张卡第2章-误差分布与精度指标[文字可编辑]

1、1,第二章,误差分布与精度指标,学习要点,正态分布,偶然误差的规律性,衡量精度的指标,精度、准确度与精确度,2,一、数学期望,随机变量,X,的数学期望定义为随机变量取值的概率平均值，记作,E,X,2.1,随机变量的数字特征,离散型随机变量,1,i,i,i,p,x,X,E,连续型随机变量,dx,x,xf,X,E,数学期望运算有如下的性质,1,常数的数学期望等于其本身,C,C,E,2,常数于一随机变量乘积的数学期望等于,该常数乘以此随机变量的数学期望,X,CE,CX,E,3,两个随机变量之和的数学期望等于这,两个随机变量各自的数学期望之和,Y,E,X,E,Y,X,E,4,两个相互独立的随机变量之积

2、的数学,期望等于这两个随机变量各自的数学,期望之积,Y,E,X,E,Y,X,E,2,1,2,1,n,n,X,E,X,E,X,E,X,X,X,E,3,二、方差,随机变量,X,的方差，记作,D,X,E,X,E,X,2,离散型随机变量,1,2,i,i,i,p,X,E,x,X,D,连续型随机变量,dx,x,f,X,E,x,x,D,2,方差的运算有如下的性质,1,常数的方差等于,0,0,C,D,2,常数于一随机变量乘积的方差等于该常,数的平方乘以此随机变量的数学期望,2,X,D,C,CX,D,3,2,2,X,E,X,E,X,D,4,两个相互独立的随机变量之和的方差为,Y,D,X,D,Y,X,D,2,1,

3、2,1,n,n,X,D,X,D,X,D,X,X,X,D,4,三、协方差,协方差是描述两个随机变量,X,Y,的相关程度，记作,XY,Y,E,Y,X,E,X,E,XY,当,X,和,Y,的协方差等于,0,时，表示这两个随机变量是互不相关的；若,XY,0,则,表示它们是相关的,Y,X,XY,XY,Y,D,X,D,X,Y,分别称为随机变量,X,Y,的标准差,1,1,四、相关系数,两个随机变量,X,Y,的相关性还可用相关系数来描述，相关系数,5,正态分布是一种很重要的分布,1,设有相互独立的随机变量,X,1,X,2,X,n,其总和为,X,X,1,X,2,X,n,无论这些独立的随机变量原来是服从什么分布，也

4、,无论它们是同分布或不同分布，只要它们具有,有限的均值和方,差,且其中每一个随机变量对其总和,X,的影响均匀地小,那么其,总和,X,将是服从或近似地服从,正态分布,的随机变量,2.2,正态分布,例如，对某个量进行观测时，总的测量误差是一系列个别因素引起的基本,误差项,1,2,n,的之和，如果每一个,对其总和的影响都是均匀,地小，那么其总和就是服从正态分布的随机变量,2,许多分布都是以正态分布为极限分布的,因此，正态分布是一种最常见的概率分布，是处理观测数据的基础,6,一、一维正态分布,服从正态分布的一维随机变量,X,的概率密度为,2,1,exp,2,1,2,1,2,2,2,2,2,x,x,f,

5、x,e,x,f,x,或记为,其中,和,是分布密度的两个参数。正态分布也称为高斯分布。对随机变量,X,服从参数为,和,的正态分布，将简记为,X,N,2,2,X,D,X,E,可见，正态分布的分布密度中的参数,就是变量,X,的数学期望,2,是它的方差,因此，对于正态分布来说，其分布密度参数就是随机变量的两个主要数字特征,只要知道了某一变量服从正态分布，则由其数字特征就可决定它的分布律,7,97,3,3,5,95,2,2,3,68,X,P,X,P,X,P,7,二,n,维正态分布,设随机变量,X,X,1,X,2,X,n,T,若,X,服从正态分布，则,X,为,n,为正态随机向量,其联合概率密度为,2,1,

6、exp,2,1,1,2,1,2,2,1,X,XX,T,X,XX,n,n,x,D,x,D,x,x,x,f,2,2,2,2,1,2,1,2,1,2,2,1,2,1,2,1,1,n,n,n,n,n,X,X,X,X,X,X,X,X,X,X,X,X,X,X,X,n,n,XX,n,n,X,D,X,E,X,E,X,E,可见,n,维正态分布的分布密度中的参数,X,和方差阵,D,XX,都是矩阵,二维正态分布图,8,2.3,偶然误差的规律性,真误差,i,有时也简称为误差,一、几个概念,真值,观测量客观上存在的一个能代表其真正大小的数,值，一般用,表示,L,观测值,对观测量进行观测所得的值，一般用,L,i,表示,真

7、误差,观测值与真值之差,一般用,i,L,i,表示,i,L,9,观测向量：若进行,n,次观测，观测值,L,1,L,2,L,n,可,用矩阵的形式表示为,n,n,L,L,L,L,2,1,1,n,n,L,L,L,L,2,1,1,n,n,n,L,L,L,L,L,L,2,1,2,1,1,1,1,1,n,n,n,L,L,则有,L,L,E,L,L,E,T,n,L,E,L,E,L,E,L,E,2,1,表示其真值,若以观测量的数学期望,10,二、偶然误差的规律性,基本假设,系统误差已消除，粗差不存在；真误差,仅仅是,偶然误差,由,1.1,节可知，偶然误差就个体而言，其大小或符号没,有规律性，即呈现出一种偶然性（随

8、机性）；但就其总,体而言，却呈现出一定的统计规律。而且在大部分情况,下，这种统计规律性可用正态分布来描述,寻找偶然误差之规律性的方法,统计分析法,1,统计表法,2,直方图法,11,例,1,在相同的条件下独立观测了,358,个三角形的全部内角，每个三角形内,角之和应等于,180,度，但由于误差的影响往往不等于,180,度，计算各内角和,的真误差,180,L,1,L,2,L,3,i,并按误差区间的间隔,0.2,秒进行统计,误差分布具有如下性质,1,误差的绝对值有一定的,限值,2,绝对值,较小,的误差比绝对值,较大,的误差,多,3,绝对值,相等,的正负误差的个数,相近,12,例,2,对另一测区在相同

9、的条件下独立观测了,421,个三角形的全部内角，每,个三角形内角之和应等于,180,度，但由于误差的影响往往不等于,180,度，计,算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔,0.2,秒进行统计,误差分布具有如下性质,1,愈,接近于零,的误差区间，误差出现的频率,愈大,2,随着,离零愈来愈远,误差出现频率亦,逐渐递减,3,出现在,正负,误差区间内的频率基本,相等,13,v,i,n,d,0,0.4,0.8,1.2,1.2,0.8,0.4,闭合差,概率分布曲线,或误差分布曲线,用误差分布直方图表示,面积,v,i,n,d,d,v,i,n,所有面积之和,v,1,n,v,2,n+.=1,14,由统计分析可以

10、得到,偶然误差具有下列特性,有限性，渐降性，对称性，抵偿性,1,有限性,在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值有一定的限值，或者说超,过一定限值的偶然误差出现的概率为零,0,0.4,0.8,1.2,1.2,0.8,0.4,f,限,限,15,2,渐降性,绝对值较小的偶然误差比绝对值较大的偶然误差出现的概率大,0,0.4,0.8,1.2,1.2,0.8,0.4,f,P,小,P,大,P,大,16,3,对称性,绝对值相等的正负偶然误差出现的概率相同,0,0.4,0.8,1.2,1.2,0.8,0.4,f,P,P,P,P,17,4,抵偿性,偶然误差的理论平均值为零,0,0.4,0.8,1.2,1.2,0.

11、8,0.4,f,P,P,18,频数,d,0,0.4,0.6,0.8,0.8,0.6-0.4,闭合差,0.630,频数,d,0,0.4,0.6,0.8,0.8,0.6-0.4,闭合差,0.475,以理论分布代替经验分布时，各长方,条的纵坐标就是,的密度函数,f,而,长方条的面积,f,d,即代表误差出,现在该区间内的概率,P,f,d,2,2,2,2,1,e,f,正态分布的概,率密度函数,f,0,1,1,0,2,2,提示,观测值定了其,分布也就确定了，因,此一组观测值对应相,同的分布。不同的观,测序列，分布不同,但其极限分布均是正,态分布,偶然误差的经验分布,偶然误差,是服从,N(0,2,分布的随机

12、变量,19,2.4,衡量精度的指标,这说明：例,1,中的误差更集中于零的附近，这一组误差分布的,较为,密集,或者说它的,离散度小,相对而言，例,2,中的误差分布,较为,离散,或者说它的,离散度大,测量平差的主要任务之一，就是评定测量成果的精度,先来比较,2.3,节中例,1,例,2,中两组观测的精度优劣情况,例,1,误差出现在,0.6,0.6,区间内的频率为,0.665,绝对值大于,0.6,秒的误差的频率为,1-0.665,0.335,例,2,误差出现在,0.6,0.6,区间内的频率为,0.492,绝对值大于,0.6,秒的误差的频率为,1-0.492,0.508,20,频数,d,0,0.4,0.

13、6,0.8,0.8,0.6-0.4,闭合差,0.630,频数,d,0,0.4,0.6,0.8,0.8,0.6-0.4,闭合差,0.475,例,1,的误差分布曲线,f,0,1,1,0,2,2,再来比较例,1,例,2,的误差分布直方图和误差分布曲线,例,1,的误差分布直方图,例,2,的误差分布直方图,例,2,的误差分布曲线,结论,如果误差分布较密集,即离散度较小时，则表示观测,质量较好，即观测精度较高,反之，误差分布较分散、离散,度较大，则观测质量较差、精,度较低,观测质量好坏又反,映了什么呢？有什,么衡量指标吗,21,精度,指,误差分布,的,密集或离散程度,即,离散度,的大小,注意,所谓,精度高

14、低,是针对,不同观测组,而言。假如两组观测成果的误差分布相,同，则两组观测成果的精度相同；反之，误差分布不同，则精度也就不同,在,相同的观测条件,下所进行的一组观测，由于它们对应着,同一种误差分布,也就,代表这组观测中的每一个观测值，都是,同精度观测值,提示,一组观测值,具有,相同的分布,但,偶然误差各不相同,离散,度小,偶然误,差也小,离散,度大,偶然误,差也大,精度是用来描述观测结果的偶然误差大小程度的,指标，表示了,观测结果与其数学期望,的接近程度,可从误差分布曲线的,陡峭程度,看出精度的高低,f,0,1,1,0,2,2,22,一、衡量精度的指标,能反映偶然误差分布的离散程度大小的数字，

15、称衡量,精度的指标,1,方差和中误差,由于,偶然误差,服从,正态分布,且其数学期望,E,0,对于在相同条件下得,到的一组独立的观测误差，其,方差,定义如下,随机变量,X,的,方差,定义,dx,x,f,X,E,x,x,E,x,E,x,D,X,2,2,2,方差的算术平方根,定义为,中误差,n,n,i,i,n,E,D,1,2,2,lim,23,1,方差和中误差,提示,中误差不是代表,个别误差,的大小，而是代表误差分布的,离散度,的大小,它是代表一组同精度观测误差平方的平均值的平方根极限值,中误差越小,说明,绝对值较小的误差越多,误差曲线越陡峭,误差分布越密集,精度越高,反之,精度越低,f,0,1,1

16、,f,0,2,2,不同的对应着,不同的误差分布曲线,24,根据定义可知，方差是真误差平方,2,的数学期望，也就,是,2,的理论平均值,方差和中误差,在分布律已知的情况下，它是一个确定的常,数，或者说它是,n,趋于无穷大时的极限值，这都是,理论上的数值,在实际工作中,观测个数,n,不可能取无穷大,n,总是有限的,由,有限个观测值的真误差只能求得方差和中误差的,估计值,或称,估值,方差的估计值,这就是根据一,组等精度,真误,差,计算方差和,中误差估值的,基本公式,中误差的估计值,25,如果不知道观测值的真值，如何求方差、中误差呢,i,v,X,X,求观测值的期望值、及其改正数,v,2,2,1,n,i

17、,i,n,2,1,n,i,i,n,2,2,1,1,n,i,i,v,n,2,1,1,n,i,i,v,n,X,N,M,N,X(cm,i(mm,Vi(mm,1,5.5,1,2,2,5.5,1,2,3,5.3,1,0,4,5.3,1,0,5,5.2,2,1,6,5.4,0,1,7,5.1,3,2,1,2,2,2,1,17,2.4,7,n,i,i,mm,n,1.6,mm,2,2,1,14,2.3,1,6,n,i,i,v,mm,n,1.5,mm,i,i,X,X,5.4,X,cm,已知观测值真值,X,X,真值,未知，通过,计算,1,1,37.3,5.3,7,n,i,i,X,X,cm,n,i,i,v,X,X,

18、26,在一定的观测条件下一组独立的,偶然误差的绝对值,的,数学期,望,称为,平均误差,以,表示,2,平均误差,即平均误差是一组独立的偶然误差绝对值的算术平均值的极限值,平均误差与中误差的关系,由此可知，不同的,对应着不同的,于是就对应着不同的误,差分布曲线。所以平均误差,也可作为衡量精度的指标,实际工作中，由于观测个数,n,有限，只能求得平均误差的,估值,但,仍简称为平均误差,或者,27,当观测误差出现在,之间的,概率等于二分之一时,称,为,或然误差,即，在相同的观测条件下，大于或然误差与小于或然误差的,观测误差,绝对值,出现的概率各占一半,3,或然误差,50,d,f,P,f,0,闭合差,1,

19、1,50,1/4,1/4,28,3,或然误差,t,2,2,2,2,1,e,f,由于的概率密度函数为,并作变量代换，令,dt,d,t,根据或然误差的定义，得,由概率积分表可查得，当概率为,1/2,时，积分的上限为,0.6745,所以,由此可知，或然误差,与中误差,存在理论上的关系，不同的,也对应着不同的误差分布曲线，因此，或然误差,也可作为衡量精,度的指标,29,一、真误差的计算,内容回顾,二、偶然误差的规律,三、精度的概念,四、衡量精度的定量指标,真误差,i,有时也简称为误差,偶然误差的四个特性,P,P,1,方差和中误,差,2,平均误差,3,或然误差,30,实际工作中，因为观测个数,n,是有限

20、的，只能求出,的估值,但仍简称或然,误差,或然误差可以这样求出：将在相同的观测条件下得到的一组误差，按绝对,值大小排列，当,n,为奇数时，取位于中间的一个误差值作为,当,n,为偶数时,则取中间两个误差值的平均值作为,3,或然误差,但在实用上，通常是先求出中误差的估值，然后按或然误差和中误差的理,论关系式,求出,例,2-1,为了比较两架经纬仪的观测精度，分布对同一角度各进行了,30,次,观,测，并统计了观测值与真值的误差,表,2-3,试求出两架经纬仪的中误差、平均误,差和或然误差,65,74,9,43,2,经纬仪,1,05,1,3,2,46,1,30,9,43,58,1,30,65,74,1,1

21、,1,2,1,n,n,86,25,4,24,2,经纬仪,2,62,0,3,2,81,0,30,4,24,93,0,30,86,25,2,2,2,2,2,n,n,31,由于,当,n,不大时，中误差比平均误差更能灵敏地反映大误差的影响,且计算时往往先求出中误差,中误差具有明确的几何意义（分布曲线的拐点坐标,平均误差和或然误差都与中误差存在理论关系,中误差、平均误差和或然误差都可以作为衡量精度的指标，在,实践中，由于,n,总是有限的，所以只能求出它们的估值，这与理论,值有一定的差异,n,愈大，这一差异越小，也越能反映观测的精度,若,n,很小，求出来的估值是不可靠的,所以，世界上各国都采用中误差作为衡

22、量精度,的指标，我国也统一采用,中误差,作为衡量精度,的指标,32,由中误差的定义可知,中误差是一组同精度观测误差,平方的平均值的平方根极限值,中误差不是代表个别,误差的大小，而是代表误差分布的离散度的大小，中,误差愈小，表示在该组观测中，绝对值较小的误差愈,多,中误差既然是平均值，就会有的观测误差的绝对值比,中误差大，有的观测误差的绝对值比中误差小。那么,绝对值比中误差小的观测误差出现的概率是多少？绝,对值比中误差大的观测误差出现的概率又是多少呢,4,极限误差,33,由于偶然误差,服从正态分布，误差出现在给定区间,k,k,内的概率为,4,极限误差,根据概率论与数理统计知识，得,k,1,2,3

23、,时的概率分别为,上式表明：绝对值大于,中误差,的观测误差出现的概率为,31.7,绝对值大于,二倍中误差,的观测误差出现的概率为,4.5,绝对值大于,三倍中误差,的观测误,差出现的概率仅为,0.3,即观测误差的绝对值一般不会大于三倍中误差。因,此,实际工作中通常以三倍中误差作为观测误差的极限，并称为极限误差,用,限,表示,在测量工作中，极限误差是保证工程质量的一个重要的定量信息,34,指观测值的,中误差,与,观测值之比,一般用分子为,1,的分式,1,N,表示,5,相对误差,相对误差是个,无量纲的数值,对于某些长度元素的观测结果，有时单靠中误差还不能完全表达,观测结果的好坏。例如，分别丈量了,1

24、000m,及,500m,的两段距离,它们的中误差均为,2cm,虽然两者的中误差相同，但就单位长度,而言，两者精度并不相同。显然前者的相对精度比后者要高。此时,须采用另一种办法来衡量精度，通常采用,相对误差,35,与相对误差相对应，真误差、中误差、平均误差、极限误差等都,称为,绝对误差,比如，经纬仪导线测量时，规范中规定的相对闭合差不能超过,1/2000,就,是相对极限误差；而实测中所产生的相对闭合差,角度闭合差、坐标闭合差,则是相对真误差,相对中误差,中误差,观测值,相对真误差,真误差,观测值,相对极限误差,极限误差,观测值,导线全长相对闭合差,4000,1,1,K,S,f,s,s,f,K,S

25、,2,2,x,y,f,f,S,2,2,2,3,4,1,500,10,10000,cm,cm,导线全长相对闭合差限差,A,A,fs,fx,fy,A,A,1,3,2,B,4,36,例：用钢卷尺丈量,200m,和,40m,两段距离，量距的中误,差都是,2cm,问：这两段距离的真误差是否相等,中误差是否相等？两者的精度是否相同,解：这两段距离的真误差不相等。这两段距离中误差是相等，均,为,2cm,它们的相对精度不相同,前者的相对中误差为,0,02,200,1,10000,后者相对中误差则为,0,02,40,l,2000,故前者的量距精度高于后者,相对精度,是对长度元素而言。如果不特别说明，相,对精度是

26、指,相对中误差,37,对于,多维,随机变量，即,观测向量,其精度指标是,方差,协方差阵,6,观测向量的精度指标,协方差阵,协方差阵中,主对角线上,的元素分别是各观测量,X,i,的,方差,2,Xi,非对角线上,的元素是观测量,X,i,与,X,j,的,协方差,XiXj,一维离散型随机变量,X,1,i,i,i,p,x,X,E,1,2,i,i,i,p,X,E,x,X,D,Y,E,Y,X,E,X,E,XY,一维随机变量,X,Y,的协方差,都是一,个数值,多维随机向量,X,n,1,X,1,X,2,X,n,T,的数学期望为,E,X,其方差是一个,矩阵,称为,方差,协方差阵,简称,方差阵或协方差阵,2,1,n

27、,n,X,E,X,E,X,E,X,E,2,2,2,2,1,2,2,1,2,1,2,1,1,n,n,n,n,n,X,X,X,X,X,X,X,X,X,X,X,X,X,X,X,T,n,n,XX,X,E,X,X,E,X,E,D,38,6,观测向量的精度指标,协方差阵,当,X,i,和,X,j,的协方差,XiXj,0,时，表示这两个观测量之间,互不相关,或者说,相,互独立,并称这些观测值为,不相关的观测值（也称独立观测值,当,XiXj,0,时，表示它们是,相关,的，并称观测值为,相关观测值,多维随机向量,X,n,1,X,1,X,2,X,n,T,的方差,协方差阵,2,2,2,2,1,2,2,1,2,1,2,

28、1,1,n,n,n,n,n,X,X,X,X,X,X,X,X,X,X,X,X,X,X,X,n,n,XX,D,i,j,i,j,j,i,j,i,X,X,X,X,X,X,j,j,i,i,X,X,E,E,X,E,X,X,E,X,E,根据协方差的定义,n,n,k,jk,ik,X,X,j,i,1,协方差是两个真误差乘积的数学期望，当观测个数,n,有限时，只能求其估值,因此，观测向量的协方差阵是一个,对称矩阵,当其中的各观测值之间相互,独立时，则所有的,X,i,和,X,j,的协方差,XiXj,0,此时协方差阵,D,XX,为,对角阵,当,对角线上的元素相等时，则所有的观测为,等精度观测,39,互协方差阵,其中,

29、D,XX,D,YY,分别是,X,Y,的协方差阵，而,D,XY,称为观测向量,X,关于,Y,的,互协方差阵,而且，当,X,和,Y,的维数,n,r,1,时（即,X,Y,都是对一个量的观测,值），此时互协方差阵就变成了,X,关于,Y,的协方差,则,Z,的方差阵,D,ZZ,为,YY,r,r,YX,n,r,XY,r,n,XX,n,n,r,n,r,n,ZZ,D,D,D,D,D,n,r,T,YX,y,x,y,x,y,x,y,x,y,x,y,x,y,x,y,x,y,x,T,r,n,XY,D,Y,E,Y,X,E,X,E,D,n,n,n,n,n,n,2,1,2,2,2,1,2,1,2,1,1,1,对于两组多维观测

30、向量,X,n,1,Y,r,1,记,1,1,1,r,n,r,n,Y,X,Z,当,D,XY,0,时，称,X,与,Y,为,相互独立的观测向量,40,关于互协方差阵的说明,互协方差阵中的元素均为,协方差,互协方差阵,D,XY,于,D,YX,互为,转置,若,D,XY,0,则称,X,与,Y,是相互独立的观测向量,互协方差阵是表征两组观测向量间两两观测值相关程,度的指标,当,X,和,Y,的维数,n=r=1,时，互协方差阵就是,X,关于,Y,的,协方差,41,二、准确度,引例,我们用全站仪测量,AB,两点间的距离，设其真实距离是,观测次数,t,T,L,我们在相同的条件下，进行了两组观测，观测次数都为,n,其中

31、第一组的观,测值分别为,L,1,L,2,L,n,其平均值为,L,第二的观测值分别为,D,1,D,2,D,n,其平均值为,D,测量值,真实长度,T,L,L,1,L,2,L,n,L,第一组结果,观测次数,t,测量值,真实长度,T,L,L,1,L,2,L,n,D,第二组结果,哪组更准确度,X,E,X,准确度,又名准度，指观测值的,真值,与其,数学期望之差,即,42,二、准确度,用某尺测量基线,X,相同观测条件下测了,100,次，求,观测值的系统误差,X,X,E,E,X,X,E,E,E,X,E,X,0,X,E,X,X,E,X,80mm,X,80,84,4,mm,系统误差,4mm,X,X,系统误差,偶然

32、误差,真值,观测值,X,观测值真值,E,X,观测值数学期望,准确度是,E,X,的真误差，即,准,确度,表征了观测结果中,系统误,差,大小的程度,当观测值中不存在系统误差时,0,X,E,X,故,1,85,84,86,84,100,X,mm,L,N,1,2,3,4,5,100,X(mm,85,84,87,87,84,86,43,三、精确度,精确度的衡量指标是,均方误差,观测值,X,的均方误差定义为,精确度,是精度和准确度的合成，指观测结果与其,真值,的接近程度，包括观,测结果与其,数学期望之差,的接近程度、及,数学期望与其真值,的偏差,2,X,X,E,X,MSE,当不含系统误差时,均方误差即是方差

33、,X,E,X,2,2,2,2,2,2,X,X,E,X,X,E,E,X,E,X,E,X,X,E,X,E,X,E,X,X,E,X,MSE,X,即,X,的,均方误差,等于,X,的偶然误差的,方差,加上,准确度的平方,因此，精确,度反映了,偶然误差和系统误差,联合影响的大小程度，当不存在系统误差时,精确度就是精度。精确度是一个,全面衡量观测质量,的指标,反映偶然误差,的,精度,反映系统误差的,准确度,44,三、精确度,2,2,X,X,E,X,MSE,X,反映偶然误差的,精度,反映系统误差的,准确度,用某尺丈量基线,X,相同观测条件下测了,100,次，求,观测值的均方误差,N,1,2,3,4,5,100

34、,X(mm,85,84,87,87,84,86,80mm,X,MSE,X,2,2,2,2,2,1,0,2,4,100,1,X,mm,L,i,i,v,X,X,1,0,3,2,2,i,v,mm,L,2,2,2,2,4,4,20,X,MSE,X,mm,1,85,84,86,84,100,X,mm,L,80,84,4,mm,45,精度,是表示,观测结果,与其,均值（即数学期望,的,接近程度,也可以说是一,个量的重复观测值彼此之间接近或一致程度；描述的是测量水平的高低（重,复观测值之间的离散程度,准确度,是表示,观测结果的均值,与,真值,的偏差,精确度,是表示,观测结果,与其,真值,的接近程度,精度、准

35、确度、精确度三者之间的关系,偶然误差分布离散,偶然误差分布密集,偶然误差分布密集,没有明显的系统误差,精度,低,准确度,高,有明显的系统误差,精度,高,准确度,低,系统误差小,精度,高,准确度,高,即,精确度高,46,内容回顾,一、衡量精度的定量指标,1,极限误差,2,相对误差,3,多维向量的精度指标,方差,协方差针,多维随机向量,X,n,1,X,1,X,2,X,n,T,的方差,协方差阵,2,2,2,2,1,2,2,1,2,1,2,1,1,n,n,n,n,n,X,X,X,X,X,X,X,X,X,X,X,X,X,X,X,n,n,XX,D,对于两组多维观测向量,X,n,1,Y,r,1,其互协方差阵,n,r,T,YX,y,x,y,x,y,x,y,x,y,x,y,x,y,x,y,x,y,x,r,n,XY,D,D,n,n,n,n,n,n,2,1,2,2,2,1,2,1,2,1,1,1,当,D,XY,0,时，称,X,与,Y,为,相互独立的观测向量,二、准确度、精确度,精度、准确度、精确度三者之间的联系与区别,47,2.5,测量不确定度,不确定度是度量不确定性的一种指标,不论测量数据是否服从正态分布，衡量不确定性的基本尺度,仍是,中误差,并称为,标准不确定度,测量数据的,不确定性,是指一种广义的误差，它既包含偶然,误差，又包含系统误差和粗差；也包含数值上和概念上的误差