三角形中位线定理的几种证明方法及教学中需要说明的地方

1、三角形中位线定理的证明及其教学说明口*延长中位线有AD因为OC作则有FCDF-因为使AD因为所以DE1BC2法2所以DE所以DEADCF为平行四边形，有交DE的延长线于F则四边形BCFD是平行四边DE至FCF，所以FC连结CF，则法3:如图所示，延长DE至F,使连接CF、DC、AF ,则四边形BD，那么四边形BCFD为平BD，则四边形BCFD为平行四边形法1：如图所示FC，所以 FC BD形, DF BC1| BC21 BC2AD，那么FC行四边形，DF BC。BC 。青岛第四中学杨瀚书老师 三角形中位线定理的几种证明方法Wa彳A M1申暑IlfIA 1A XlUh &tlflIV Ift*

2、,1法4:如图所示，过点 E作MN / AB，过点A作AM II BC ,则四边形ABNM为平行四边形，易证 AEM CEN，从而点E是MN的中点，易证四边形 ADEM和BDEN都为平行四边形，所以DE=AM=NC=BN , DE / BC，即卩1 BCDE法5:如图所示，过三个顶点分别向中位线作垂线.】、教学说明1、三角形中位线定理的另外一种猜想过程：“二维”转化为“一维”在引导学生探索三角形中位线定理时，由于学生画出中位线后， 就不难直观地发现平行关系，难的是发现数量关系，我联想到在此之前认识线段中点时的一道典 型例题，挖掘它与原有知识的内在联系，从而作如下探索引导。如图，A为线段BC（或

3、线段BC的延长线）上的任意一点，D、E分别是AB、AC 的中点，线段DE与BC有什么关系？图：如果点A不在直线BC上，图形如何变化？上述结论仍然成立吗/图：I说明：学生观察（几何画板制作的）课件演示：当ABC的顶点A运动到直线BJC上时，中位线DE也运动到BC上，这样由“二维”转化为“一维”，学生就不难猜想性质的两方面， 特别是数量关系， 而想到去度量、验证和猜想，水到渠成.I如果教师直接叫学生去度量角度和长度，是强扭的瓜不舌甜.2、教学重点：本课重点是掌握和运用三角形中位线定理第一，要知道中位线定理的作用：可以证明两条直线平行及线段的倍分关 系，计算边长或中位线的长。第二，要知道中位线定理的

4、使用形式，如：A V DE是厶ABC的中位线BDE DE / BC, DE 1 C2BC第三，让学生通过部分题目进行训练，进而掌握和运用三角形中位线定理。题 1 如图 4.11-7, RtAABC, / BAC = 90, D、E 分别为 AB, BC 的中点，点F在CA延长线上，/ FDA = / B. 求证：AF = DE ; (2)若AC = 6, BC= 10,求四边形 AEDF的周长.分析本题是考查知识点较多的综合题，它不但考查应用三角形中位线定理的能力，而且还考查应用直角三角形和平行四边形有关性质的能力。I7(1)要证AF = DE，因为它们刚好是四边形的一组对边，这就启发我们设法

5、证 明AEDF是平行四边形.因为DE是三角形的中位线，所以 DE / AC.又题给条件 / FDA = / B,而在RtAABC中，因AE 是斜边上的中线，故 AE = EB.从而/ EAB =/ B.于是/ EAB = / FDA.故得到AE / DF.所以四边形AEDF为平行四边形.(2)要求四边形 AEDF的周长，关键在于求 AE和DE , AE = 2 BC= 5, DE = 2 AC =3.证明：v D、E分别为AB、BC的中点， DE / AC, 即卩 DE / AFv Rt ABC 中，/ BAC= 90, BE= EC1EA = EB= 2 BC, / EAB = ZB又v/

6、FDA = / B,/ EAB = / FDA EA / DF , AEDF为平行四边形 AF = DE(2) v AC= 6, BC= 10,1 1 DE = 2 AC = 3, AE = 2 BC= 5四边形 AEDF 的周长=2(AE+DE) = 2(3+5) = 16题2如图，在四边形 ABCD中，AB= CD, E、F分别是BC、AD的中点，延 长BA和CD分别与EF的延长线交于 K、H。求证：/ BKE = / CHE.H分析本题考查三角形中位线的构造方法及应用、平行线的性质.由中点想到中位线，又要把结论联系起来，既要使中位线的另一端点处一理想的位置，又使需证明的角转移过来，可考虑

7、，连 BD，找BD中点G，则EG、FG分别为 BCD、A DBA 的中位线，于是得到了解题方法考虑到结论辅助线不要乱作，取中点比作平行线好证明：连BD并取BD的中点G，连FG、GE在厶DAB和厶BCD中VF是AD的中点，E是BC的中点1 1 FG II AB 且 FG = 2 AB，EG / DC 且 EG = 2 DC/ BKE = Z GFE，Z CHE = Z GEFv AB = CD FG= EGZ GFE = Z GEFBKE = Z CHE题3如图，ABCD为等腰梯形， 分别为AO、DO、BC的中点，Z AO60。AB / CD，O 为 AC、BD 的交点，P、R、Q求证： PQR

8、为等边三角形.分析本题考查三角形中位线定理、等边三角形判定方法、直角三角形斜边1中线定理。利用条件可知PR= 2 AD，能否把PQ、RQ与AD(BC)联系起来成为解题 的关键，由于/ AOB = 60 OD = OC,则厶ODC为等边三角形， 再由R为OD 中点，则/ BRC= 90 QR就为斜边BC的中线.证明：连RC,v四边形ABCD为等腰梯形且 AB / DC AD = BC Z ADC = Z BCD又t DC为公共边 ADC BCDZ ACD = Z BDC ODC 为等腰三角形tZ DOC = Z AOB = 60ODC 为等边三角形TR为OD的中点Z ORC= 90=Z DRC（

9、等腰三角形底边上的中线也是底边上的高）1 1TQBC 的中二 RQ 2 BC 2 AD为点=1 1同理 PQ= BC= 2 AD2t P、R分别 AO、OD的中点在厶OAD 为中1 PR= 2 AD PR= PQ= RQ故厶PRQ为等边三角形3、教学难点：本课难点是三角形中位线定理的证明，证明方法的关键在于如何 添加辅助线.教师可以在证明思路上进行引导、启发，避免生硬地将辅助线直接作出来让 学生接受。例如，教师可以启发学生： 要证明一条线段的长等于另一条线段的长 的一半，可将较短的线段延长一倍，或者截取较长的线段的一半。上面的这种辅助线的作法可以概括为“短延长、长截短，这种辅助线的 作法还可以

10、用于证明线段和、差、倍、分等方面。证明线段的和、差、倍、分常用的证明策略：1， 长截短：要证明一条线段等于另外两条线段的和与差，可在长线上截取一 部分等于另两条线段中的一条，然后再证明另一部分等于剩下的一条线段的长。（角也亦然）2，短延长：要证明一条线段等于另外两条线段的和与差，可先延长较短的一条线段，得到两条线段的和，然后再证明其与长的线段相等。（角也这样）3， 加倍法：要证明一条线段等于另一条线段的2倍或1/2，可加倍延长线段,延长后使之为其2倍，再证明与另一条线段相等。（角也这样）4，折半法：要证明一条线段等于另一条线段的2倍或1/2，也可取长线段的中点，再证明其中之一与另一条线段相等。

11、（角也可用）5，代数运算推理法：这种方法是利用代数运算证明线段或角的和、差、倍、分。6，相似三角形及比例线段法：利用相似三角形的性质进行推理论证。题1 （短延长）：如图所示，在正方形 ABCD中，P、Q分别为BC、CD上的点（1）若 PAQ=45。，求证：PB+DQ=PQ。（2）若厶PCQ的周长等于正方形周长的一半，求证： PAQ=45 QBPC证明：（1）延长CB至E,使BE=DQ，连接AET四边形ABCD是正方形ABE= ABC= D=90 , AB=AD在厶ABE和厶ADQ中t AB=AD , ABE= D , BE=DQA B E A D QA EAQ,B AEQ ADP A Q 45 B A PQ A D45 B A PB A E45 ,即E A PP A Q45 AEA , EAPAEPQAQ PEPPQ “BP DEPEB Q即PB在AEP和口 AQ P中A QPAQBP,APAPPQEBPC（2）延长CB至E,使BE=DQ，连接AE由（1） 可 知 ABEADQAEAQ , BAEQADD AQ BAQ BAE BAQ 90 PC Q的周长等于正方形周长的一半PC Q C Q P BC C D-(c _PQ ( BC PC ) D Q C ) BP 在AEP和AQ P中AE AQ , EP PQ , AP APAEP A