概率论与数理统计 22随机变量函数的分布

1、1,2.3,随机变量函数的分布,1. X,是离散型随机变量,2. X,是连续型随机变量,2,在许多实际问题中，常常需要研究随机变量的函,数。例如：,测量圆轴截面的直径,d,，而关心的却是截面积,由于测量的误差，,d,为随机变量，,S,就是随机变量,d,的函数,在统计物理中，已知分子的运动速度,X,的分布，,求其动能的分布。,2,4,1,d,S,?,?,2,2,1,mX,S,?,3,一般地，设,y,=,f,(,x,),是一元实函数，,X,是一个随机变量，,若,X,的取值在函数,y,=,f,(,x,),的定义域内，则,Y=,f,(X),也,为一随机变量。,4,1. X,是离散型随机变量,设随机变量

2、,X,的分布列为,X,x,1,x,2,x,k,P,p,1,p,2,p,k,则函数,Y=,g,(X),是离散型随机变量，可能的取值是,g,(,x,1,),g,(,x,2,),g,(,x,k,),(,k,=1,2,n,).,则,Y=,g,(X),的概,率分布为：,5,(1),若,g,(,x,k,),互不相同，则事件,Y=,y,i,=,g,(,x,i,),等价于事,件,X=,x,i,，从而,Y=,g,(X),的概率分布为：,Y,g,(,x,1,),g,(,x,2,),g(x,k,),P(Y=,y,i,),p,1,p,2,p,k,6,(2),若某些,g,(,x,i,),相同，比如,g,(,x,i,1,

3、),g,(,x,i,2,),=,g,(,x,il,) =,y,i, (,i,=1,2,),则事件,Y=,y,i,=,g,(,x,i,),等价于事件,X=,x,i,1,X=,x,i,2,X=,x,il,从而有：,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,l,k,ik,il,i,i,i,x,X,P,x,X,P,x,X,P,x,X,P,y,Y,P,1,2,1,),(,),(,.,),(,),(,),(,7,步骤,：,1.,确定,Y,的取值,y,1,y,2, ,y,i,2.,求概率,P(Y=,y,i,)=,?,p,j,3.,列出概率分布表,8,X,0,1,2,3,4,P,1/12,1/6,1/3

4、,1/12,1/3,Y,-1,1,3,5,7,P(Y=,y,i,),1/12,1/6,1/3,1/12,1/3,例,2.3.1,设随机变量,X,的分布列如下表，试求,Y,=,2X,-,1,和,Y,=,(X,-,1),2,的分布列,.,解,(1),因为,y,=2,x,-1,严格单调，所以,y,i,(,i,=1,2,5),互,不相同，,Y,所有可能取的值为,-1,1,3,5,7.,故,Y,的分,布列为：,9,Y,0,1,4,9,P(Y=,y,i,),1/6,1/12+1/3,1/12,1/3,(2),因为,Y,=,(X,-,1),2,的取值分别为,1,0,1,4,9.,故,Y,的,分布列为：,10

5、,例,设,XB(2,0.3),，求下列随机变量的分布列,1. Y,1,=X,2,2. Y,2,= X,2,-2X 3. Y,3,=3X-,X,2,解,X,的概率分布为,.,2,1,0,7,.,0,3,.,0,),(,2,2,?,?,?,?,k,C,k,X,P,k,k,k,X,0,1,2,Y,1,=X,2,0,1,4,Y,2,=X,2,-2X,0,-1,0,Y,3,=3X-X,2,0,2,2,P,0.49,0.42,0.09,Y,1,0 1 4,P,0.49 0.42 0.09,Y,2,-1 0,P,0.42 0.58,Y,3,0 2,P,0.49 0.51,则,Y,1,，,Y,2,，,Y,3,

6、的分布列分别为,11,?,?,?,?,?,?,?,?,为奇数,为偶数,x,x,x,x,f,1,0,0,1,),(,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,0,1,2,0,)!,1,2,(,),1,2,(,),1,(,k,k,k,e,k,k,X,P,Y,P,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,2,1,)!,2,(,),2,(,),1,(,k,k,k,e,k,k,X,P,Y,P,?,?,-,e,X,P,Y,P,?,?,?,?,),0,(,),0,(,例,设,X,服从参数为,的泊松分布，试求,Y=,f,(X),的分,布列,.,其中,解,易知,Y,的可能取值为,

7、-1,0,1,，且有,12,2. X,是连续型随机变量,设,X,为连续型随机变量，已知其分布函数,F,X,(,x,),和密,度函数,f,X,(,x,),，随机变量,Y=,g,(X),，要求,Y,的分布函数,F,Y,(,y,),和密度函数,f,Y,(,y,).,步骤,：,(1),由,Y=g(X),的分布函数,这里,G=,x,|,g,(,x,),?,y,(2),求导数得,Y=,g,(X),的概率密度为,f,Y,(,y,)=,F,Y,(,y,),?,?,?,?,?,?,?,?,G,Y,dx,x,f,G,X,P,y,X,g,P,y,Y,P,y,F,),(,),(,),),(,(,),(,),(,注：,

8、解,g,(,x,),y,时要考虑,y,的不同取值范围,13,例,设随机变量,，求,X,的线性函数,的密度函数,),(,2,?,?,N,X,是常数）,（,b,a,b,aX,Y,0,?,?,?,解,先根据,Y,与,X,的函数关系式求,Y,的分布函数,:,),(,),(,),(,y,b,aX,P,y,Y,P,y,F,Y,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,0,),(,1,),(,0,),(,),(,a,a,b,y,F,a,b,y,X,P,a,a,b,y,F,a,b,y,X,P,X,X,若,若,14,从而，求导数得：,?,?,?,?,?,?,?,?,

9、?,?,?,?,?,?,0,1,),(,0,1,),(,),(,),(,a,a,a,b,y,f,a,a,a,b,y,f,dy,y,dF,y,f,X,X,Y,Y,若,若,),(,1,a,b,y,f,a,X,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,y,e,a,e,a,a,b,a,y,a,b,y,2,1,2,1,2,2,2,2,),(,2,),(,2,),(,?,?,?,?,?,?,?,?,15,由此得到服从正态分布的随机变量的一个重要,性质,：,若随机变量,),(,2,?,?,N,X,则,),(,2,2,?,?,a,b,a,N,b,aX,?,?,16,定理,2.3.1,设连续型

10、随机变量,X,具有概率密度函数,f,X,(,x,),，又设函数,y,=,g,(,x,),是,x,的,单调函数,，其反函数,g,1,(,y,),有连续导数，则,Y=,g,(X),是连续型随机变量，,其概率密度函数为,:,?,?,?,?,?,?,?,?,?,其它,0,|,),(,|,),(,),(,1,1,?,?,y,y,g,y,g,f,y,f,X,Y,其中,),(,),(,max(,),(,),(,min(,?,?,?,?,?,?,g,g,g,g,?,?,17,证,(1),g,(,x,),严格,单调增加,时，此时其,反函数,g,1,(,y,),在,(,),也严格单调增加，则,),(,),(,1,

11、y,g,X,y,X,g,y,Y,?,?,?,?,故,),(,(,),(,(,),),(,(,),(,),(,1,1,y,g,F,y,g,X,P,y,X,g,P,y,Y,P,y,F,y,X,Y,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,时，,?,?,;,0,),(,),(,?,?,?,?,y,Y,P,y,F,y,Y,时，,?,.,1,),(,),(,?,?,?,?,y,Y,P,y,F,y,Y,时，,?,于是得,Y,的概率密度：,?,?,?,?,?,?,?,?,?,其它,0,|,),(,|,),(,),(,1,1,?,?,y,y,g,y,g,f,y,f,X,Y,18,(2),g,(,x,),严格

12、,单调减小,时，此时其,反函数,g,1,(,y,),在,(,),也严格单调减小，则,),(,),(,1,y,g,X,y,X,g,y,Y,?,?,?,?,故,),),(,(,),(,),(,y,X,g,P,y,Y,P,y,F,y,Y,?,?,?,?,?,?,时，,?,?,;,0,),(,),(,?,?,?,?,y,Y,P,y,F,y,Y,时，,?,.,1,),(,),(,?,?,?,?,y,Y,P,y,F,y,Y,时，,?,注意,，此时,0,),(,1,?,?,y,g,),(,(,1,),(,(,1,1,y,g,X,P,y,g,X,P,?,?,?,?,?,?,?,),(,(,1,),(,(,1,

13、1,1,y,g,F,y,g,X,P,X,?,?,?,?,?,?,?,19,于是得,Y,的概率密度：,?,?,?,?,?,?,?,?,?,其它,0,|,),(,|,),(,),(,1,1,?,?,y,y,g,y,g,f,y,f,X,Y,综合上述两种情况，定理成立,.,20,例,设随机变量,X,的概率密度函数为,?,?,?,?,?,?,?,0,0,0,),(,x,x,e,x,f,x,求随机变量,Y=X,2,的概率密度函数。,解,先求,Y,的分布函数,F,Y,(,y,)=P(Y,?,y,)=P(X,2,?,y,),当,y=,0,时，,F,Y,(,y,)=0,当,y,0,时，,Y,?,y,为不可能事件

14、，此时,F,Y,(,y,)=0,当,y,0,时，,),(,),X,(,),(,2,y,X,y,P,y,P,y,F,Y,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,y,y,y,x,dx,e,dx,x,f,0,),(,y,e,?,?,?,1,所以,Y,的概率密度函数为,?,?,?,?,?,?,?,?,?,0,0,0,2,1,),(,y,y,e,y,x,f,y,21,例,设随机变量,求,的密度函数,.,),1,0,(,U,X,1,2,2,?,?,X,Y,解,X,的取值范围为,(0,1),，从而,Y,的取值范围为,(1,3),当,1y ,3,时，,Y,的分布函数为,),1,2,(,),(,),(,

15、2,y,X,P,y,Y,P,y,F,Y,?,?,?,?,?,),2,1,2,1,(,?,?,?,?,?,?,y,X,y,P,),2,1,(,),2,1,(,?,?,?,?,?,y,F,y,F,X,X,22,由于,x,0,时,0,),(,?,x,F,X,从而,0,),2,1,(,?,?,?,y,F,X,因此当,1y3,时，,),2,1,(,),(,?,?,y,F,y,F,X,Y,而,Y1,和,Y3,是不可能事件，从而有,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,其他,，,，,其他,，,，,0,3,1,1,4,2,0,3,1,1,2,2,1,),2,1,(

16、,),(,y,y,y,y,y,f,y,f,X,Y,23,例,设随机变量,X,的概率密度函数为,),1,(,1,),(,2,x,x,f,X,?,?,?,求,的概率密度,.,解,y,= e,x,单调可导，,0,?,?,?,x,e,y,且其值域为,y,0,反函数为,x,= g(,y,) = ln,y,所以，,y,0,时,),ln,1,(,1,|,1,|,ln,|,),(,|,),(,),(,2,y,y,y,y,f,y,g,y,g,f,y,f,X,X,Y,?,?,?,?,?,?,?,y,y,g,1,),(,?,故,?,?,?,?,?,?,?,?,其它,0,0,),ln,1,(,1,),(,2,y,y,

17、y,y,f,Y,?,X,e,Y,?,24,例,设随机变量,X,具有概率密度,求随机变量,Y=2X+8,的概率密度,解,先求,Y=2X+8,的分布函数,F,Y,(,y,),?,?,?,?,?,?,4,0,8,0,),(,x,x,X,x,f,其他,),8,2,(,),(,),(,y,X,P,y,Y,P,y,F,Y,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,8,),(,),2,8,(,y,X,dx,x,f,y,X,P,25,于是得,Y=2X+8,的概率密度为：,),2,8,)(,2,8,(,),(,),(,?,?,?,?,y,y,f,y,F,y,f,X,Y,Y,?,?,?,?,?,?,

18、?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,其它,，,，,其它,0,16,8,0,4,0,32,8,2,8,2,1,2,8,8,1,y,y,y,y,26,例,2.3.4,设随机变量,X,具有概率密度,求,Y=X,2,的概率密度,由于,故当,y,0,时，,F,Y,(,y,) =,P,(Y,?,y,) = 0,?,?,?,?,?,x,x,f,X,),(,解,先求,Y=X,2,的分布函数,F,Y,(,y,),0,2,?,?,x,y,当,y,=0,时，,F,Y,(,y,) =,P,(Y,?,y,)= P(X,2,0)= P(X,2,=0) = 0,27,当,y,0,时有,于是得,Y,的概率密度为：,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,y,y,X,Y,dx,x,f,y,X,y,P,y,X,P,y,Y,P,y,F,),(,),(,),(,),(,2,?,