第6讲 指数与指数函数2

1、第,6,讲,指数与指数函数,第,2,课时,指数函数的图象及其应用,第二章,基本初等函数、导数及其应用,栏目,导引,第二章,基本初等函数、导数及其应用,1,指数函数的概念,形如,_,的函数叫指数函数。,例,1,判断下列函数是否为指数函数？,(1),;,(2),;,(3) ;,(4) ; (5) ;,(6),.,1,2,x,y,?,?,3,y,x,?,2,(,1),x,y,a,?,?,5,x,y,?,?,2,3,x,y,?,4,1,x,y,?,?,栏目,导引,第二章,基本初等函数、导数及其应用,2,指数函数的图象与性质,y,a,x,a,1,0,a,1,图象,定义域,_,值域,_,性质,过定点,_,

2、当,x,0,时，,_;,当,x,0,时，,_,当,x,0,时，,_;,当,x,0,时，,_,在,R,上是增函数,在,R,上是减函数,R,(0,，,),(0,，,1),y,1,0,y,1,0,y,1,y,1,栏目,导引,第二章,基本初等函数、导数及其应用,1,辨明易误点,指数函数,y,a,x,(,a,0,，,a,1),的图象和性质跟,a,的取值有关，,要特别注意区分,a,1,或,0,a,1,2,指数函数图象画法的三个关键点,画指数函数,y,a,x,(,a,0,，且,a,1),的图象，应抓住三个关键,点：,(1,，,a,),，,(0,，,1),，,?,?,?,?,1,，,1,a,3.,复合函数,y

3、,a,f,(,x,),单调性的确定：,当,a,1,时，单调区间与,f,(,x,),的单调区间,_,；,当,0,a,1,时，,f,(,x,),的单调增区间是,y,的单调,_,_,f,(,x,),的单调减区间是,y,的单调,_,栏目,导引,第二章,基本初等函数、导数及其应用,1,函数,f,(,x,),1,2,x,的定义域是,(,),A,(,，,0,B,0,，,),C,(,，,0),D,(,，,),解析：,要使函数有意义，,则,1,2,x,0,，即,2,x,1,，,x,0.,故选,A.,答案：,A,栏目,导引,第二章,基本初等函数、导数及其应用,2,函数,y,?,?,?,?,?,?,?,?,1,2,

4、1,x,的单调递增区间为,(,),A,(,，,),B,(0,，,),C,(1,，,),D,(0,1),解析：,定义域为,R.,设,u,1,x,，,y,?,?,?,?,?,?,?,?,1,2,u,，,u,1,x,在,R,上为减函数，,又,y,?,?,?,?,?,?,?,?,1,2,u,在,(,，,),上为减函数，,y,?,?,?,?,?,?,?,?,1,2,1,x,在,(,，,),上是增函数，故选,A.,答案：,A,栏目,导引,第二章,基本初等函数、导数及其应用,3,设,2,3,2,x,0.5,3,x,4,，则,x,的取值范围是,_,解析：,2,3,2,x,0.5,3,x,4,?,2,3,2,x

5、,2,4,3,x,?,3,2,x,4,3,x,?,x,1.,答案：,x,|,x,1,栏目,导引,第二章,基本初等函数、导数及其应用,4,函数,f,(,x,),a,x,(,a,0,，且,a,1),在区间,1,2,上的,最大值比最小值大,a,2,，求,a,的值,解析：,当,a,1,时，,f,(,x,),a,x,为增函数，在,x,1,2,上，,f,(,x,),最大,f,(2),a,2,，,f,(,x,),最小,f,(1),a,，,a,2,a,a,2,，即,a,(2,a,3),0,，,a,0(,舍,),或,a,3,2,1,，,a,3,2,.,栏目,导引,第二章,基本初等函数、导数及其应用,当,0,a,

6、1,时，,f,(,x,),a,x,为减函数，,在,x,1,2,上，,f,(,x,),最大,f,(1),a,，,f,(,x,),最小,f,(2),a,2,.,a,a,2,a,2,，,a,(2,a,1),0,，,a,0(,舍,),或,a,1,2,，,a,1,2,.,综上可知，,a,1,2,或,a,3,2,.,栏目,导引,第二章,基本初等函数、导数及其应用,考点一,指数幂的运算,考点二,指数函数的图象及应用,考点三,指数函数的性质及应用,(,高频考点,),栏目,导引,第二章,基本初等函数、导数及其应用,题型一,.,与指数函数有关的定义域、值域问题,求下列函数的定义域与值域：,(1),y,3,1,x,

7、1,；,(2),y,?,?,?,?,?,?,?,?,1,2,x,2,4,x,.,栏目,导引,第二章,基本初等函数、导数及其应用,由题目可获取以下主要信息：所给函数与指,数函数有关；定义域是使函数式有意义的自,变量的取值集合，值域是函数值的集合，依,据定义域和函数的单调性求解,.,栏目,导引,第二章,基本初等函数、导数及其应用,解题过程,(1),x,1,0,，,x,1,，,函数,y,3,1,x,1,的定义域为,x,|,x,1,，,又,1,x,1,0,，,y,3,0,1.,函数的值域为,y,|,y,0,且,y,1,，,(2),函数的定义域为,R,x,2,4,x,(,x,2),2,4,4,，,y,?

8、,?,?,?,?,?,?,?,1,2,x,在,R,上是减函数,0,?,?,?,?,?,?,?,?,1,2,x,2,4,x,?,?,?,?,?,?,?,?,1,2,4,16.,函数的值域为,(0,16,栏目,导引,第二章,基本初等函数、导数及其应用,题后感悟,对于,y,a,f,(,x,),这类函数，,(1),定义域是指只要使,f,(,x,),有意义的,x,的取值范围,(2),值域问题，应分以下两步求解：,由定义域求出,u,f,(,x,),的值域；,利用指数函数,y,a,u,的单调性求得此函数的值,域,栏目,导引,第二章,基本初等函数、导数及其应用,1.,求下列函数的值域,(1),y,?,?,?,

9、?,?,?,?,?,1,3,1,x,1,；,(2),y,2,x,2,4,x,.,解析：,(1),x,1,0,，,x,1,函数定义域为,x,|,x,1,1,x,1,0,，,?,?,?,?,?,?,?,?,1,3,1,x,1,?,?,?,?,?,?,?,?,1,3,0,1,函数值域为,y,|,y,0,且,y,1,栏目,导引,第二章,基本初等函数、导数及其应用,(2),函数定义域为,R,，,x,2,4,x,(,x,2),2,4,4,，,又,y,2,x,在,R,上是增函数，,2,x,2,4,x,2,4,1,16,.,函数值域为,1,16,，,),栏目,导引,第二章,基本初等函数、导数及其应用,求函数,

10、y,4,x,2,x,1,1,的值域,解答本题可以看成关于,2,x,的一个二次函数，,故可令,t,2,x,，利用换元法求值域,.,栏目,导引,第二章,基本初等函数、导数及其应用,解题过程,函数定义域为,R.,令,2,x,t,(,t,0),，则,y,4,x,2,x,1,1,t,2,2,t,1,(,t,1),2,.,t,0,，,t,11,，,(,t,1),2,1,，,y,1,，,值域为,y,|,y,1,，,y,R,题后感悟,如何求形如,y,b,(,a,x,),2,c,a,x,d,的,值域？,换元，令,t,a,x,；,求,t,的范围，,t,D,；,求二次函数,y,bt,ct,d,，,t,D,的值域,栏

11、目,导引,第二章,基本初等函数、导数及其应用,2.,已知,1,x,2,，,求函数,f,(,x,),3,2,3,x,1,9,x,的值域,解析：,f,(,x,),3,2,3,x,1,9,x,(3,x,),2,6,3,x,3.,令,3,x,t,，,则,y,t,2,6,t,3,(,t,3),2,12.,1,x,2,，,1,3,t,9.,当,t,3,，即,x,1,时，,y,取得最大值,12,；,当,t,9,，即,x,2,时，,y,取得最小值,24,，,即,f,(,x,),的最大值为,12,，最小值为,24.,函数,f,(,x,),的值域为,24,12,栏目,导引,第二章,基本初等函数、导数及其应用,y,

12、f,(,a,x,),型或,y,a,f,(,x,),型的图象特征,1.,函数,y,a,x,(,a,0,且,a,1),的图象与,y,a,x,(,a,0,且,a,1),的图象关于,y,轴对称，,2. y,a,x,(,a,0,且,a,1),的图象与,y,a,x,(,a,0,且,a,1),的图象关于,x,轴对称，,3.,函数,y,a,x,(,a,0,且,a,1),的图象与,y,a,x,(,a,0,且,a,1),的图象关于坐标原点对称,题型二,.,与指数函数有关的图象问题,栏目,导引,第二章,基本初等函数、导数及其应用,利用函数,f,(,x,),?,?,?,?,?,?,?,?,1,2,x,的图象，作出下列

13、各,函数的图象：,(1),f,(,x,1),；,(2),f,(,x,),；,(3),f,(,x,),作出,f,(,x,),?,?,?,?,?,?,?,?,1,2,x,的图象,明确,f,(,x,),与,f,(,x,1),，,f,(,x,),，,f,(,x,),图象间的关系,利用图象,变换规律,分,别得出图象,栏目,导引,第二章,基本初等函数、导数及其应用,解题过程,作出,f,(,x,),?,?,?,?,?,?,?,?,1,2,x,的图象，,栏目,导引,第二章,基本初等函数、导数及其应用,如图所示：,(1),f,(,x,1),的图象：需将,f,(,x,),的图象向右平移,1,个单位得,f,(,x,

14、1),的图象，如下图,栏目,导引,第二章,基本初等函数、导数及其应用,(2),f,(,x,),的图象：作,f,(,x,),的图象关于,x,轴对称的,图象得,f,(,x,),的图象，如图,(1),(3),f,(,x,),的图象：作,f,(,x,),的图象关于,y,轴对称的图,象得,f,(,x,),的图象，如图,(2),栏目,导引,第二章,基本初等函数、导数及其应用,题后感悟,利用熟悉的函数图象作图，主要,运用图象的平移、对称等变换，平移需分清楚,向何方向移，要移多少个单位，如,(1)(2),；对,称需分清对称轴是什么，如,(3)(4),栏目,导引,第二章,基本初等函数、导数及其应用,3.,函数,

15、y,?,?,?,?,?,?,?,?,1,3,|,x,|,的图象有什么特征？,你能根据图象指出其值域和单调区间吗？,解析：,因为,|,x,|,?,?,?,x,?,x,0,?,x,?,x,0,?,.,栏目,导引,第二章,基本初等函数、导数及其应用,故当,x,0,时，函数为,y,?,?,?,?,?,?,?,?,1,3,x,；,当,x,0,时，函数为,y,?,?,?,?,?,?,?,?,1,3,x,3,x,，,其图象由,y,?,?,?,?,?,?,?,?,1,3,x,(,x,0),和,y,3,x,(,x,0),的图象合并,而成,而,y,?,?,?,?,?,?,?,?,1,3,x,(,x,0),和,y,

16、3,x,(,x,0),的图象关于,y,轴对,称，,所以原函数图象关于,y,轴对称,由图象可知值域是,(0,1,，,递增区间是,(,，,0,，,递减区间是,0,，,),栏目,导引,第二章,基本初等函数、导数及其应用,做一做,1,(2015,大连模拟,),函数,y,2,|,x,|,的值域为,(,),A,0,，,),B,1,，,),C,(1,，,),D,(0,，,1,2,(2015,东北三校联考,),函数,f,(,x,),a,x,1,(,a,0,，,a,1),的图象,恒过点,A,，下列函数中图象不经过点,A,的是,(,),A,y,1,x,B,y,|,x,2|,C,y,2,x,1,D,y,log,2,

17、(2,x,),A,解析：由,f,(,x,),a,x,1,(,a,0,，,a,1),的图象恒过点,(1,，,1),，,又,0,1,1,，知,(1,，,1),不在,y,1,x,的图象上,B,栏目,导引,第二章,基本初等函数、导数及其应用,3,(2014,高考陕西卷,),已知,4,a,2,，,lg,x,a,，,则,x,_,解析：,4,a,2,，,a,1,2,，,lg,x,a,，,x,10,a,10,10,4,若函数,y,(,a,2,1),x,在,(,，,),上为减函数，则实数,a,的取值范围是,_,解析：由题意知,0,a,2,1,1,，即,1,a,2,2,，,得,2,a,1,或,1,a,2,(,2,

18、，,1),(1,，,2),栏目,导引,第二章,基本初等函数、导数及其应用,考点二,指数函数的图象及应用,(1),函数,y,a,x,1,a,(,a,0,，,且,a,1),的图象可能是,(,),(2),方程,2,x,2,x,的解的个数是,_,D,1,栏目,导引,第二章,基本初等函数、导数及其应用,解析,(1),法一：当,a,1,时，,y,a,x,1,a,为增函数，且在,y,轴上的截距为,0,1,1,a,1,，,此时四个选项均不对；当,0,a,1,时，函数,y,a,x,1,a,是减函数，且其图象可视为是由函,数,y,a,x,的图象向下平移,1,a,个单位长度得到的，结合各选项,知选,D,法二：因为函

19、数,y,a,x,1,a,(,a,0,，且,a,1),的图象必过点,(,1,，,0),，所以选,D,栏目,导引,第二章,基本初等函数、导数及其应用,(2),方程的解可看作函数,y,2,x,和,y,2,x,的图象交点的横,坐标，分别作出这两个函数图象,(,如图所示,),由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解,栏目,导引,第二章,基本初等函数、导数及其应用,规律方法,指数函数图象由其底数确定，,在底数不确定时,要根据其取值范围进行分类讨论从甲函数图象通过变换,得到乙函数的图象，通过顺次的逆变换，即可把乙函数的,图象变换为甲函数的图象,栏目,导引,第二章,基本初等函数、导数及其应用,2,(1),函数,f,(,x,),a,x,b,的图象如图所示，,其中,a,，,b,为常数，则下列结论正确的是,(,),A,a,1,，,b,0,B,a,1,，,b,0,C,0,a,1,，,b,0,D,0,a,1,，,b,0,(2),若函数