高中数学 2.1.1指数与指数幂的运算(第2课时)学案设计 新人教A版必修1

1、第二章基本初等函数()2.1指数函数2.1.1指数与指数幂的运算(第二课时)学习目标理解分数指数幂的概念;掌握分数指数幂和根式之间的互化;掌握分数指数幂的运算性质;培养学生观察分析和抽象的能力,以及渗透“转化”的数学思想.合作学习一、设计问题,创设情境问题1:当生物死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系,这个关系式应该怎样表示呢?问题2:考古学家根据上式可以知道,当生物体死亡了6000年,10000年,年后,它体内碳14的含量P分别为(,(,(.那么这些数(,

2、(,(的意义究竟是什么呢?它和我们初中所学的指数有什么区别?二、自主探索,尝试解决问题3:观察以下式子,你能总结出什么规律?(a0)=a2=;=a4=;=a3=;=a5=.问题4:利用问题3中的规律,你能表示下列式子吗?(x0,m,nN*,且n1).问题5:你能用方根的意义来解释问题4中的式子吗?问题6:你能把问题3,4中得到的结论推广到一般的情形吗?规定:正数的正分数指数幂的意义是(a0,m,nN*,且n1).三、信息交流,揭示规律问题7:负整数指数幂的意义是怎样规定的?问题8:你能得出负分数指数幂的意义吗?规定:正数的负分数指数幂的意义是(a0,m,nN*,且n1).问题9:你认为应怎样规

3、定零的分数指数幂的意义呢?问题10:综合上述问题7,8,9,如何规定分数指数幂的意义?分数指数幂的意义就是:正数的正分数指数幂的意义是(a0,m,nN*,且n1),正数的负分数指数幂的意义是(a0,m,nN*,且n1),零的正分数指数幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.问题11:分数指数幂的意义中,为什么规定a0,去掉这个规定会产生什么样的后果?问题12:既然指数的概念已从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢?有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数r,s,(1)aras=(a0,r,sR);(2)(ar)s=(a0,r,sR);(3)(ab)r=(a0

4、,b0,rR).问题13:若a0,是一个无理数,则a该如何理解?实数指数幂有意义,且有相同的运算性质,即:aras=ar+s(a0,r,sR);(ar)s=ars(a0,r,sR);(ab)r=arbr(a0,b0,rR).四、运用规律,解决问题【例1】(课本P51,例2)求值:;2;()-5;(.【例2】用分数指数幂的形式表示下列各式.a3;a2(a0).【例3】计算下列各式(式中字母都是正数):(1)(2)(-6)(-3);(2)()8.【例4】计算下列各式:(1)();(2)(a0).五、变式演练,深化提高1.计算:(1)(2)0+2-2(2-(0.01)0.5;(2)(0.0001+(

5、27-(+()-1.5;(3);(4)2.2.化简下列各式:(1);(2)(1-2);(3)(b2)-1(ab-3)7;(4);(5)()-3.六、反思小结,观点提炼(先让学生独自回忆,然后师生共同总结.)1.2.3.七、作业精选,巩固提高课本P59习题2.1A组第2,3,4题.参考答案一、设计问题,创设情境问题1:P=()5730.问题2:初中所学的指数是整数,而这里的指数是分数形式.二、自主探索,尝试解决问题3:,的结果中a的指数2,4,3,5分别写成了,形式上变了,本质没变.根据4个式子的最后结果可以总结:当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指数的形式(分数指数幂

6、形式).问题4:.问题5:53的4次方根是,75的立方根是,a7的5次方根是,xm的n次方根是.结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的.三、信息交流,揭示规律问题7:负整数指数幂的意义是a-n=(a0),nN*.问题9:零的分数指数幂的意义是零的正分数指数幂等于零,零的负分数指数幂没有意义,例如0-2=.问题11:若没有a0这个条件会怎样呢?如(-1=-1,(-1=1具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果,这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的.因此在把根式化成分数指数时,切记要使底数大于零.问题12:ar+sarsarbr四、运用规律,解决问题【例1】解:=(23=22=4;2=(52=5-1=;()-5=(2-1)-5=25=32;(=(=()-3=.【例2】解:a3=a3;a2=a2;=(a=(.【例3】解:(1)(2)(-6)(-3)=2(-6)(-3)=4ab0=4a;(2)()8=()8()8=m2n-3=.【例4】解:(1)()=()-5=-5;(2).五、变式演练,深化提高1.(1)(