培优专题3 用分组分解法进行因式分解含答案

1、 培优专题3-用分组分解法进行) 含答案(因式分解 3、用分组分解法进行因式分解 【知识精读】 分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。 应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。 下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。 【分类解析】 1. 在数学计算、化简、证明题中的应用 例1. 把多项式分解因式，所得2421a)?a?a2

2、(a?1?a? ） 的结果为（ 2222)1?a?1)?.B(aa(A.a? 2222)a?1)1a?a.C(?(D.a 分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭 - 2 - 配，继续用公式法分解彻底。 解：原式 2421?a1)?a?2a(a?a?432?2a?a3?a?a1?24322?2a)(2a?2a?a1)?(a 2221)?(a?a(?a?a)?222)1?a?(a 故选择C 例2. 分解因式 24351x?xx?x?x? 分析：这是一个六项式，很显然要先进行分分别看成一组，此题可把组，此时23451?x?xx和?x?x六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此此题也可把，分别

3、看作一组，3245和x?1xx?xx?时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分 解。 ：1 解法2453)?1?原式?(x?xx?x()?x 23)1x)(x?(x?122)?x1?x1)(x?x?1)(?(x? 解法2： 5432)?(xx?x1?原式(x)?x?)(42(x?1)?(x?x(x?1)?x1)? 24)x1?(x?1)(x?224x?1)xx?(?1)(x?2?22)1?x1x)(?(?x1x?)(?x - 3 - 2. 在几何学中的应用 例：已知三条线段长分别为a、b、c，且满足 222ac?b，ab?c2a? 证明：以a、b、c为三边能构成三角形 分析：构成三角形的条件

4、，即三边关系定理，是“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边” 证明： 222acb2?c?a222?2acc?b0?a?22222?b0?c)?b?0，即(a?aac?2?c?(a?c?b)(a?c?b)?0 b?a?c?a?c?b又0?b?0，ac?ac?bc?b?c，a?abba?b?c?即a?为三边能构成三角形cba、?以 3. 在方程中的应用 例：求方程的整数解 xy?x?y 分析：这是一道求不定方程的整数解问题，直接求解有困难，因等式两边都含有x与y，故可考虑借助因式分解求解 解： xy?xy - 4 - ?xy?x?y?0?xy?x?y?1?1即x(y?1)?(y?1)?1 1?

5、)?)(x?1?(y?1是整数yx,? 1?1x?1?x1?或?11?1y?y?1?x?0x?2? 或?2y?y?0? 4、中考点拨 例1.分解因式：_。 22?m2?nmn?1? 解：22mnn21?m?22)nmn(m?2?1? 2)nm?1?(?(1?m?n)(1?m?n) 说明：观察此题是四项式，应采用分组分解法，中间两项虽符合平方差公式，但搭配在一起不能分解到底，应把后三项结合在一起，再应用完全平方公式和平方差公式。 例2分解因式：_ 22?y?xx?y? 解： 2222)?y?)(?xx?y(xx?y?y?(x?y)(x?y)?(x?y) ?(x?y)(x?y?1) 说明：前两项符

6、合平方差公式，把后两项结 - 5 - 合，看成整体提取公因式。 例3. 分解因式：_ 23?12xx?4x?3 解：233212x?x?3x4x?12?x?3x4?22 ?4)3(xx?4)?x?(x?3)(x?2)(x?2) 说明：分组的目的是能够继续分解。 5、题型展示： 例1. 分解因式： 2221?n?1)?(mn4mn? 解： 2221n?)?4m(nmn?12222?n14?mmnn?m2222 )n?2?1)?(m?(mnmn?2mn22)m?nmn?1)?(?(?(mn?m?n?1)(mn?m?n?1) 说明：观察此题，直接分解比较困难，不妨先去括号，再分组，把4mn分成2mn

7、和2mn，配成完全平方和平方差公式。 例2. 已知：，求ab+cd22220bdac1c1?b?，?d?，且a? 的值。 解：ab+cd= 1?1?ab?cd - 6 - 2222)ab?)?cd?ab(c(?d2222cdbcdaabc?abd? 2222)?(?(abcabd?cdbcda)?bdac)?ad(?bc(ac?bd)?ad?bd)(bc?(ac ?ac?0bd? 0?原式? 说明：首先要充分利用已知条件中的1（任何数乘以1，其值不变），22221c?a?bd?1，其次利用分解因式将式子变形成含有ac+bd因式乘积的形式，由ac+bd=0可算出结果。 例3. 分解因式： 33?

8、2xx 分析：此题无法用常规思路分解，需拆添项。观察多项式发现当x=1时，它的值为0，这就意味着的一个因式，因此变形的目的是凑33x?1是x?2x?这个因式。 1x? 解一（拆项）： 333x?23?2x?x?2x?3?3x22?1(x)x?1)?2xx?3(x?1)(? 2)?31)(x?x?(x 解二（添项）： 3322?2xxx3?x3?xx?2? 2)3?1)(x?)?x(x?1?(x2)3xx?)(?(?x1 说明：拆添项法也是分解因式的一种常见方 - 7 - 看看是否可法，请同学们试拆一次项和常数项， 解？ 【实战模拟】 填空题： 1. 22?bb?3（1）分解因式：a?3a 22

9、?44yy?2x?4xy?）分解因式：（2x33?n)?m1?mn(1?mn（3）分解因式：2. 已知： 3232的值。?abc?bb?bc?0，求aa?cc?a? 3. 分解因式： 51aa? 4. 已知：，试求333222A?z)xyxzxzyxA0yx?z?，是一个关于,的一次多项式，且?y?(?)( 的表达式。A - 8 - 5. 证明： 222)1?)?(ab1?2baab?(ab2)(?)(?)?a1(b - 9 - 【试题答案】 1. （1）解： 22)?b3(?ba)?原式?(a?(a?b)(a?b)?3(a?b) ?(a?b)(a?b?3) 2）解： （ 22)yx?2)?2

10、(?4xy?4原式?(xy2 ?2(x)?2y)?(x?2y?(x?2y)(x?2y?2) （3）解： 3223nmn?m?原式1?mn?22(1?nmn1?mn)?m)?( 22)mn)(1?(1?mn 2. 解： 2222)b?ab?)?c(a?原式?(a?b)(a?abb 22)ca?b?b?(a?ab?)(a?b?c?0? ?原式?0 说明：因式分解是一种重要的恒等变形，在代数式求值中有很大作用。 3. 解： 51?a?a522?aa?a1?a232?a?a?(1?a(a)?1) 222)?1a1)?(a?a1a?(a?)(a?223)?1)(a?a?1aa? 4. 解： 2220zx?y? - 10 - 222222y?zx，?yz?x333z?y?x332z?)(x?yz?2222 )?y)?z(x?y)(xx?xy?y?22)?yy?z(x?(x?y)x?xy? 22)?(xzz)?y(x?z)?)?(x?yx(x?)zy?x?xx?y)(x?z)(?()zx?y?x?y)(x?z)(2?( zy?2x?A 5. 证明： 2)ab?(1?)(a?b?2)?(ab?2ab222222bab?a?4ab1b?2b?2a?b?2ab2?aab?2a