微积分基本公式牛顿莱布尼茨公式

1、定理,3,微积分基本公式,如果,x,F,是连续函数,x,f,在区间,b,a,上,的一个原函数，则,a,F,b,F,dx,x,f,b,a,又,dt,t,f,x,x,a,也是,x,f,的一个原函数,已知,x,F,是,x,f,的一个原函数,C,x,x,F,b,a,x,证,三、牛顿,莱布尼茨公式,令,a,x,C,a,a,F,0,dt,t,f,a,a,a,C,a,F,a,F,x,F,dt,t,f,x,a,C,dt,t,f,x,F,x,a,令,b,x,a,F,b,F,dx,x,f,b,a,牛顿,莱布尼茨公式,a,F,b,F,dx,x,f,b,a,微积分基本公式表明,b,a,x,F,一个连续函数在区间,b,

2、a,上的定积分等于,它的任意一个原函数在区间,b,a,上的增量,注意,当,b,a,时,a,F,b,F,dx,x,f,b,a,仍成立,求定积分问题转化为求原函数的问题,例,4,求,1,sin,cos,2,2,0,dx,x,x,原式,2,0,cos,sin,2,x,x,x,2,3,例,5,设,求,2,1,5,1,0,2,x,x,x,x,f,2,0,dx,x,f,解,解,1,0,2,1,2,0,dx,x,f,dx,x,f,dx,x,f,在,2,1,上规定当,1,x,时,5,x,f,1,0,2,1,5,2,dx,xdx,原式,6,x,y,o,1,2,例,6,求,max,2,2,2,dx,x,x,解,由

3、图形可知,max,2,x,x,x,f,2,1,1,0,0,2,2,2,x,x,x,x,x,x,2,1,2,1,0,0,2,2,dx,x,xdx,dx,x,原式,2,11,x,y,o,2,x,y,x,y,1,2,2,例,7,求,解,1,1,2,dx,x,当,0,x,时,x,1,的一个原函数是,ln,x,dx,x,1,2,1,1,2,ln,x,2,ln,2,ln,1,ln,例,8,计算曲线,x,y,sin,在,0,上与,x,轴所围,成的平面图形的面积,解,面积,x,y,o,0,sin,xdx,A,0,cos,x,2,3,微积分基本公式,1,积分上限函数,x,a,dt,t,f,x,2,积分上限函数的

4、导数,x,f,x,a,F,b,F,dx,x,f,b,a,四、小结,牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学,之间的关系,思考题,设,x,f,在,b,a,上连续，则,dt,t,f,x,a,与,du,u,f,b,x,是,x,的函数还是,t,与,u,的函数？它们,的导数存在吗？如存在等于什么,思考题解答,dt,t,f,x,a,与,du,u,f,b,x,都是,x,的函数,x,f,dt,t,f,dx,d,x,a,x,f,du,u,f,dx,d,b,x,一,填,空题,1,b,a,x,dx,e,dx,d,2,2,_,2,x,a,dx,x,f,dx,d,_,3,2,2,3,1,ln,x,dt,t,t,dx,d,_

5、,4,2,0,dx,x,f,_,其中,2,1,2,1,0,2,x,x,x,x,x,f,5,设,cos,cos,1,nxdx,mx,I,dx,nx,mx,sin,sin,练,习,题,1,当,n,m,时,1,I,_,2,I,_,2,当,n,m,时,1,I,_,2,I,_,6,设,sin,cos,nxdx,mx,1,当,n,m,时,3,I,_,2,当,n,m,时,3,I,_,7,9,4,1,dx,x,x,_,8,3,3,1,2,1,x,dx,_,9,x,dt,t,x,x,0,2,0,cos,lim,_,二,求,导数,1,设函数,x,y,y,由方程,0,cos,0,0,x,y,t,tdt,dt,e,所

6、确,定，求,dx,dy,2,设,1,2,1,2,2,ln,ln,t,t,udu,u,y,udu,u,x,1,t,求,2,2,dx,y,d,3,x,x,dt,t,dx,d,cos,sin,2,cos,4,设,2,0,3,1,x,x,dx,x,g,求,1,g,三,计,算下列各定积分,1,2,1,2,2,1,dx,x,x,2,2,1,2,1,2,1,x,dx,3,0,1,2,2,4,1,1,3,3,dx,x,x,x,4,2,0,sin,dx,x,四,求,下列极限,1,x,t,x,t,x,dt,e,dt,e,0,2,2,0,2,2,lim,2,2,5,0,2,0,2,1,cos,1,lim,x,dt,

7、t,x,x,五,设,x,f,为连续函数，证明,x,x,t,dt,du,u,f,dt,t,x,t,f,0,0,0,六,求,函数,x,dt,t,t,t,x,f,0,2,1,1,3,在区间,1,0,上的最,大值与最小值,七,设,时,或,当,时,当,x,x,x,x,x,f,0,0,0,sin,2,1,求,x,dt,t,f,x,0,在,内的表达式,八,设,b,a,x,f,在,上连续且,0,x,f,x,a,x,b,t,f,dt,dt,t,f,x,F,证明,1,2,x,F,2,方程,0,x,F,在,b,a,内有且仅有一个根,一,1,0,2,a,f,x,f,3,1,ln,2,3,x,x,4,6,5,5,1,2)0,0,7,6,1,45,8,6,9,1,二,1,1,sin,cos,x,x,2,t,t,ln,2,1,2