直线方程计算有详解

1、直线方程训练 一解答题（共30小题）垂直的直线方程是 _ ）且与直线2x+y1=0 1（2014?宁波模拟）过点P（2，3 2（1977?北京）求过两直线x+y7=0和3xy1=0的交点且过（1，1）点的直线方程 3（1977?北京）一条直线过点（1，3），并且与直线2x+y5=0平行，求这条直线的方程 4ABC中，已知点A（3，1）和点B（10，5），B的平分线所在直线方程为x4y+10=0，求BC边所在直线的方程 5设过点P（2，1）的直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于点A、B，O为坐标原点，且AOB的面积，求直线l的斜率k的取值范围 6已知直线l的倾斜角为120，并且直线l过点（3，2）

2、，求直线l的方程 7求过点P（0，1）的直线l，使它包含在两已知直线l：2x+y8=0和l：x3y+10=0间的线段被点P平分 21 8已知直线l的斜率为2，且直线过（1，3）点，求直线l与坐标轴的交点坐标 9求过点A（1，1）、点B（3，1）的直线方程 10一条直线经过点A（2，3），并且它的斜率等于直线y=x的斜率的2倍，求这条直线的方程 11已知点m是直线l：xy+3=0与x轴的交点，将直线l绕点m旋转30，求所得到的直线l的方程 12如图，在ABC中，已知A（5，2）、B（7，3），且AC边的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，求这个三角形三边所在直线的方程 13已知A（3，3），B

3、（4，2），C（0，2） （1）求直线AB和AC的斜率； （2）若点D在线段BC上（包括端点）移动，求直线AD的斜率的变化范围 14一条直线过点A（3，2），且横截距与纵截距绝对值相等，求该直线的方程 15求经过点（4，3）且在坐标轴上截距相等的直线方程 ，并说明理由5，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为l）的直线4，5是否存在过点（16. 17一直线与两坐标围成的三角形的面积为4，且斜率为2，求该直线方程 18已知直线l在x轴和y轴上的截距分别为9和9 （1）写出直线l的方程； （2）在l上求一点P，使P到点F（3，0）、F（3，0）的距离之和最小，并求这最小值 21 19求与直线4x3y+

4、5=0垂直，且与坐标轴围成三角形的面积为24的直线方程 20已知直线l过点P（6，3），且它在x轴上的截距是它在y轴上的截距的3倍，求直线l的方程 21已知点A（3，4），求满足下列条件的直线方程l，经过点A且在两坐标轴上截距相等 22已知直线l方程为y=2x2 （1）求直线l分别与x轴、y轴的交点A、B的坐标； （2）若点C（2，2），求ABC的面积 23已知直线Ax+By+C=0的斜率为5，且A3B+3C=0，求此直线的一般式方程 24已知直线l：5ax5ya+3=0 （1）证明：不论a为何值，直线l总经过第一象限； （2）若直线l不经过第二象限，求a的范围 25已知x，y满足直线l：x+

5、2y=6 （1）求原点O关于直线l的对称点P的坐标； （2）当x（1，3时，求k=的取值范围 26根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： （1）斜率为，并且经过点A（5，3）； （2）过点B（3，0），且垂直于x轴 27如果直线l经过点（3，4）且点（3，2）到直线l的距离最大，求这条直线的方程 28已知两直线l：axby+4=0，l：2x+y+2=0，求满足直线l与l平行且直线l过点（1，1）时a、b的值 21122 29当k为何值时，直线3x（k+2）y+k+5=0与直线kx+（2k3）y+2=0： （1）相交； （2）垂直； （3）平行； （4）重合 30已知直线l：（m+1

6、）x（ma）y+2=0，直线l：3x+my1=0，且ll，求实数m的值 2211 ;. . 参考答案与试题解析 一解答题（共30小题） 1（2014?宁波模拟）过点P（2，3）且与直线2x+y1=0垂直的直线方程是 x2y+4=0 考点： 直线的一般式方程与直线的垂直关系 专题： 直线与圆 分析：垂直的直1=02x+y，3）且与直线l：l2x+y1=0垂直的直线的斜率k=，由此能求出过点P（2与直线 线方程 解答： ，垂直的直线的斜率k=l：2x+y1=0解：与直线 垂直的直线方程为：1=0）与直线l：2x+y过点P（2，3 2y+4=02），整理，得xy3=（x 2y+4=0故答案为：x 本

7、题考查直线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化点评： 1）点的直线方程1=0的交点且过（1，7=0和3xy?2（1977北京）求过两直线x+y 直线的一般式方程考点： 计算题专题： 1=0的交点坐标，两点式写出直线方程，将它化为一般式y 求出两直线x+y7=0和3x分析： x=2，y=53xy1=0联立方程组并解得：7=0解答： 解：由x+y和 ）1，1直线过点（2，5）和（ ，所求的直线方程为 y3=0即：4x 本题考查用两点式求直线方程点评： 平行，求这条直线的方程5=03），并且与直线2x+y13（1977?北京）一条直线过点（， 直线的一般式方程与直线的平行关

8、系： 考点 计算题专题： ），用点斜式求直线方程平行的直线的斜率，再根据其过点（1，3分析： 先求与直线2x+y5=0 2，的斜率k= 解：直线2x+y5=0解答： =2所求直线斜率k ，1）2y+3=（x故过点（1，3）且与已知直线平行的直线为 即2x+y+1=0 本题考查直线的平行关系，直线的点斜式方程，是基础题点评： 边所在直BC4y+10=0，求），B的平分线所在直线方程为x，）和点（4ABC中，已知点A3，1B（105 线的方程 直线的点斜式方程考点： 直线与圆专题：的斜率，可的坐标可得直线ABCyx的对称点由题意可得关于直线分析： x4y+10=0A（，）在直线上，求BC;. .

9、得点斜式方程，化为一般式即可 解答： 解：设A关于直线x4y+10=0的对称点A（x，y） 则可得4+10=0，且?=1， 解得x=1，y=7，即A（1，7） 由对称性知A在BC边所在直线上， 直线BC的斜率k= 故直线BC的点斜式方程为：y5=（x10） 化为一般式可得：2x+9y65=0 点评： 本题考查直线的方程的求解，涉及对称点的求解，属基础题 设过点P（2，1）的直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于点A、B，5O为坐标原点，且AOB的面积，求直线l的斜率k的取值范围 考点： 直线的点斜式方程 专题： 直线与圆 分析： 先设直线的斜率为k，得到直线方程，分别求出OA，OB的长，再表示出面

10、积，得到关于k的不等式，解得即可 解答： 解：设直线的斜率为k，因为直线与x轴y轴正半轴分别相交，所以k0， 因为经过点P（2，1），则直线I的方程为y1=k（x2）整理得：kxy+12k=0， 当x=0时，y=|OB|=12k0，当y=0时，x=|OA|=20， =|0B|0A|=（12k）（2） S所以AOB 因为AOB的面积大于， 所以（12k）（2）9， 24k+14k+10， 解得k，或k0， ）（，0）， 故直线l的斜率k的取值范围（，点评： 本题主要考查了直线方程和，基本不等式的解法，属于基础题 6已知直线l的倾斜角为120，并且直线l过点（3，2），求直线l的方程 考点： 直线

11、的点斜式方程 专题： 直线与圆 分析： 由直线的倾斜角求出斜率，用点斜式写出直线方程即可 解答： 解：直线l的倾斜角为120， 直线的斜率为k=tan120=， 又直线l过点（3，2）， 直线l的方程为 y+2=（x+3）， 即x+y+2+3=0 ;. . 点评： 本题考查了求直线方程的问题，由直线的倾斜角可以得斜率，由斜率与一点可以写出直线方程，是基础题 7求过点P（0，1）的直线l，使它包含在两已知直线l：2x+y8=0和l：x3y+10=0间的线段被点P平分 21 考点： 直线的点斜式方程 专题： 直线与圆 分析： 根据题意，设出直线l上的一点P，求出P关于点P的对称点P；由P在直线l上

12、，求出点P，即得所1211221求的直线方程 解答： 解：根据题意，直线l：2x+y8=0可化为 1y=2x+8； 设直线l上的一点P（x，2x+8）， 1111则P关于点P的对称点是P（x，2（2x+8）； 1112P在直线l：x3y+10=0上， 22即x3（2x6）+10=0， 11解得x=4， 1y=0； 1 所求的直线方程是+y=1，即x+4y4=0 点评： 本题考查了求直线方程的问题，解题时应根据题意，挖掘解题条件，利用对称关系，求出所求直线上的另一点，是易错题 8已知直线l的斜率为2，且直线过（1，3）点，求直线l与坐标轴的交点坐标 考点： 直线的点斜式方程 专题： 直线与圆 分

13、析： 由于直线l的斜率为2，且直线过（1，3）点，利用点斜式即可得到可得直线l的方程分别令x=0，y=0，即可得到直线l与坐标轴的交点坐标 解答： 解：直线l的斜率为2，且直线过（1，3）点， 直线l的方程为：y3=2（x+1），化为2xy+5=0 令x=0，得到y=5；令y=0，得到x= 因此直线l与坐标轴的交点坐标分别为（0，5）， 点评： 本题考查了直线的点斜式方程及直线与坐标轴的交点坐标，属于基础题 9求过点A（1，1）、点B（3，1）的直线方程 直线的两点式方程考点： 直线与圆 专题： 求出斜率，利用点斜式即可得出分析： 解答： =1 =解：kAB ， 直线的方程为 化为+y1=0

14、点评： 本题考查了直线的点斜式方程，属于基础题 10一条直线经过点A（2，3），并且它的斜率等于直线y= 倍，求这条直线的方程2的斜率的x;. . 考点： 直线的点斜式方程 专题： 直线与圆 分析： 由题意易得直线的斜率，进而可得点斜式方程，化为一般式即可 解答： 解：直线y=x的斜率为， 所求直线的斜率为， （x2）， 直线的点斜式方程为y+3= 化为一般式可得2xy43=0 点评： 本题考查直线的点斜式方程，属基础题 11已知点m是直线l：xy+3=0与x轴的交点，将直线l绕点m旋转30，求所得到的直线l的方程 考点： 直线的点斜式方程 专题： 直线与圆 分析： 求出直线l与x轴的交点M的

15、坐标，然后分l顺时针和逆时针旋转求出直线l的倾斜角，再进一步分析斜率的情况，斜率不存在时直接写出直线方程，斜率存在时由直线方程的点斜式求得直线方程 解答： 解：在方程xy+3=0中，取y=0，得x= M（）， 直线xy+3=0的斜率为，则其倾斜角为60， 直线l绕点M旋转30，若是逆时针，则直线l的倾斜角为90， 直线l的方程为x=； 若是顺时针，则直线l的倾斜角为30， 直线l的斜率为， （x+），即x 直线l的方程为y0=点评： 本题考查了直线方程的点斜式，考查了直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题 12如图，在ABC中，已知A（5，2）、B（7，3），且AC边的中点M在y轴上，BC的中点N

16、在x轴上，求这个三角形三边所在直线的方程 考点： 直线的两点式方程 专题： 直线与圆 分析： 设出M，N，C的坐标，由中点坐标公式求得C点坐标，然后直接利用直线方程的两点式求得三角形ABC三边所在直线的方程 解答： 解：设：M（0，a），N（b，0），C（m，n）， A（5，2）、B（7，3）， 又M是AC的中点， 5+m=0，m=5， ;. . N是BC的中点， 3+n=0，n=3 C点坐标为（5，3）， 由直线方程的两点式得AB边所在直线方程为：， 29=0；整理得：5x2y AC边所在直线方程为：， ；x10y25=0整理得： BC边所在直线方程为：，整理得：x2y1=0 点评： 本题考

17、查直线方程的两点式，考查中点坐标公式的应用，是基础题 13已知A（3，3），B（4，2），C（0，2） （1）求直线AB和AC的斜率； （2）若点D在线段BC上（包括端点）移动，求直线AD的斜率的变化范围 考点： 直线的两点式方程；直线的斜率 专题： 直线与圆 分析： （1）根据两点坐标求出直线l的斜率即可； （2）画出图形，根据图形得出直线CD的斜率k满足kkk；求出k，k即可 CBCAACAB 解答： 解：直线AB的斜率为：， 直线AC的斜率为：； （2）点D在线段BC上（包括端点）移动， 又 ， 点评： 此题考查学生会根据两点坐标求过两点直线的斜率，直线的斜率的问题，解题时应画出图形，结

18、合图形，得出结论，从而解答问题 14一条直线过点A（3，2），且横截距与纵截距绝对值相等，求该直线的方程 ;. . 考点： 直线的截距式方程 专题： 直线与圆 分析： 分类讨论：当直线l过原点时满足条件，即可得直线l的方程当直线l的截距不为0时，可设直线l的方 程为再利用已知可得解得即可 解答：解：当直线l过原点时满足条件，k=，此时可得直线l的方程为： 当直线l的截距不为0时，可设直线 l的方程为 把点A（3，2）代入可得： 又|a|=|b|，联立解得或 可知直线l的方程分别为：x+y=1，xy=5 综上可知：直线l的方程为：，x+y=1，xy=5 点评： 本题考查了直线的截距式方程、分类讨

19、论思想方法，属于基础题 15求经过点（4，3）且在坐标轴上截距相等的直线方程 考点： 直线的截距式方程 专题： 直线与圆 分析： 分直线过原点和不过原点设出直线方程，然后把点（4，3）代入直线方程，求出斜率后直线方程可求 解答： 解：当直线过原点时，设方程为y=kx，因为直线过点（4，3）， 则3=4k，所以k=，则直线方程为y=x，即3x+4y=0； 当直线l不过原点时，设直线方程为x+y=a， 则43=a，所以a=1直线方程为x+y1=0 故答案为：3x+4y=0或x+y1=0 点评： 本题考查了直线的截距式方程，考查了分类讨论的数学思想方法，是基础题 16是否存在过点（5，4）的直线l，

20、使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5，并说明理由 考点： 直线的截距式方程；三角形的面积公式 专题： 直线与圆 分析： 假设存在过点（5，4）的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5，设直线l的方程为：， 则由于=5，化为|ab|=10联立解得即可 解答： 解：假设存在过点（5，4）的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5， 设直线l的方程为：，则即 =5，化为|ab|=10 联立，或 ;. . 直线l的方程为：或 点评： 本题考查了直线的截距式、三角形的面积计算公式，属于基础题 17一直线与两坐标围成的三角形的面积为4，且斜率为2，求该直线方程 考点： 直线的截距式方程 专题：

21、直线与圆 分析： 设直线方程为y=2x+b，分别求出与坐标轴的交点，利用三角形的面积即可求出b 解答： 解：直线的斜率为2， 设直线方程为y=2x+b，（b0） 时，y=b，当y=0时，x= 当x=0 ，S= 则三角形的面积2=16， 即bb=4， 即该直线方程为y=2x4 点评： 本题主要考查直线方程的求解，利用待定系数法是解决本题的关键，比较基础 18已知直线l在x轴和y轴上的截距分别为9和9 （1）写出直线l的方程； （2）在l上求一点P，使P到点F（3，0）、F（3，0）的距离之和最小，并求这最小值 21 考点： 直线的截距式方程 专题： 计算题；作图题；直线与圆 分析： （1）由截距

22、式方程写出直线方程化简即可； ）关于直线xy+9=0的对称点，则|F|即是使P到点F（3，a（2）设（，b）是点F（300）、121F（3，0）的距离之和最小时的最小值求解即可 2解答： 解：（1）由截距式方程可得， +=1， 则直线l的方程为：xy+9=0； （2）作图如右图， 设（a，b）是点F（3，0）关于直线xy+9=0的对称点， 1 则， 解得，a=9，b=6； 直线F的方程为x+2y3=0， 2 则由解得， P（5，4）， 即此时P到点F（3，0）、F（3，0）的距离之和最小， 21;. . |=6|F最小值为 2 点评： 本题考查了直线的方程的求法及距离的问题，属于基础题 19求

23、与直线4x3y+5=0垂直，且与坐标轴围成三角形的面积为24的直线方程 考点： 直线的截距式方程 专题： 直线与圆 分析：3x+4y+m=0，求出与两个坐标轴的交点分别为（0，3y+5=0垂直的直线为），设与直线4x 再利用三角形的面积计算公式即可得出 解答： 解：设与直线4x3y+5=0垂直的直线为3x+4y+m=0， ，），与两个坐标轴的交点分别为（0 =24，解得m=24 要求的直线为：3x+4y24=0 点评： 本题考查了相互垂直的两条直线斜率之间的关系、三角形的面积计算公式，属于基础题 20已知直线l过点P（6，3），且它在x轴上的截距是它在y轴上的截距的3倍，求直线l的方程 考点：

24、 直线的截距式方程 专题： 直线与圆 分析： 根据直线截距关系，利用待定系数法即可得到结论 解答： 解：若直线经过原点，则设直线方程为y=kx， 直线l过点P（6，3），3k=6，解得k=2，此时方程为y=2x， 若直线不经过原点，则设方程为， ， 6，3（将点P）代入，得 ，即x+3y此时直线方程为3=0， 故求得直线方程是y=2x或x+3y3=0 点评： 本题考查直线的截距式方程，涉及分类讨论的思想，属基础题 ;. . 21已知点A（3，4），求满足下列条件的直线方程l，经过点A且在两坐标轴上截距相等 考点： 直线的截距式方程 专题： 直线与圆 分析： 当过O（0，0）时，+=1，x+y=

25、a，运用点（3，4）求解即可 解答： 解：当过O（0，0）时， 两坐标轴上截距为0，k=， 直线方程l：y=x， +=1，x+y=a， 过点A（3，4）， 3+4=a，a=7， 直线方程l：x+y=7， 综上：直线方程l：x+y=7或y=x 点评： 本题考查了直线的方程的形式，注意截距式的限制条件，属于容易题 22已知直线l方程为y=2x2 （1）求直线l分别与x轴、y轴的交点A、B的坐标； （2）若点C（2，2），求ABC的面积 考点： 直线的截距式方程 专题： 直线与圆 分析： （1）直线l方程为y=2x2?直线l与x轴的交点A的坐标为（1，0），与y轴的交点B的坐标为（0，2）； （2）

26、设点C（2，2）到直线l：y=2x2的距离为d，利用两点间的距离公式与点到直线间的距离公式可求得|AB|与d，从而可得ABC的面积 解答： 解：（1）直线l方程为y=2x2， 当y=0时，x=1，即直线l与x轴的交点A的坐标为（1，0）； 当x=0时，y=2，直线l与y轴的交点B的坐标为（0，2）； （2）设点C（2，2）到直线l：y=2x2的距离为d，则d=， 又|AB|=， S =4=|AB|d=ABC点评： 本题考查直线的截距式方程，考查两点间的距离公式与点到直线间的距离公式、三角形面积公式的综合应用，属于中档题 23已知直线Ax+By+C=0的斜率为5，且A3B+3C=0，求此直线的一

27、般式方程 考点： 直线的一般式方程 专题： 直线与圆 分析： 由已知中直线Ax+By+C=0的斜率为5，可得A=5B，不仿令B=3，进而结合A3B+3C=0，求出A，C的值，可得直线的一般式方程 ;. . 解答： 解：直线Ax+By+C=0的斜率=5， A=5B， 令B=3，则A=15， 又A3B+3C=0， 解得：C=8， 故直线的一般式方程为15x3y8=0 点评： 本题考查的知识点是直线的一般式方程，其中正确理解直线一般式的斜率为，是解答的关键 24已知直线l：5ax5ya+3=0 （1）证明：不论a为何值，直线l总经过第一象限； （2）若直线l不经过第二象限，求a的范围 考点： 直线的

28、一般式方程 专题： 数形结合；直线与圆 分析： （1）只需证明不论a为何值，直线l总过第一象限的点即可； （2）根据题意，画出图形，结合图形，即可求出直线l不经过第二象限时a的取值范围 解答： 解：（1）证明：直线l为5ax5ya+3=0， 即a（5x1）+（5y+3）=0； ， 解得； 不论a为何值，直线l总过第一象限的点（，）， 即直线l过第一象限； （2）根据题意，画出图形，如图所示，； 直线l不经过第二象限，a+30，即a3； l的斜率a满足a3； a的取值范围是a|a3 点评： 本题考查了直线方程的应用问题，解题时应用直线恒过定点的问题，数形结合思想求直线的斜率取值范围等知识，是基础

29、题 25已知x，y满足直线l：x+2y=6 （1）求原点O关于直线l的对称点P的坐标； ;. . （2）当x（1，3时，求k=的取值范围 考点： 直线的一般式方程 专题： 直线与圆 分析： （1）根据点的对称即可求原点O关于直线l的对称点P的坐标； （2）根据斜率的几何意义即可，求k=的取值范围 解答： 解：（1）设原点O关于直线l的对称点P的坐标为（a，b）， 则满足，解得a=，b=，故P（，） （2）当x（1，3时，k=的几何意义为到点C（1，1）的斜率的取值范围 ），3由图象可得A（， 则AC的斜率k=， 则k 点评： 本题主要考查点关于直线的对称以及直线斜率的求解，比较基础 26根据下

30、列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： （1）斜率为，并且经过点A（5，3）； （2）过点B（3，0），且垂直于x轴 考点： 直线的一般式方程 专题： 直线与圆 分析： （1）易得直线的点斜式方程，化为一般式可得； （2）可得直线无斜率，方程为x=3，化为一般式可得 解答： 解：（1）直线的斜率为，并且经过点A（5，3）， 直线的点斜式方程为y3=（x5）， 化为一般式可得xy+35=0； （2）直线过点B（3，0），且垂直于x轴， 直线无斜率，即方程为x=3， 化为一般式可得x+3=0 点评： 本题考查直线的一般式方程，属基础题 27如果直线l经过点（3，4）且点（3，2）到直线l的距离最大，求这条直线的方程 ;. . 考点： 直线的一般式方程 专题： 直线与圆 分析： 可知当直线l与点（3，4）和点（3，2）的连线垂直时点（3，2）到直线l的距离最大，易得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可 解答： 解：当直线l与点（3，4）和点（3，2）的连线垂直时点（3，2）到直线l的距离最大， 由斜率公式可得点（3，4）和点（3，2）的连线的斜率为=， ），3（x3直线l的斜率为3，l的方程为y4=13=0 3x+y化为一般式可得 本题考查直线的一般式方程，涉及垂直关系，属基础题点评： 28已知两直线l：axby+4=0，l：2x+y+