠倒，但数字0、 1、 8、3 在镜中的像

18、和原来数字一样。教学设计：情境引入：在一次晚会上， 主持人出了一道题目： “如何把变成一个真正的等式？ ”很长时间没有人答出， 小兰仅仅拿出了一个镜子， 很快解决了这一道题目。 你知道她是怎样做的吗？学生分组讨论，每组拿出准备好的镜子和白纸，开始试验。有的同学一尝试找到了问题的答案，然后交流。此例引起了学生极大的兴趣，感受到镜子的无限魅力。所以这节课我们就一起来研究一下这面镜子，看看镜子改变了什么？（板书课题）探究新知：每位同学对镜子， 举起你的左手， 看镜子中的像举的是哪一只手？如果举的是右手， 镜子中的像应该是哪一只手？分组讨论，交流结果和体会。接着让每位同学在白纸上写出这十个数字，然后思考：（）当镜子和数字正对着时，观察这十个数字在镜子中的像有什么变化？（左右颠倒）哪些数字在镜子中的像和原来数字一样？这些数字有什么特点？讨论交流。（）当镜子和数字垂直时，观察这十个数字在镜子中的像有什么变化？（上下颠倒）哪些数字在镜子中的像和原来数字一样？这些数字有什么特点？讨论交流。这是什么原因呢？此问题学生不易回答，但感觉是只可意会不可言传。此时教师可总结：物体与其像是关于镜面成轴对称的，这就是所谓的镜面对称。感知应用：现在有这样一种题目， 给出了物体的像， 要求大家找出物体的真实面目， 这种