(最新整理)完全平方数

1、(完整)完全平方数(完整)完全平方数 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整)完全平方数）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为(完整)完全平方数的全部内容。完全平方数的性质一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。例如： 0，1,4，9，16，25，36,49

2、,64,81，100,121,144，169,196，225，256,289,324,361，400，441,484, 观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。下面我们来研究完全平方数的一些常用性质： 性质1:完全平方数的末位数只能是4，5,6,9，1，0。 性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。 综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1，5，9；十位数字为偶数。 性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6;反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。 推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不

3、是6，那么这个数一定不是完全平方数。 推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。推论3：如果一个自然数的个位数字不是4也不是6，则它的完全平方数的十位数字一定是偶数。 性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1. 性质5：奇数的平方是8n+1型;偶数的平方为8n或8n+4型。 性质6:平方数的形式必为下列两种之一：3k，3k+1。 关於完全平方数的数字和有下面的性质： 性质7：完全平方数的数字和只能是0,1,4，7,9。 除了以上几条性质以外，还有下列重要性质： 性质8:一个正整数是完全平方数的充分必要条件是有奇数个因数(包括1和它本身)。 （二）重要结论

4、1。个位数是2,3，7,8的整数一定不是完全平方数; 2。个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数； 3。个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数； 4.形如3n+2型的整数一定不是完全平方数； 5。形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数； 6。形如5n2型的整数一定不是完全平方数； 7.数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数。例1。 9 450乘以某个正整数,积为完全平方数求符合 条件的最小正整数解 ：9450233527， (233527）(237）（23257)2是一个完全平方数 所求符合条件的最小正整数为23742例2 若某整数为完全平方数，且末四位

5、数字相同,求这种整数。分析与解答：根据性质1、性质2、性质3 ：末4位数字只能是0000，4444 若是0000,则有无数解。 若是4444，设4444前面的数为x 有x10000+4444是一个完全平方数。 x10000+4444 =4(2500x+1111） 因为4是平方数,要求2500x+1111也是平方数,而2500x+1111末两位是11，不可能是平方数。 所以末4位如果是4444，无解。只能是n1002例3 试证：不论a、b是怎样的整数，15a一35b3都不可能是一个完全平方数分析 显然当a、b为整数时,5(3a一7b）必是5的倍数,故它的末位数字只能是0或5由此,可推出5(3a一

6、7b)+3的末位数字只能是3或8根据完全平方数的性质1即可证得本命题例4试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同,后两位数字也相同.解：设此数为aabb，则：aabb=a0b11此数为完全平方，则必须是11的倍数。因此11|a + b，而a，b为共（2、9），(9、2)，（3、8），（8、3) (4、7),（7、4） ,（5、6）,（6、5)等8组可能.其中，第2 、3、 4、 5、7、8组不成立. 直接验算，可知此数为7744=88。例5当14444（共有n个4）是完全平方数时，正整数n的值有多少个？【解析】14=27 144=12*12 1444=4361=38*38 1

7、4444=43611 144444=4*36111 因为根据个位数字为1的平方数，十位数字必须为偶数判断361。.111不是平方数，所以n只能取2，3两个数例6证明3（5n+1）不是平方数（n为自然数）.【解析】证明：（1）假设n为奇数：不管n为哪个奇数，5n的末位数一定是5。这样，式子变成了3（5+1）,等于18，末位是8。可是根据这一条完全平方数的性质，完全平方数的末位数字只能是0、1、4、5、6、9这6个数中的某一个。显然不对.（2）如果n为偶数,这样5n末位一定为0。式子现在又变成了：3（0+1)，等于3。还是看上面完全平方数的定律，答案也是错。现在已经证明出来了。例7已知a是自然数,

8、试说明5（a2+3）不是完全平方数【解析】由完全平方数的个位数字只可能是0、1、4、5、6、9，只要说明a2+3的个位数字,不可能是0或5即可 解：a是自然数，a2的个位数字只能是0、1、4、5、6、9 a2+3的个位数字只能是2、3、4、7、8、9 也就是说，a2+3的个位数字，不可能是0或5，a2+3中不含因数5即可得知5（a2+3）不是完全平方数例8一个质数,它是两位数,加上6后得到的数是完全平方数，问这样的数有几个?分别是那些?【解析】0分两位数的完全平方数有：16,25，36,49，64，81,100 在减6分别为：10，19,30，43,58，75,94 .其中质数为：19，43

9、所以答案为2个 例9自然数的平方按从小到大排成一行：第612个位置上的数字是多少？ 解：解答此题时我们要考虑,自然数的平方哪些是一位数，哪些是两位数，哪些是平方后得一位数的有:13，共用数字3个；平方后得两位数的有：49,共用数字62=12个；平方后得三位数的有：1031，共用数字223=66；平方后得四位数的有：3299,共用数字684=272；平方后得五位数的有：100316，共用数字2175=1085（612-3-62-223-684）5=2595=514 也就是一直到平方后得五位数的第52个数平方后，所得数的第四个数字。由以上分析我们知道，第52个平方后得五位数的数是151,因为151151=22801所以第612个位置上的数字是22801”中的数字0” 答:第612个位置上的数字是0.完全平方数练习题1求证：11，111,1111，。.。,111.。.1（n个1)这串数中没有完全平方数。2在12,22，32，352这35个数中,十位数字是奇数的数共有几个？3一个两位数，与它的平方的末两位数相同,这样的两位数是多少？446305乘以一个自然数a,积是一个完全平方数，则最小的a是多少?5祖孙三人，孙子和爷爷的年龄