第6讲 静态电磁场分析

1、第六讲,静态电磁场分析,第六讲,静态电磁场分析,第六讲,静态电磁场分析,分类认识静态电磁场问题,静态电场,按场的类型,静态磁场,?,按电荷静止或运动情况分类,静电场,恒定电流场,静止,=0,0,J,?,?,?,?,匀速运动,有限,0,J,?,?,?,?,一、静电场分析,第六讲,静态电磁场分析,一、静电场分析,1,、静电场的基本方程和边界条件,?,边界条件,（一般性问题）,边界,0,D,E,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,微分形式：,D,E,?,?,?,?,?,本构关系,环境,?,基本方程（,一般性问题,）,源,n,1,2,n,1,2,(,),(,),0,S,e,D,D,

2、e,E,E,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,d,d,0,S,C,D,S,q,E,l,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,积分形式：,1n,2n,1t,2t,0,S,D,D,E,E,?,?,?,?,?,?,?,?,或,第六讲,静态电磁场分析,一、静电场分析,2,、静电场问题的分析求解方法,?,方法一：场源积分法,(,),r,?,?,?,V,y,x,z,o,r,?,?,i,V,?,?,r,?,M,3,0,1,(,),(,),d,4,V,r,R,E,r,V,R,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,3,0,(,),1,(,),

3、d,4,S,S,r,R,E,r,S,R,?,?,?,?,?,?,?,?,?,3,0,(,),1,(,),d,4,l,C,r,R,E,r,l,R,?,?,?,?,?,?,?,?,?,体电荷：,面电荷：,线电荷：,方法缺点：,1,、难以得到解析解；,2,、只适用于无界空间静电问题（不含边界条件）。,不常用！,第六讲,静态电磁场分析,一、静电场分析,?,方法二：应用静电场的高斯定理,0,0,1,(,),(,),S,V,Q,E,r,dS,r,dV,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,方法要求：存在闭合积分曲面,(,高斯面,),，在整个或者分段高斯,面上，,或,为恒定值。,E,?,E,d

4、S,?,?,?,方法优点：可以得到静电问题的解析解。,方法缺点：只适用于电荷分布呈,对称,分布（球对称、轴对称、,面对称）的静电问题求解。,常用！,2,、静电场问题的分析求解方法,第六讲,静态电磁场分析,一、静电场分析,?,方法三：间接求解方法,0,E,?,?,?,?,0,?,?,?,E,?,?,?,?,?,?,?,?,电位函数,l,e,l,?,?,?,?,?,?,?,?,电位函数与电场关系：,A,B,E,?,d,E,dl,?,?,?,?,?,?,?,方法优点：将求矢量函数的问题转化为求标量函数的问题,d,E,l,?,?,?,?,?,?,?,2,、静电场问题的分析求解方法,第六讲,静态电磁场分

5、析,静电场分析典型例题,【例,1,】,在无限大真空中，已知电位,，求对应的电,场强度及电荷分布。,E,?,?,?,?,解,:,电场强度为,在,处，电荷密度,/,0,(,),4,r,q,r,e,r,?,?,?,?,?,?,/,/,2,0,0,1,1,(,),(,),4,4,r,r,r,r,d,q,q,e,e,e,e,dr,r,r,r,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,0,r,?,0,E,?,?,?,?,?,?,2,0,2,1,(,),r,E,r,?,?,?,/,0,2,0,1,(1,),4,r,d,q,r,e,r,dr,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,/,2

6、,4,r,q,e,r,?,?,?,?,?,为了确定在,处是否存在点电荷，做一半径为,的高,斯球面。则由高斯定理，可求得高斯面内包围总电荷为,0,r,?,0,r,第六讲,静态电磁场分析,静电场分析典型例题,（续上例）,而在球面内的体分布电荷,为,Q,0,s,Q,E,dS,?,?,?,?,?,?,?,0,/,0,2,0,0,0,1,1,(,),4,r,s,q,e,dS,r,r,?,?,?,?,?,?,?,?,?,0,/,2,0,2,0,0,1,1,(,),4,4,r,q,e,r,r,r,?,?,?,?,?,?,?,?,0,/,0,(1,),r,r,q,e,?,?,?,?,?,/,2,4,r,V,q

7、,Q,e,dV,r,?,?,?,?,?,?,0,/,2,2,0,4,4,r,r,q,e,r,dr,r,?,?,?,?,?,?,?,0,/,2,0,r,r,q,re,dr,?,?,?,?,?,?,0,/,0,(1,),r,r,q,e,q,?,?,?,?,?,?,则在,处的电荷量为,0,r,?,Q,Q,q,?,?,第六讲,静态电磁场分析,【例,2,】,两块无限大接地导体板如图放置，在两导体板间放置一面密度,为,的均匀面电荷分布。求导体板间的电位及电场。,解一：,极板间电荷满足一维拉普拉斯方程,x,y,b,0,S,?,1,(,),x,?,2,(,),x,?,O,a,2,1,2,2,2,2,(,),0

8、,(0,),(,),0,(,),d,x,x,b,dx,d,x,b,x,a,dx,?,?,?,?,?,?,?,?,1,1,1,2,2,2,(,),(,),x,c,x,d,x,c,x,d,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,由电位边界条件：,1,2,0,0,0,x,x,a,?,?,?,?,?,?,0,2,1,0,(,),(,),S,x,b,x,x,x,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,2,x,b,x,b,?,?,?,?,?,0,s,?,静电场分析典型例题,第六讲,静态电磁场分析,（续上例）故有：,1,2,2,0,1,1,2,2,2,1,0,0,0,S,d,c,a,d,c,

9、b,d,c,b,d,c,c,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,解以上四式，最终可得：,0,1,0,0,2,0,(,),(,),0,(,),(,),S,S,a,b,x,x,x,b,a,b,x,a,x,b,x,a,a,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,0,1,1,0,0,2,2,0,(,),(,),(,),0,(,),(,),S,x,S,x,a,b,E,x,x,e,x,b,a,b,E,x,x,e,b,x,a,a,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,静电场分析典

10、型例题,第六讲,静态电磁场分析,x,y,b,0,S,?,1,(,),x,?,2,(,),x,?,O,a,解二：,由于电荷为无限大面电荷，故电场方向始终指向,x,方向，且电,场均匀分布。,1,1,2,2,x,x,E,e,E,E,e,E,?,?,?,?,?,?,由高斯定理有：,0,2,1,0,S,x,E,E,?,?,?,?,由电位关系有：,1,2,(,),x,x,E,b,E,a,b,?,?,?,0,1,0,0,2,0,(,),(,),0,(,),S,x,S,x,a,b,E,x,e,x,b,a,b,E,x,e,b,x,a,a,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?

11、,?,?,?,?,?,0,0,1,1,0,0,2,2,0,(,),(,),0,(,),(,),S,x,a,S,x,a,b,x,E,dx,x,x,b,a,b,x,E,dx,a,x,b,x,a,a,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,静电场分析典型例题,设极板间电场强度分别为,，则,第六讲,静态电磁场分析,由边界条件知在边界两边,连续。,E,?,解：,设同轴线内导体单位长度带电量为,Q,。,S,D,dS,Q,?,?,?,?,?,?,1,1,0,(2,),r,E,r,E,Q,?,?,?,?,?,?,?,?,?

12、,1,1,0,(2,),r,Q,E,e,r,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,1,0,ln,(2,),b,a,Q,b,U,E,dr,a,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,【例,3,】,同轴线内外导体半径分别为,a,b,，导体间部分填充介质，介质,介电常数为,，如图所示。已知内外导体间电压为,U,。,?,求：,1),导体间单位长度内的电场能量,2),内外导体间电容。,1,1,0,(2,),ln,ln,U,Q,b,a,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,(ln,ln,),r,U,E,e,b,a,r,?,?,?,?,?,a,b,0,?,?,1,?,静电场分析典

13、型例题,第六讲,静态电磁场分析,1,2,2,2,1,0,1,1,1,2,2,e,V,V,W,E,dV,E,dV,?,?,?,?,?,?,2,2,1,0,1,2,2,2,2,1,1,1,1,(2,),2,(ln,ln,),2,(ln,ln,),b,b,a,a,U,U,rdr,rdr,b,a,r,b,a,r,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,1,1,0,1,(2,),2,(ln,ln,),U,b,a,?,?,?,?,?,?,?,?,?,(,续上例）两种方法求电场能量：,或应用导体系统能量求解公式,1,2,e,i,i,i,W,qU,?,?,1,2,e,W,QU,?,?,1,

14、1,0,(2,),ln,ln,U,Q,b,a,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,1,1,0,1,(2,),2,(ln,ln,),U,b,a,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,1,0,(2,),ln,ln,Q,C,U,b,a,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,静电场分析典型例题,第六讲,静态电磁场分析,【例,4,】,导体球壳，内径为,b,，外径为,c,，球壳球心为半径为,a,导体球，导,体球带电量,Q,，外导体接地。中间充满两种介质，介电系数分别为,1,和,2,，介质分界面如图所示。,求：（,1,）空间场分布,E(r),；,（,2,）空间电位分布；,（,3,）自由电荷分布；,（

15、,4,）系统电场能量,;,(5),内外导体间电容。,Q,c,b,a,1,?,2,?,解：,由边界条件知，,连续。,E,?,（,1,）,ra,，该区域为导体空间，故：,=0,；,E,?,arb,，由高斯定理有,S,D,dS,Q,?,?,?,?,?,?,2,1,2,2,(,),r,E,Q,?,?,?,?,?,?,2,1,2,2,(,),r,Q,E,e,r,?,?,?,?,?,?,?,?,1,1,1,2,1,2,2,(,),r,Q,D,E,e,r,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,2,2,2,1,2,2,(,),r,Q,D,E,e,r,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,静电场

16、分析典型例题,第六讲,静态电磁场分析,（续上例）,Q,c,b,a,1,?,2,?,静电场分析典型例题,brc,，该区域为导体空间，故：,=0,；,E,?,rc,，,0,E,?,?,（,2,）求电位分布。,b,r,E,dr,?,?,?,?,?,?,1,2,1,1,(,),2,(,),Q,r,b,?,?,?,?,?,?,1,2,1,1,(,),2,(,),Q,a,b,?,?,?,?,?,?,?,2,1,2,2,(,),b,r,Q,dr,r,?,?,?,?,?,?,arb,，,r,a,?,内导体表面上自由电荷面密度为,（,3,）求电荷分布。电荷分布于导体表面。,1,1,1,2,1,2,2,(,),a

17、,r,r,a,q,a,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,e,E,2,2,2,2,1,2,2,(,),a,r,r,a,q,a,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,e,E,第六讲,静态电磁场分析,（续上例）,Q,c,b,a,1,?,2,?,静电场分析典型例题,外导体的内表面上自由电荷面密度为,1,1,1,2,1,2,2,(,),b,r,r,b,q,b,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,e,E,2,2,2,2,1,2,2,(,),b,r,r,b,q,b,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,e,E,（,4,）总电场能量

18、为,2,1,2,1,2,1,1,(,),2,8,(,),e,Q,W,QU,a,b,?,?,?,?,?,?,?,（,5,）求电容。内外导体间电位差为,a,b,E,dr,?,?,?,?,?,?,1,2,1,1,(,),2,(,),Q,a,b,?,?,?,?,?,?,1,2,2,(,),ab,Q,C,U,b,a,?,?,?,?,?,?,?,第六讲,静态电磁场分析,课外练习题,提示：填充介质前后，基板上带电量不变。,第六讲,静态电磁场分析,分类认识静态电磁场问题,静态电场,按场的类型,静态磁场,?,按电荷静止或运动情况分类,静电场,恒定电流场,静止,=0,0,J,?,?,?,?,匀速运动,有限,0,J

19、,?,?,?,?,二、恒定电流场分析,第六讲,静态电磁场分析,二、恒定电流场分析,?,边界条件,（一般性问题）,边界,0,0,J,E,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,微分形式：,D,E,?,?,?,?,?,本构关系环境,?,基本方程（,一般性问题,）源,n,1,2,n,1,2,(,),0,(,),0,e,J,J,e,E,E,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,d,0,d,0,S,C,J,S,E,l,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,积分形式：,1n,2n,1t,2t,0,0,J,J,E,E,?,?,?,?,?

20、,?,?,或,1,、恒定电场的基本方程和边界条件,?,基本物理量,E,J,?,?,J,E,?,?,?,?,1n,2n,(,),S,D,D,?,?,?,第六讲,静态电磁场分析,二、恒定电流场分析,2,、恒定电场的分析求解方法,（,1,）利用欧姆定律（导电媒质的本构关系）表示出电场强度,?,基于电流,求解恒定电场的方法,（,2,）用已知量（通常是激励电压）表示出未知量,J,E,?,?,?,?,d,Q,P,U,E,l,?,?,?,?,?,第六讲,静态电磁场分析,二、恒定电流场分析,2,、恒定电场的分析求解方法,?,基于电位,求解恒定电场的方法,电位函数满足,Laplace,方程,1,2,1,2,1,

21、2,n,n,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,恒定电场中电位的边界条件,2,0,?,?,?,1,2,1,2,(,),s,n,n,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1t,2t,1n,2n,0,0,E,E,J,J,?,?,?,?,?,?,?,1n,2n,(,),S,D,D,?,?,?,(,),E,?,?,?,?,第六讲,静态电磁场分析,二、恒定电流场分析,2,、恒定电场的分析求解方法,?,静电比拟法,求解恒定电场的方法,对应物理量,静电场,?,?,?,E,?,E,?,D,?,J,?,q,I,恒定电场,?,I,G,U,?,Q,C,U,?,基本方程,?,

22、?,D,E,?,?,?,?,?,E,?,?,?,J,E,?,?,2,0,?,?,?,2,0,?,?,?,静电场（,区域）,0,?,?,d,0,d,0,S,C,?,?,?,?,?,?,J,S,E,l,?,?,?,?,?,?,0,0,?,?,?,?,J,E,?,?,?,?,?,E,?,0,0,D,E,?,?,?,?,?,?,本构关系,位函数,恒定电场（电源外）,0,0,S,C,E,dS,dl,D,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,第六讲,静态电磁场分析,恒定电流场典型例题,【例,1,】,同轴线内外导体半径分别为,a,和,b,，填充介质,?,0,，具有漏电现,象。同轴线外加电源电压为,

23、U,，求漏电介质内的,?,、,E,和单位长度的漏,电电导。,解一：,设由内导体流向外导体的电流为,I,1,1,ln,2,b,R,G,a,?,?,?,d,d,ln,2,2,b,a,I,I,b,U,a,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,E,?,?,b,a,2,I,J,?,?,2,J,I,E,?,?,?,?,2,ln(,/,),I,G,U,b,a,?,?,?,第六讲,静态电磁场分析,恒定电流场典型例题,【例,1,】,同轴线内外导体半径分别为,a,和,b,，填充介质,?,0,，具有漏电现,象。同轴线外加电源电压为,U,，求漏电介质内的,?,、,E,和单位长度的漏,电电导。,解二：,内外导

24、体内,E,z,=0,，且表面是等位面，,介质中电位只是,r,的函数，满足拉氏方程为,?,?,b,a,1,0,ln,d,d,A,B,d,d,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,0,ln,ln,a,b,U,b,U,b,a,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,由,ln,d,U,E,e,e,d,b,a,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,0,2,2,2,ln,U,I,rJ,r,E,b,a,?,?,?,?,?,?,?,0,0,2,ln,I,G,U,b,a,?,?,?,第六讲,静态电磁场分析,恒定电流场典型例题,【例,1,】,同轴线内外导体半

25、径分别为,a,和,b,，填充介质,?,0,，具有漏电现,象。同轴线外加电源电压为,U,，求漏电介质内的,?,、,E,和单位长度的漏,电电导。,解三：,?,?,b,a,填充理想介质时：,2,l,E,e,?,?,?,?,?,?,内外导体电势差：,(,),ln,2,b,l,a,b,U,E,d,a,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,ln,ln,l,C,U,b,a,?,?,?,?,?,由静电比拟，得同轴线内外导体单位长度漏电导为：,2,/,ln,ln,G,S,m,b,a,?,?,?,第六讲,静态电磁场分析,恒定电流场典型例题,【例,2,】,一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为,?,1,、

26、,?,1,和,?,2,、,?,2,，外加电压,U,。求介质面上的自由电荷密度。,解：,极板是理想导体，为等位,面，电流沿,z,方向。,1n,2n,J,J,?,由,1n,2n,S,D,D,?,?,?,由,U,1,d,2,d,1,1,?,?,2,2,?,?,z,o,1,2,1,2,1,1,2,2,1,2,(,),d,d,U,U,U,E,d,E,d,J,?,?,?,?,?,?,?,?,1,2,1,2,1,1,2,2,J,J,J,J,E,E,?,?,?,?,?,?,?,?,1,2,J,J,J,?,?,1,2,1,2,2,1,U,J,d,d,?,?,?,?,?,?,1,1,1,S,D,J,?,?,?,?

27、,?,上,2,1,1,2,2,1,2,1,2,1,2,1,1,2,(,),S,D,D,J,U,d,d,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,介,2,2,2,S,D,J,?,?,?,?,?,?,?,下,第六讲,静态电磁场分析,恒定电流场典型例题,【例,3,】,在一块厚度为,h,的导电板上，,由两个半径为,r,1,和,r,2,的圆弧和,夹角为,的两半径割出的一段环形导电媒质，如图所示。计算沿,?,方向,的两电极之间的电阻。设导电板的电导率为,。,解：,设在沿,?,方向的两电极之间外加电压,U,0,，,则电流沿,?,方向流动，而且电流密度是随,?,变,化的，电位,?

28、,只是变量,?,的函数。,0,?,环形导电媒质块,r,1,h,r,2,?,0,J,?,U,Ed,?,0,0,U,r,E,?,?,0,0,E,r,U,?,?,0,0,U,r,J,E,?,?,?,?,?,2,1,0,0,r,r,d,r,U,I,h,r,?,?,?,?,1,0,2,0,ln,(,),ln,U,h,r,r,?,?,?,?,0,R,I,U,?,1,2,0,(,),ln,ln,h,r,r,?,?,?,?,第六讲,静态电磁场分析,三、恒定磁场分析,1,、恒定磁场基本方程和边界条件,?,边界条件,（一般性问题）,边界,0,B,H,J,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,微分

29、形式：,B,H,?,?,?,?,?,本构关系环境,?,基本方程（,一般性问题,）源,n,1,2,n,1,2,(,),0,(,),s,e,B,B,e,H,H,J,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,d,0,d,S,C,B,S,H,l,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,积分形式：,1n,2n,1t,2t,0,s,B,B,H,H,J,?,?,?,?,?,?,?,或,第六讲,静态电磁场分析,三、恒定磁场分析,2,、恒定磁场分析求解方法,?,方法一：场源积分法,0,3,(,-,),(,),4,-,C,Idl,r,r,B,r,r

30、,r,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,O,C,I,r,?,r,?,R,?,Idl,?,?,?,0,3,V,J,r,R,B(r)=,dV,4,R,?,?,?,?,?,?,?,?,?,O,r,V,?,r,P,R,d,?,?,s,0,3,s,J,r,R,B(r)=,dS,4,R,?,?,?,?,?,?,?,?,不常用！,方法缺点：,1,、难以得到解析解；,2,、只适用于无界空间静电问题（不含边界条件）。,第六讲,静态电磁场分析,三、恒定磁场分析,2,、恒定磁场分析求解方法,?,方法二：由,安培环路定律,求解,C,H,dl,I,?,?,?,?,?,?,?,方法要求：存在闭合积分路径

31、，在整个或者分段积分路径上，,或,为恒定值。,H,?,H,dl,?,?,?,方法优点：可以得到问题的解析解。,方法缺点：只适用于电流分布呈,对称,分布（轴对称）的恒定电,场问题求解。,常用！,第六讲,静态电磁场分析,三、恒定磁场分析,2,、恒定磁场分析求解方法,?,方法三：间接求解方法,B,0,?,?,?,?,),0,(,A,?,?,?,?,?,?,B,A,?,?,?,?,?,?,?,?,?,矢量磁位,方法优点：可以任意选择规定磁矢位的散度。,库伦规范：,(,),0,A,r,?,?,?,?,?,第六讲,静态电磁场分析,恒定磁场典型例题,【例,1,】,求双传输线单位长度自感。设导线半径为,a,，

32、导线间距为,D,。,(Da),解：,由安培环路定律，可以求得在导体间,磁感应强度分布：,x,y,z,x,D,a,P,I,I,1,2,B,B,B,?,?,?,?,?,0,0,(,),(,),2,2,(,),y,y,I,I,e,e,x,D,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,则导体间单位长度的磁通量为,0,ln,ln(,),2,D,a,D,a,a,a,I,B,dx,x,D,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,0,ln,I,D,a,a,?,?,?,?,0,ln,D,a,L,I,a,?,?,?,?,?,?,?,0,ln,D,a,?,?,?,第六讲,静态电磁场分析,恒定磁场典型例

33、题,【例,2,】,求内外半径分别为,a,和,b,的无限长同轴线单位长度的自感。,解：,在内导体内，设导体内电流为,I,，由安培环路,定律,a,?,0,b,0,2,(,),2,I,B,e,a,a,?,?,?,?,?,?,?,?,?,则导体内单位长度磁能为,2,2,2,2,0,2,4,0,0,1,1,2,2,4,m,V,V,I,W,B,dV,dV,a,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,2,2,0,2,4,0,0,1,2,2,4,a,I,d,a,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,0,16,I,?,?,?,0,2,2,8,m,i,W,L,I,?,?,?,?,在内外导体之间：,0,2,2,I,I,B,H,?,?,?,?,?,?,?,?,?,第六讲,静态电磁场分析,恒定磁