初中二次函数知识点汇总(史上最全)

1、二次函数知识点一、基本概念：1二次函数的概念：一般地，形如y ax2bx c （a， ，是常数，a 0）的函数，叫做二次函数。b c这里需要 强调 ：和一元二次方程类似，二次项系数a 0，而 b ，c 可以为零二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数 y ax2 bx c的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式， x 的最高次数是 2 a ，b ，c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项二、基本形式1. 二次函数基本形式：yax2 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。a 的符号开口方向顶点坐对称标性质轴x 0 时， y 随 x 的增大而增大；

2、 x0 时， y 随a 0向上0 ，0y 轴x 的增大而减小；x0 时， y 有最小值 0 x0 时， y 随 x 的增大而减小； x0 时， y 随a0向下0 ，0y 轴x 的增大而增大；x0 时， y 有最大值 0 2. y ax2 c 的性质：（上加下减）a 的符号开口方向顶点坐对称性质标轴x0 时， y 随 x 的增大而增大； x0 时， y 随a0向上0 ，cy 轴x 的增大而减小； x 0 时， y 有最小值 c x0 时， y 随 x 的增大而减小； x0 时， y 随a0向下0 ，cy 轴x 的增大而增大；x0 时， y 有最大值 c 第- 1 - 页 共31 页3. y a

3、x h 2 的性质：（左加右减）a 的符号开口方向顶点坐对称标性质轴x h 时，y 随 x 的增大而增大； xh 时，y 随a 0向上h，0x=hx 的增大而减小；xh 时， y 有最小值 0 xh 时，y 随 x 的增大而减小； xh 时，y 随a0向下h，0x=hx 的增大而增大；xh 时， y 有最大值 0 2k 的性质：4. y a x ha 的符号顶点坐对称开口方向性质标轴xh 时，y 随 x 的增大而增大； xh 时，y 随a0向上h，kx=hx 的增大而减小；xh 时， y 有最小值 k xh 时，y 随 x 的增大而减小； xh 时，y 随a0向下h，kx=hx 的增大而增大；

4、xh 时， y 有最大值 k 三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法 1： 将抛物线解析式转化成顶点式 y a x h2h，k；k ，确定其顶点坐标 保持抛物线 yax2 的形状不变，将其顶点平移到h ，k 处，具体平移方法如下：向上 ( k0)【或向下 ( k0) 【或左 (h0)【或左 (h0)【或左 ( h0)【或下 (k0)【或下 (k0)】平移 |k|个单位y=a( x-h)2+k2. 平移规律在原有函数的基础上 “h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移 ”概括成八个字“左加右减，上加下减”第- 2 - 页 共31 页方法 2： yax 2bxc 沿 y 轴平移 :向上（下

5、）平移 m 个单位， yax2bxc 变成yax 2bx cm （或 yax 2bx cm ） yax 2bxc 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位， yax 2bxc 变成ya( xm) 2b( xm)c （或 ya( xm) 2b( xm)c ）四、二次函数 yaxh2k与 yax2bxc的比较从解析式上看，yaxh2k 与 yax2bxc 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到2b2b ，k2前者，即 y a xb4ac，其中 h4ac b2a4a2 a4a五、二次函数 yax 2bxc 图象的画法五点绘图法： 利用配方法将二次函数yax2bxc 化为顶点式 ya(xh) 2k ，确

6、定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. 一般我们选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点0 ，c 、以及0 ，c关于对称轴对称的点2h ，c、与 x 轴的交点 x1 ，0，x2 ，0（若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与 y 轴的交点 .六、二次函数 yax2bxc 的性质1.当 a0 时，抛物线开口向上，对称轴为xb ，顶点坐标为b ，4ac b22a2a4a当 xb 时， y 随 x 的增大而减小；当xb时， y 随 x 的增大而增大；当xb时， y 有2a2a2a最小值 4acb

7、 24a2.当 a0 时，抛物线开口向下， 对称轴为 xb ，顶点坐标为b ，4acb2当 xb 时， y2a2a4a2a随 x 的增大而增大；当xb时， y 随 x 的增大而减小；当xb时， y 有最大值 4acb 22a2a4a七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式： yax2bxc （ a ， b ， c 为常数， a0 ）；2. 顶点式： ya( xh)2k （ a ， h ， k 为常数， a0 ）；3. 两根式： ya( xx1 )( xx2 ) （ a 0 ， x1 ， x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标） .第- 3 - 页 共31 页注意：任何二次函数的解析式都可以化成

8、一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即 b2时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数4ac 0解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 a二次函数 yax 2bxc 中， a 作为二次项系数，显然a0 当 a0 时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； 当 a0 时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大总结起来， a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小2. 一次项系数 b在二次项系数 a 确定的前提

9、下， b 决定了抛物线的对称轴 在 a0 的前提下，当 b0时，b0，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；2a当 b0时，b0，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b0时，b0，即抛物线对称轴在 y轴的右侧2a 在 a0的前提下，结论刚好与上述相反，即当 b0时，b0，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；2a当 b0 时，b0，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b0时，b0，即抛物线对称轴在 y轴的左侧2a总结起来，在 a 确定的前提下， b 决定了抛物线对称轴的位置ab 的符号的判定： 对称轴 xb 在 y 轴左边则 ab 0 ，在 y 轴的右侧则 ab0 ，概括的说就2a是“左同右异”总结：3. 常

10、数项 c 当 c0 时，抛物线与y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； 当 c0 时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0 ； 当 c0 时，抛物线与y 轴的交点在 x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负总结起来， c 决定了抛物线与y 轴交点的位置总之，只要 a ，b ，c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的第- 4 - 页 共31 页二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点

11、的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于 x 轴对称yax2bxc关于 x 轴对称后，得到的解析式是yax2bxc ；ya xh2ya xh2；k 关于 x 轴对称后，得到的解析式是k2. 关于 y 轴对称yax2bxc关于 y 轴对称后，得到的解析式是yax2bxc ；ya xh2ya xh2k 关于 y 轴对称后，得到的解析式是k ；3. 关于原点对

12、称yax2bxc关于原点对称后，得到的解析式是yax2bxc ；ya xh2yaxh2k；k 关于原点对称后，得到的解析式是4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180）2yax2bxc关于顶点对称后，得到的解析式是yax2bxcb ；2 aya xh2yaxh2kk 关于顶点对称后，得到的解析式是5. 关于点m，n 对称22ky a x hk 关于点 m，n 对称后，得到的解析式是 y a x h 2m2n根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线

13、（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式第- 5 - 页 共31 页十、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程ax22bxc 当函数值 y0 时的特殊情况 .bx c 0 是二次函数 y ax图象与 x 轴的交点个数： 当b24ac0 时，图象与 x 轴交于两点 a x1 ，0，b x2 ，0( x1x2 ) ，其中的 x1 ，x2 是一元二次方程 ax2bxc 0 a 0 的两根这两点间的距离 ab x2x1b24ac .a 当0 时，图象与 x 轴只有一个

14、交点； 当0时，图象与 x 轴没有交点 .1当 a0时，图象落在 x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有y 0；2当 a0时，图象落在 x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有 y 0 2.抛物线 yax2bxc 的图象与 y 轴一定相交，交点坐标为 (0 ， c) ；3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数yax2bxc 中 a ， b ， c 的符号，或由二次函数中a ， b ， c 的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对

15、称轴对称，可利用这一性质， 求和已知一点对称的点坐标，或已知与 x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2bx c( a 0) 本身就是所含字母x 的二次函数；下面以 a0 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：0抛物线与 x 轴有二次三项式的值可正、一元二次方程有两个不相等实根两个交点可零、可负0抛物线与 x 轴只二次三项式的值为非一元二次方程有两个相等的实数根有一个交点负0抛物线与 x 轴无二次三项式的值恒为一元二次方程无实数根 .交点正第- 6 - 页 共31 页二次函数考查重点与常见题型1 考查二次函数

16、的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以 x 为自变量的二次函数y( m2)x 2m2m2 的图像经过原点，则 m 的值是2 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数ykxb 的图像在第一、二、三象限内，那么函数ykx2bx1 的图像大致是（）yyyy110xo-1 x0x0 -1 xabcd3 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3) ， (4,6) 两点，对称轴为 x5 ，求这条抛物线的解析式。3

17、4 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：已知抛物线23y axbx c（a 0）与 x 轴的两个交点的横坐标是 1、3，与 y 轴交点的纵坐标是 2（ 1）确定抛物线的解析式； （2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.5 考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。【例题经典】由抛物线的位置确定系数的符号例 1 （ 1）二次函数 yax2bx c 的图像如图 1，则点 m (b, c ) 在（）aa第一象限b第二象限 c 第三象限d 第四象限（2）已知二次函数y=ax2+bx+c （a 0）的图象如图2 所示， ?则下列结论： a、

18、b 同号；当x=1 和 x=3 时，函数值相等； 4a+b=0；当 y=-2 时， x 的值只能取0. 其中正确的个数是（）a 1 个 b 2 个 c 3 个 d 4 个(1)(2)【点评】弄清抛物线的位置与系数a， b，c 之间的关系，是解决问题的关键例 2. 已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 (-2 ，o)、(x 1， 0) ，且 1x12，与 y 轴的正半轴的交点在点 (o，2) 的下方下列结论： abo； 4a+co，其中正确结论的个数为 ( )第- 7 - 页 共31 页a 1个 b. 2个 c. 3个 d 4 个答案： d会用待定系数法求二次函数解析式例 3

19、. 已知：关于 x 的一元二次方程ax2+bx+c=3 的一个根为x=-2 ，且二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴是直线 x=2，则抛物线的顶点坐标为( )a(2， -3)b.(2，1)c(2， 3)d(3 ， 2)答案： c例 4、（ 2006 年烟台市）如图（单位：m），等腰三角形abc以 2 米/ 秒的速度沿直线l 向正方形移动，直到 ab与 cd重合设 x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym2（ 1）写出 y 与 x 的关系式；（ 2）当 x=2， 3.5 时， y 分别是多少？（ 3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴 .

20、例 5、已知抛物线 y= 1 x 2+x- 5 2 2（ 1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴（ 2）若该抛物线与 x 轴的两个交点为 a、 b，求线段 ab 的长【点评】本题（ 1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（ 2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系例 6. 已知：二次函数 y=ax2-(b+1)x-3a 的图象经过点p(4， 10) ，交 x 轴于 a( x1 ,0) ， b( x2 ,0) 两点(x1x2 ) ，交 y 轴负半轴于 c点，且满足 3ao=ob(1) 求二次函数的解析式； (2) 在二次函数的图象上是否存在点m，使锐角 mcoaco?若存在，请你求出 m点的横坐

21、标的取值范围；若不存在，请你说明理由(1) 解：如图抛物线交 x 轴于点 a(x 1， 0) ，b(x2 ， o)，则 x1x2=30，又 x1o， x1o， 30a=ob， x2=-3x 1x x =-3x2=-3 x2=1.1112x 0， x =-1 x=3112点 a(-1 ，o)，p(4 ，10) 代入解析式得解得 a=2 b=3二次函数的解析式为y-2x 2-4x-6 (2) 存在点 m使 mc0 aco(2) 解：点 a 关于 y 轴的对称点 a(1 ，o)，直线 a， c解析式为 y=6x-6 直线 ac 与抛物线交点为(0 ， -6) ，(5 ， 24) 符合题意的x 的范围

22、为 -1x0 或 ox5当点 m的横坐标满足 -1xo 或 ox aco例 7、 “已知函数y1 x 2 bx c 的图象经过点 a（c ， 2），2求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。（ 1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。（ 2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。第- 8 - 页 共31 页点 ： 于第（ 1）小 ，要根据已知和 中 有信息求出 中的二次函数解析式，就要把原来的 “函数 象的 称 是x=

23、3”当作已知来用，再 合条件“ 象 点a（ c， 2）”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能 求出 中的二次函数解析式。 于第（2）小 ，只要 出的条件能 使求出的二次函数解析式是第（1）小 中的解析式就可以了。而从不同的角度考 可以添加出不同的条件，可以考 再 象上的一个任意点的坐 ，可以 出 点的坐 或与坐 的一个交点的坐 等。 解答 （ 1）根据y1 x2 bx c 的 象 点a（ c ， 2 ）， 象的 称 是x=3 ，得21 c2bcc2,2b3,2 12b3,解得2.c所以所求二次函数解析式 y1 x 23x2. 象如 所示。（ 2）在解析式中令 y=0，得 1

24、2x 23x20，解得 x135, x2 35.2所以可以填“抛物 与x 的一个交点的坐 是（ 3+5,0) ”或“抛物 与x 的一个交点的坐 是 (35,0).令 x=3 代入解析式，得 y5 ,2所以抛物 y1 x 23x2 的 点坐 (3, 5 ),22所以也可以填抛物 的 点坐 (3,5) 等等。2函数主要关注：通 不同的途径（ 象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种 背景理解函数；将函数 “ 化 程中 量之 关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知 的 系。用二次函数解决最 例 1 已知 4 的正方形截去一个角后成 五 形 abcde（如 ），其中 af=2，bf=1

25、在 ab 上求一点 p，使矩形 pndm有最大面 【 析】本 是一道代数几何 合 ，把相似三角形与二次函数的知 有机的 合在一起，能很好考 学生的 合 用能力同 ，也 学生探索解 思路留下了思 空 例 2 某 品每件成本 10 元， 段每件 品的 售价 x（元） ?与 品的日 售量 y（件）之 的关系如下表：x（元）152030y（件）252010若日 售量 y 是 售价 x 的一次函数第- 9 - 页 共31 页（1）求出日销售量 y（件）与销售价x（元）的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？?此时每日销售利润是多少元？【解析】（ 1）设此一次函数表达式为

26、y=kx+b则 15kb25,解得 k=-1 ，b=40， ?即一次函数2kb20表达式为 y=-x+40 （ 2）设每件产品的销售价应定为 x 元，所获销售利润为 w 元w=（ x-10 ）（ 40-x ） =-x 2+50x-400=- （ x-25 ） 2+225产品的销售价应定为25 元，此时每日获得最大销售利润为225 元【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省） ”的设问中， ?“某某”要设为自变量， “什么”要设为函数；（2）?问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程例 3. 你知道吗 ?平

27、时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离 1m、 2 5 m 处绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶已知学生丙的身高是15 m，则学生丁的身高为 ( 建立的平面直角坐标系如右图所示)()a15 mb1 625 mc166 md1 67 m分析：本题考查二次函数的应用答案： b第 - 10 -页 共 31页知识点一、平面直角坐标系1，平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做 x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴

28、叫做 y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点 o（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被 x 轴和 y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意： x 轴和 y 轴上的点，不属于任何象限。2、点的坐标的概念点的坐标用（ a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当ab 时，（ a，b）和（ b，a）是两个不同点的坐标。知识点二、不同位置的点的坐标的特征1、各象限内点的坐标的特征点 p(x,y) 在第一象限

29、x0, y0点 p(x,y) 在第二象限x0, y0点 p(x,y) 在第三象限x0, y0点 p(x,y) 在第四象限x0, y02、坐标轴上的点的特征点 p(x,y) 在 x 轴上y0， x 为任意实数点 p(x,y) 在 y 轴上x0，y 为任意实数点 p(x,y) 既在 x 轴上，又在y 轴上x， y 同时为零，即点p 坐标为（ 0， 0）3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点 p(x,y) 在第一、三象限夹角平分线上x 与 y 相等点 p(x,y) 在第二、四象限夹角平分线上x 与 y 互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。第

30、 - 11 -页 共 31页位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同。5、关于 x 轴、 y 轴或远点对称的点的坐标的特征点 p 与点 p关于 x 轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数点 p 与点 p关于 y 轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数点 p 与点 p关于原点对称横、纵坐标均互为相反数6、点到坐标轴及原点的距离点 p(x,y) 到坐标轴及原点的距离：（ 1）点 p(x,y) 到 x 轴的距离等于y（ 2）点 p(x,y) 到 y 轴的距离等于x（ 3）点 p(x,y) 到原点的距离等于 x2y2知识点三、函数及其相关概念1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。一般地，在某一变化过程中有两个变量 x 与 y，如果对于 x 的每一个值， y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说 x 是自变量， y 是 x 的函数。2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。3、函数的三种表示法及其优缺点（ 1）解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。（ 2）列表法把自变量 x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函