利用MATLAB实现黄金分割法求极值问题-北京理工大学-机械优化设计

1、机械优化设计报告（3）利用MATLAB实现黄金分割法求极值问题姓名：XXX学号：XXX（北京理工大学机械与车辆学院车辆工程，北京100081）1. 黄金分割法的基本思想黄金分割法（golden section method是优化方法中的经典算法，以算法简单、 效果显著而著称，是许多优化算法的基础。但它只适用于一维区间a,b上的凸函数。其基本思想是：依照“去坏留好”原则、对称原则以及等比收缩原则，禾 用序列消去原理，通过不断缩小单峰区间长度，即每次迭代都消去一部分无用区 间，使搜索区间不断缩小，来逐步缩小搜索范围，从而不断逼近目标函数极小点 的一种优化方法。该方法对函数没有特殊要求，函数甚至可以

2、是不连续的。在搜索区间a b内必须按下述规则对称地取a1和a2两点： 印=b丨b - aa?亠b-a ,a1和a2将区间分成三段，其中入称为区间收缩率，黄金分割法中 入&618,然后计算插入点的函数值。应用函数的单峰性质， 通过函数值大小的比较，删去其中一段，使搜索区间得以缩小。然后再在保留下 来的区间上作同样的处理，如此迭代下去，是搜索区间无限缩小，从而得到极小 点的数值近似解。黄金分割法程序结构简单，容易理解，但计算效率偏低，较适用于设计变量少的优化问题中的一维搜索2. 迭代过程和算法流程图2.1迭代过程（1）给定区间la,b 1,并输入；（2）计算 al =b 0.618（b-a）, a

3、2 =a 0.618（b-a）；（3）判断b-ag，若成立，则迭代终止，到最后一步（7）;否则，继续;（4）若 f（a1）兰 f（a2），转（5），否则转（6）；（5）令 b=a2，a2 二 al，a1=b-0.618（b-a），转（3）；（6）令 a=a1，al =a2，a2=a+0.618（b-a），转（3）；（7）得出最优解：x*=（a，b）/2， y*=f（x*）。2.2算法流程图黄金分割法的算法流程图如图3-1.2机械优化设计报告(3)图3-1黄金分割法的算法框图3. 利用MATLAB求解实例3.1实例本文以本章课后习题(3.1)为例来练习黄金分割法算法在 MATLAB里的实 现。用

4、黄金分割法求解f(x) = x(x2)的近似极小点x*及f(x*)，a = -3，b = 5， ；=0.01。程序如下：(1) 首先建立函数。建立.m文件，命名为fun_gs.m,文件内容如下:function y=fun_gs(x)y=xA2+2*x;(2) 编写迭代程序主体。建立gs.m文件，内容如下：a=-3;b=5;eps=0.01;n=0;i=100;a1=b-0.618*(b-a);a2=a+0.618*(b-a);y1=fun_gs(a1);y2=fun_gs(a2);for k=1:iif (abs(b-a)=eps) y=fun_gs(b+a)/2); break;elsei

5、f (y1=y2) y2=fun_gs(a1); b=a2;a2=a1;a1= b-0.618*(b-a); y1=fun_gs(a1);elsey仁 fun_gs(a2); a=a1;a仁 a2;a2=a+0.618*(b-a); y2=fun_gs(a2);endn=n+1;endendn;x=(a+b)/2;y;运行程序，结果为：4机械优化设计报告（3）n =14迭代次数C =1.0013极小值点yS-1.0000极小值点的函数值计算结果如图:NameValueMmMax1a-1.0061-l-OOn-1,00.al-1.0025-l.OOub-l.DO.b.a2-1.0002-l.OO

6、nf*1,00.1ans-1.0000-1.00.1.00.b-0.9966-0.99.-0,99.eps0.01000.01000.0100i1001001001k151515n141414X4.0013-1.00.,y-1.0000-l.OOubJ,00 yi-1.0000-1,00.疋-1.0000l.DO.jb-l.DO.b.图3-2计算结果（: =0.01）3.2实例结果分析2b 2f (x) = x(x 2) = x 2x的最小值为x = - = -1时取得，此时有2a 2y - -1 o从上述计算结果可以看出，利用 MATLAB实现的黄金分割法，通过14次 迭代可以满足收敛精度要

7、求，并且计算结果和理论结果基本一致，误差为: = （-1.0013） -（-1） =0.0013，即求得了函数的全局最优解。当；=0.001时，即收敛精度缩小为原来1/10，此时再进行一次迭代求解，计算结果如图3-3:1洌雷蝕骑晒Stack:*EP No valid plots fon rr寸Name *ValueMinMaxa-1.000631-1,0002-lrOO+.h-L00,a21.0000-1.00.a ns-1.0000-100+ih-IhOO-hb0.9997-0.99.-0.99.eps1.00006-031.000.,-1000.|i1100100100Ik202020SI191919X-1.0001-1.00 uh-100.y1,0000*100.,yi丄 GOOD-LiOObdb1*00.“y21,0000-LOOu-100.,.图3-3计算结果（；=0.001）迭代次数增加到19次，最优点x-1.0001，厶=（-1.0001）-（-1） =0.0001可见计算精度进一步提高，更加接近理论