高等数学 初等函数

1、第一章,二、复合函数,一、基本初等函数,第二节,初等函数,三、初等函数,1,幂 函 数,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数,反三角函数,一、基本初等函数,2,画出,1,1,的图像,3,奇函数,奇函数,非奇非偶,偶函数,奇函数,增函数,增函数,为增函数, 为减函数,为增函数,为减函数,1 , 1,4,幂函数 的性质,所有幂函数都经过第一象限,并且都通过点(1,1),但不通过第四象限,当 为奇数时, 幂函数为奇函数;当 为偶数时,幂函数为偶函数,当 时,幂函数经过原点(0,0),在 为增函数,当 时, 在 为减函数,图像向上与y轴无限地接近,向右与x轴无限地接近,当 时,函数为常数函数,5,定义

2、:函数 叫做指数函数,其中 是一个大于0,且不等于1的常量,函数的定义域是r,指 数 函 数,6,定义域,值域,当 x = 0 时, y = 1 , 即过点 ( 0 , 1,在 上是减函数,在 上是增函数,当x0时,当x0时,当x0时,当x0时,7,求 的反函数,解,反函数为,的值域为 ,即,对数函数,定义域,对 数 函 数,换底公式,8,1, 0,1, 0,定义域,值域,当 x = 1 时, y = 0 , 即过点 ( 1 , 0,在 上是减函数,在 上是增函数,当01时,当01时,9,三角函数常用公式,三 角 函 数,10,1,1,r,r,1,1,1,1,时,ymax=1,时,ymin=

3、1,时,ymax=1,时,ymin= 1,11,2,2,奇函数,偶函数,单调增区间,单调减区间,单调增区间,单调减区间,x,x,12,0,1,1,x,y,正切函数的图象,13,定义域： 值域： 周期性： 奇偶性： 单调性,全体实数r,正切函数是周期函数,正切函数在开区间 内都是增函数,正切函数是奇函数，正切曲线,最小正周期t,关于原点0对称,正切函数的性质,14,余切函数的图形,15,定义域： 值域： 周期性： 奇偶性： 单调性,全体实数r,余切函数是周期函数,余切函数在开区间 内都是减函数,余切函数是奇函数，正切曲线,最小正周期t,关于原点0对称,余切函数的性质,16,正割函数,余割函数,1

4、7,18,x,反三角函数,19,20,反正弦函数,定义域： -1，1,值 域,奇偶性： 奇函数,单调性,在 -1，1 单调递增,有界性,有界函数,21,22,反余弦函数,定义域： -1，1,值域,奇偶性： 无,单调性,在 -1，1 单调递减,有界性,有界函数,23,24,反正切函数,定义域,值域,奇偶性,单调性,在 单调递增,有界性,有界函数,奇函数,25,0,y,x,反余切函数,定义域,值域,奇偶性,单调性,在 单调递减,有界性,有界函数,无,26,定义,注意,1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的,复合条件,二、复合函数,27,复合条件在实际应用时常取形式,内层函数的值域落在外层函

5、数的定义域之内,2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成,28,函数的运算,则我们可以定义这两个函数的,设函数 的定义域依次为,下列运算,商,和(差,积,29,三. 初等函数,由常数及基本初等函数,否则称为非初等函数,例如,并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步,骤所构成,称为初等函数,可表为,故为初等函数,又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数,自学, p12 p13,30,非初等函数举例,符号函数,当 x 0,当 x = 0,当 x 0,取整函数,当,31,例1,是由哪些函数复合而成的,解,32,例2 分析下列复合函数的结构,解,33,设函数,x 换为 f (x,例4,