晨光高中数学一对一数列

1、晨光高中数学一对一数列 数列基本概念 数列是一种特殊函数，对于数列这种特殊函数，着重讨论它的定义域、值域、增减性和最值等方面的性质，依据这些性质将数列分类：依定义域分为：有穷数列、无穷数列；依值域分为：有界数列和无界数列；依增减性分为递增数列、递减数列和摆动数列。 a?f(n) 数列的表示方法：列表法、图象法、解析法（通项公式法及递推关系法）；数列通项：n 2、等差数列 n?Nn?2a?a?d,(d常)，d叫公差。1、定义 当 时，总有,且 nn?1a?a?(n?1)d 2、通项公式1n(1,a)(?a?da?dn为端点, 斜率为d斜线上一些孤立点。1）、从函数角度看 是n的一次函数，其图象是

2、以点 11na?a?(n?1)(?d), 、从变形角度看 即可从两个不同方向认识同一数列，公差为相反数。 2）nna?a?(n?1)d,a?a?(m?1)da?a?(n?m)da?a?(n?m)d. ,相减得 ，即又mnmn1mn1aaaa是第m-n+1 项，以为第一项时，n-m+1项，公差为d；若，则以若 nm nn)，求变题2 在等差数列a中，n+mnnm S15?S55S? ，。 在等差数列a中，求n1569 项和项和，如何求前3n 变已知已知前n项和及前2n第3S40?S?20S 变题3 在等差数列a ，求，中，n302010)?S?S)S7(S?S5(S?1)SSS?(2?k 。 可

3、推广为，?，2n3n5n3n7nn4kn?k(21)n(k-1)n 4 aa?3a?a?6a?a? ，a中，求 ，1、在等差数列n837214SS30S?20S? 3、在等差数列a中，求 。，及n100502010?SS?7525S 2k项和 ，后 5、等差数列a共有3k项，前2k，求中间k项和项和。n2k2k中2 +Bx 的应用 迁移变换 重视Sx=Ax第4变 的值。，求=m,，S=n,(mn)S变题4 在等差数列a中，Sn+mmnn 5 1请你试试S460?S?84S 1、 在等差数列a中， ，求n322012SS?a?0S 中，有最大值，求 ，当n为何值时，2、 在等差数列ann1510

4、1 归纳总结，发展提高变 第5 为例）（仍以变题2=b,(mn)，求S的值。题目 在等差数列a中，S=a,Sn+mnnma?a?a?am?n?p?q 求法外，还有多种方法。现列举例如下：除上面利用通项性质qpmnn(n?1)m(m?1)d?a,S?ma?d?bS?na?基本量求解：由、 1， 1nm122)?ab(m?n)(m?n?1)(m?n)(1n?m?a)dS?S?(m?n?ba(n?m)d?a? 代入得, 。相减得 1nmm?n?1m?n22 2 +Bx求解x项和公式Sx=Ax2、利用等差数列前222 A(n+m)(n-m)+B(n-m)=a-b ，得=Am+Bm两式相减Sx=Ax+B

5、x，得 S=An+Bn, S由mna?bn?m2?)?BnA(?m(a?b)S?A(m?n)?B(m?n)?故 即 n?mn?mn?mSn?An?B求解 3、利用关系式 nSSSSn?An?Bnnn), (n, )与n成线性关系，从而点集(n, 知由 中的点共线，即 nnnnsssssaabnn?nmmm?n?SS nnmm?nnnm?nmnmm?即 共线，则有 ， ， (m, ),(m+n, ) mm?nn?mm?n?nn?mmnma?nbna?nbn?ms?a?(a?b)s?即 ， . 化简, 得 nm?n?mn?mm?nn?mn?m4、利用定比分点坐标公式求解 SSS?m?mnnAB的定

6、比分点,则P看作有向线段 将P(m+n, 由A(n, ), B(m, ), )三点共线,点 nmm?nssambmn?)?(?sa?bn?mmn?n?APm nmnnn?nm?)?ba(s?，可得 . 即, m?nmm?n?mmm?n?nm?(m?n)nPB1?(?)1? nn 5 _. S=4 ，则a的前n项和，S=3，S若S是等差数列12n2n6 等比数列的概念、性质及前n项和第二节a6?4,aa? 求， 。, 题根二 等比数列a n975 30?a?2?a?a?aa?0,q2?a?a?a?a? 。等比数列a ， ，则，若 _n30963130321 1变 连续若干项之和构成的数列仍成等比

7、数列 第a?a?a?a?6aa?a?a?2,a 。 ，求 变题2 等比数列an121041116253 S6S?S?2,1?q 。，求 时，1、等比数列a ， n642S21?S?1,S1q? 时，a ， 。，求2、等比数列n462a,a,S,SaS 成等差，则 成等差 第2变 633699aa,S,Sa,S, 。中， 成等差，则 成等差 变题3 等比数列an699363*a,Sa,a,SS,ZN?,d,n?dk?d?m?d 成等差，则 （其中）成等差 2、等比数列a 中，nd?m?mkdknn?d*aa,a,a,a,aZ?,d,k?d?N,m?dn?d 3、等比数列（其中）成等差。 中， 成

8、等差，则andn?kmmdk?dn? )a?a,aa?(,aa1q? 的值。 ，成等差， 1、 等比数列a， 求n10653119SS?S,S,aa,a2 成等比。成等差，求证、等比数列2a ，n61671234aS 第3变 也是等比数列是等比， nn2?naa?,S,0a?S,S?1q? (数列也是等比数列。中， )，求证 且 ，是等比数列，公比 q () nnn112 第4变 等比数列在分期付款问题中应用 问题 顾客购买一售价为5000元的商品时，采用分期付款方法，每期付款数相同，购买后1个月付款一次，到第12次付款后全部付清。如果月利润为0.8%，每月利息按复利计算，那么每期应付款多少？

9、（精确到1元） 分析一：设每期应付款x元，则 第1次付款后，还欠 5000(1+0.8%)-x（元） 22第2次付款后，还欠 5000(1+0.8%)-x(1+0.8%)-x=5000(1+0.8%)-x(1+0.8%)-x（元） 232第3次付款后，还欠 5000(1+0.8%)-x(1+0.8%)-x(1+0.8%)-x=5000(1+0.8%)-x(1+0.8%)-x(1+0.8%)-x（元） 6 ?101211，?-x(1+0.8%)-x=0 （1+0.8%）-最后一次付款后，款已全部还清，则 5000(1+0.8%)-x(1+0.8%)-x 121.008?112?x?5000?1.

10、008 111012 1+0.8%）+?+x(1+0.8%)+x， 即 移项 5000(1+0.8%)=x(1+0.8%)+x（ 1.0081?121)1.008?(1.008?5000438.6?x （元）算得 1211.008?n（元，月利润为p，分n一般地，购买一件售价为a元的商品，采用分期付款时，要求在m个月内将款还至bmm 1?p)?(1?p)?b(1an?x. 的约数）次付款，那么每次付款数计算公式为m 是 m1?p)?(1个月的利息，而顾客第一次还的12元折算成12个月后的钱要计算分析二：设每月还款x元，将商家的5000 月的利息?，于是得方程11个月的利息，第二次还的钱应计算1

11、0钱也应计算438.6?x101112 （元）+?+x(1+0.8%)+x， 解得5000(1+0.8%)=x(1+0.8%)+x（1+0.8% 元，把还款折成现在的钱，可得三：设每次还款x分析xxx?5000?438.6?x? （元） ， 解得 。 1120.8%)0.8%)(1?1?0.8%(1? 将上述方法应用到其他实际问题中，如木材砍伐，人口增长等。 项和 常见数列的通项及前n 第三节111S,? 3 求分数数列题根项和的前n n1?22?33?4 d 分母中两因数之差由常数1由到 第1变 111S,?。变题1 求分数数列项和n的前 n1?33?55?72、用裂项法可求解： 1111n

12、a?,2,?1a?0,k? ，则，公差为为等差数列，d若. nna?aa?aa?aa?aa?an114?2n21133n?1111?a?、常见裂项法求和有两种类型：分式型和根式型。如分式型 3 ； ? n3nn?n(n?3)3?111 ?(na?b)a?n?1?。；型根式另外 还有：nn!=(n+1)!-n!， na?ba?1?nbnm?m1mCCC? 。n?n1n 1111S,? 1、求分数数列项和的前n n2026121111S,?、求分数数列2。 项和n的前 n22228?4?122?43?6428?8?38?81S,? 2求分数数列。、 项和的前n n222222229?53?13?5

13、77? 7 由分数数列到幂数列3变 第222S,1,3,2 n3 求数列项和。?的前变题n 333332223)?2(2?4n(2n)?S?1?31)?(2n?S2?4S? ）。2，（），（3求和 （1）nnn 4变 由幂数列到积数列 第S4,?3,31?2,2 。n项和?的前变题4 求数列n4 请你试试 3S5,?4?1?2?3,2?34,3 。n项和求数列?的前n 由等差数列与等比数列对应项的积构成的积数列第4变 n10?2a0?a?0a?a?ana?(n?1)?n?取值的，变题5 在数列（1 中，） 分别求出 和 n? nn1nnn?1?n11?S 。2）求数列最大项；（3）求数列前n项

14、和范围；（nnS2n? 项和。1、 求数列 ?的前nn1n?23x1)(2x3x?5n?7x?S?1? 。2、 求和n12n?135?S?求和、 3 。 nnn?8n22n4n 项和 递推数列的通项公式及前n第四节 、利用不动点求数列通项1a1a?a1a?a?2 ，求通项公式，。满足题根三 数列n1nn?1n)1p?pa?q(a?0?0,pq?下面收获 数列为等比数列。型递推数列，当p=1时, 数列为等差数列；当时,nn?11p? 时递推式的通项公式的求法：给出q?q?p?1,p?qpx?x)?f(此为函数， 满足 ， 1方法、因为 从而得 所以一定存在 p1?a)?aq?(p?q)?p(?a

15、a?pa的等比数列，p 由 ，得是首项为 ，公比为的不动点。1nnn1n?q1?nn?1?p?(aa?a?(a?)p) 式为通项公入代上式于是 ，将 ， 得 即, 1nn1p1?qq1?n.p?(a?a?) ）（I ? 1np?p11?pb?b?ab)a?a?q?apa?apaqap(?a?a，则 2方法、由,，得，令，1nn?1?11n?n1nn?nnnnn?nn1 8 n?1)?pb(1n?1?1?abbb?a?a 得是首项为 ，公比为则q的等比数列， 11nk1np1?1k?n?1)?p(a?a)(112?a?(n?2) （*）；当n=1时,（*）式也成立。 11?paa4?aa?93a

16、。 求, 满足 数列 ， nnn11n?2ana1aa?a 满足。求通项公式 ， 变题1 数列 n1n1?n2a?1npan?a型递推数列的通项公式的求法：收获 1?nra?snpxp?s11s1rx?0x?x? 或令， ，得为两不动点。由于 21r?srxppaa?xan1n1?n?1sr11b?b?a?pa?q(p?1)?b模型。 同，此为样，设 也可化为，则 n1n?n1n?nppaa?xn21n?111r1aa?pa?q(p?1)b? 模型，, 设 可求得 。更为特殊的是p=s 时，由（I）式 nn?1nnaa?xaapnn?1n?11npanb?a的倒数求解 。我们常取，原因恰是为此

17、 则数列 。 是等差数列 n1?nra?pn3na3*1?naa)N2,n?(n?a?a满足 22题）数列，求通项公式（。 变题2 06年江西理第 1nnn21n?2a?1n?x*aaaa?1)af(a?)Nn?(?)f(x；，（2的通项公式，函数（，1）求 ，数列） 满足 nnn1n1?n3x?1Saa?a?a?a?Sa。 ，求 设 n113n2n?n2a?41n?aa2)?,(na?0,a? 数列变题2 中，求 nnn1a?21n?pa?qn?a型递推数列的通项公式的方法：求解 收获 1?nra?sn?xa?px?q1n?11xx,?x和 是等比数列， 即两不动点。于是并且 ， 设其两根为

18、 令? 21rx?sa?xx?a?1?1n21n?1a?pa?q(p?1)型递推式 均可化为。 n?1na?x2n?1 aSa2?S4a3n。n3 变题设数列 前项和为 ，求及nnnnn 9 a)a?f(n 变 递推式第1n1n? 2、累积错位相消法求数列通项na1?aaa2a? ，求通项公式满足。 变题4 数列n1nn?1naaaa 与思路 观察 与存在的关系，思考解题方法。、3221aa?f(n)a 则2、型递推式，通项公式求解方法如下：为等比数列。收获 1、若f(n)为常数, nn?1naaa1nn?2(1).?1),2),?f?f(n?f(n? aaa12nn?1?1),f(n?a?a

19、f(1)f(2)? 各式两边分别相乘，得 时, (II)仍成立 当n=11na)a?a?1,na?2(a?a, 中在数列,变题5 nn211n?1a41?nSba?b 通项公式 （2 求）令项和。，求的前n（1） nnnn22aa2nn?)f(n?aa?nn?1 第2变 型递推数列 、累加错位相消法求数列通项31?a?aaa?1a 中，, 求的通项公式。变题6 已知数列， nn?1nn?1)(nn1aab?2,ab?a?,n?1, 则，设 则称数列收获 对于数列是差数列，nnnnn?1n1?n?,?a?a)?(a?a)a?b?b?b?(a?a)?(a.?ba?a 得 k1n1n?1n321?1

20、212nn1k?1?n?a2)na?a?f(k),( (III)式。? （III 所以）. 的通项公式为当n=1时，也满足n1n1k?aaa1)a?2na?(n? 通项公式。 , 中，, 变题7 在数列求nnnn1?14 请你试试4 、?，的通项公式。57、120、4、11、26、 求数列 1)n?q(?apa 变 型递推数列第3n1?n1n?)n?f(a?ap 4、两边同除以型递推式 ，经过变量替换，化为nn?1aa3n?2a?2aa?2? 。 变题8 数列 ，满足 求 , nnn11n?1)?q(pa),(p?1)?pa?paa?q(n 。时，即为模型中， 当q(n)是常数q收获 在nn?1n?1naaaq()n)q(n1?nnn?n1?b?,?f(n)1),(np?(?pa?qap, 两边同除以 得, 得 在, 令 nnn?1n?n1?1nn?1nppppp 10 1?32nnnb)nb?b?f(p).?(ba?p =的通项公式，从而得 即可求出 nnn?1nnn222411?naa?2a?S? 。n=1,2,n项和为变题9（2006年全国理第22题）设数列?，求通项 ，前 nnnn3332)?S(n?a?S 规律小结 根据数列性质可得出递推关系，然后再根据结构特征求通项公式。1?nnn5 请你试试