(完整版)八年级数学三角形中位线培优专题训练

1、(完整版)八年级数学三角形中位线培优专题训练八年级数学三角形中位线培优专题训练一、内容提要1. 三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。2. 中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系。3. 运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。4. 中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论，一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等 经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边 经过梯形一腰中点

2、而平行于两底的直线，必平分另一腰 5. 有关线段中点的其他定理还有： 直角三角形斜边中线等于斜边的一半等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合 对角线互相平分的四边形是平行四边形 线段中垂线上的点到线段两端的距离相等 因此如何发挥中点作用必须全面考虑。 二、例题例1. 已知：ABC 中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM 和CAN ，P 是BC 的中点。求证：PM PN证明：作ME AB ，NF AC ，垂足E ，F ABM 、CAN 是等腰直角三角形AE EBME ，AF FC NF ，根据三角形中位线性质 PE 21AC NF ，PF 21AB MEPE AC ，PF

3、 ABPEB BAC PFC 即PEM PFNPEM PFN PM PN 例2.已知ABC 中，AB 10，AC 7，AD 是角平分线，CM AD 于M ，且N 是BC 的中点。求MN 的长。分析：N 是BC 的中点，若M 是另一边中点， 则可运用中位线的性质求MN 的长， 根据轴称性质作出AMC 的全等三角形即可。 辅助线是：延长CM 交AB 于E （证明略 例3.如图已知：ABC 中，AD 是角平分线，BE CF ，M 、N 分别是BC 和EF 的中点 求证：MN AD 证明一：连结EC ，取EC 的中点P ，连结PM 、PNP NMP AB ，MP 21AB ，NP AC ，NP 21A

4、C BE CF ，MP NP3=4=2MPN-180 MPN BAC 180（两边分平行的两个角相等或互补）1=2=2MPN-180， 2=3NP AC MN AD证明二：连结并延长EM 到G ，使MG ME 连结CG ，FG则MN FG ，MCG MBE CG BE CF B BCGAB CG ，BAC FCG 180 CAD 21（180FCG ） CFG 21（180FCG ）=CAD MN AD 例4. 已知：ABC 中，AB AC ，AD 是高，CE 是角平分线，EF BC 于F ，GE CE交CB 的延长线于G 求证：FD 41CG 证明要点是：延长GE 交AC 于H ， 可证E

5、是GH 的中点过点E 作EM GC 交HC 于M ，则M 是HC 的中点，EM GC ，EM 21GC由矩形EFDO 可得FD EO 21EM 41GC三、练习1. 如图11，M 、P 分别为ABC 的AB 、AC 上 的点，且AM=BM ，AP=2CP ，BP 与CM 相交于N ，已知PN=1，则PB 的长为 ( ) A. 2 B. 3 C .4 D. 52. 如图12，ABC 中，B =2C ，AD BC 于D ，M 为BC 的中点，AB=10，则MD 的长为 ( )A. 10B. 8 C .6 D. 53. 如图13，ABC 是等边三角形，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 的中

6、点，P 为不同于B 、E 、C 的BC 上的任意一点，DPH 为等边三角形.连接FH ，则EP 与FH 的大小关系是 ( ) A. E PFH B. EP=FH C. EP4. 如图14，在ABC 中，AD 平分BAC ，BD AD ，DE AC ，交AB 于E ,若AB=5，则DE 的长为 .C5. 如图15，ABC中，AB=4，AC=7，M为BC的中点，AD平分BAC，过M作MFAD，交AC于F，则FC的长等于.6. 如图25，P为ABC内一点，P AC=PBC，PMAC于M，PNBC于N.D是AB的中点.求证：DM=DN7. 如图16，在ABC中，D、E是AB、AC上的点，且BD=CE，

7、M、N分别是BE、CD的中点，直线MN分别交AB、AC于P、Q.求证：AP=AQ8. 如图17，BE、CF是ABC的角平分线，ANBE于N，AMCF于M.求证：MNBC.9. 如图18，在ABC中，AD平分BAC，AD=AB，CMAD于M.求证：AB+AC=2AM10.如图19，四边形ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，AB=CD.BA、CD的延长线交HG的延长线于E、F.求证：BEH=CFH.1. 如图20，在ABC中，ABC=2C，AD平分BAC，过BC的中点M作MEAD，交BA的延长线于E，交AD的延长线于F.求证：12BE BD.2. 如图21，在ABC中，AB的中点，MK的延长

8、线交BA的长线于N.求证：AN=AK.3. 如图22，分别以ABC的边AC、BC为腰，A、B为直角顶点，作等腰直角ACE和等腰直角BCD，M为ED的中点.求证：AMBM.4. 如图23，点O是四边形ABCD内一点，AOB=COD=1200，AO=BO，CO=DO，E、F、G分别为AB、CD、BC的中点.求证：EFG为等边三角形.5. 如图24，ABC中，M是AB的中点，P是AC的中点，D是MB的中点，N是CD的中点，Q是MN的中点，直线PQ交MB于K.求证：K是DB的中点.6. 如图25，P为ABC内一点，P AC=PBC，PMAC于M，PNBC于N.D是AB的中点.求证：DM=DN图21 图22 图23 图24 图257. 如图26，AP是ABC的角平分线，D、E分别是AB、AC上的点，且BD=CE.又G、H分别为BC、DE的中点.求证：HGAP.8. 如图27，已知ABD和ACE都是直角三角形，且ABD=ACE=900，如图(a)，连接DE，设M为DE的中点.(1)求证：MB=MC;(2)设BAD=CAE，固定ABD，让RtACE绕顶点A在平面内旋转到图(b)的位置，试问