初中数学一元二次方程知识点总结与练习

1、知识点总结：一元二次方程知识框架知识点、概念总结1. 一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。2. 一元二次方程有四个特点：(1) 含有一个未知数；(2) 且未知数次数最高次数是2 ；(3) 是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。如果能整理为 ax 2+bx+c=0(a0) 的形式，则这个方程就为一元二次方程；(4) 将方程化为一般形式：ax 2+bx+c=0 时，应满足（ a0）；3.一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，?都能化

2、成如下形式ax2+bx+c=0（ a 0）。一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（ a 0）后，其中ax2 是二次项，a 是二次项系数；bx是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。4. 一元二次方程的解法（ 1）直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如( xa)2b的一元二次方程。根据平方根的定义可知，xa 是b 的平方根，当b0 时，xab ， xab，当b0时，方程没有实数根。（ 2）配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平

3、方公式a 22ab b2(a b)2 ，把公式中的a 看做未知数x ，并用 x 代替，则有x22bx b 2( x b) 2 。配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为 1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p) 2=q 的形式，如果q 0，方程的根是 x=-p q；如果 q 0, 方程无实根（ 3）公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程 ax 2bxc 0(a0) 的求根公式：bb24ac20)x2a(b4ac（ 4）因式分解法因式分解法就是利用因式

4、分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。5. 一元二次方程根的判别式根的判别式：一元二次方程ax 2bxc0( a0) 中，b 24ac 叫做一元二次方程ax2bxc0(a0) 的根的判别式，通常用“”来表示，即b 24ac6. 一元二次方程根与系数的关系如果方程ax 2bxc0(a0) 的两个实数根是x1，x2 ，那么x1x2ba， x1 x2ca。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。7. 分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。8. 分

5、式方程的一般解法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是：（ 1）去分母，方程两边都乘以最简公分母（ 2）解所得的整式方程（ 3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。知识点 1.只含有一个未知数，并且含有未知数的最高次数是2 的整式方程叫一元二次方程。例题：1、判别下列方程是不是一元二次方程，是的打“”，不是的打“”，并说明理由 .(1)2x2 -x-3=0.(2)y -y 2 =0.(3) t2 =0.412 -3=0.(4) x3 -x 2 =1.(5) x2 -2y-1=0.(6)x(7)x23x =2. (

6、8)(x+2)(x-2)=(x+1)2 .(9)3x2 - 4 +6=0.(10)3x2 = x -3.x41、若关于 x 的方程 a(x 1)2=2 x2 2 是一元二次方程，则a 的值是（）（ a） 2（ b） 2（c） 0（d）不等于 22、已知关于 x 的方程m1 x2n23 xp 0 ，当时，方程为一次方程；当时，两根中有一个为零 a 。3m2 xm22xm0：、已知关于 x 的方程（ 1） m 为何值时方程为一元一次方程；（ 2） m 为何值时方程为一元二次方程。知识点二 .一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是：ax2bxc0 a0 ，其中 ax2 是二次项， a 叫二次

7、项系数；bx 是一次项， b 叫一次项系数， c 是常数项。特别警示：（ 1）“ a0 ”是一元二次方程的一般形式的一个重要组成部分；（ 2）二次项系数、一次项系数及常数项都是方程在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各项系数时，必须先将方程化为一般形式。知识点三 .一元二次方程的解使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解。例题：1、已知方程 3x29xm0的一个根是1，则 m 的值是。2、设 a 是一元二次方程x25x0 的较大根， b 是 x23x20 较小根，那么 ab 的值是（）（ a ） -4（ b ）-3（ c）1（d ）23、已知关于 x 的一元二次方程x2kx 20

8、 的一个解与方程x13的解相同。x1（ 1） 求 k 的值；（ 2） 求方程 x2 kx 2 0 的另一个解。知识点四 .一元二次方程的解法一元二次方程的四种解法：（ 1）直接开平方法：如果x2k k0 ，则 xk（ 2）配方法：要先把二次项系数化为1，然后方程两变同时加上一次项系数一半的平方，配成左边是完全平方式，右边是非负常数的形式，然后用直接开平方法求解；（ 3）公式法：一元二次方程ax2bxc0 a0 的求根公式是 xbb24acb24ac 0 ；2a（ 4）因式分解法：如果 xax b0则 x 1a, x2 b 。温馨提示：一元二次方程四种解法都很重要，尤其是因式分解法，它使用的频率

9、最高，在具体应用时，要注意选择最恰当的方法解。例题：解方程：1、解下列方程：（ 1） 23 y 223 y（2） 1 x 1 21x 132（ 3） ( x3)22x5 2(4) 3 y26y2 2y2 2知识点五 .一元二次方程根的判别式对于一元二次方程 ax2bx c 0 a 0 的根的判别式是 b24ac ：（ 1）当 b24ac0时，方程有两个不相等的实数根；（ 2）当 b24ac0时，方程有两个相等的实数根；（ 3）当 b24ac0时，方程无实数根。温馨提示 ：若方程有实数根，则有b24ac0 。例题：1、已知方程 x2 3x k 0 有两个不相等的实数根，则k=。2、当 m 满足何

10、条件时，方程 mx22 m 1 x9m 10 有两个不相等实根？有两个相等实根？有实根？3、关于 x 的方程 mx22 m2 xm50 无实根，试解关于x 的方程m5 x22 m2 xm0 。24、已知关于x 的一元二次方程x4 m1 x2m10 ，求证：不论m 为任何实数，总有两个不相等的实数根。知识点六.一元二次方程根与系数的关系若一元二次方程ax2bxc0 a0的两个实数根为x1 , x2 ，则x1x2ba, x1x2ca。温馨提示： 利用根与系数的关系解题时，一元二次方程必须有实数根。例题：1、关于x 的一元二次方程 x2kx4k 23 0 的两个实数根分别是x1 , x2 ，且满足

11、x1x2x1x2 ，则 k的值为：（）（ a ）1或3（ b） 1（ c）3（d ）不存在442,是关于x 的一元二次方程x22m3 xm20的两个不相等的实数根，且满足111，则m的、已知值是（）（ a ） 3 或 -1（b ） 3（ c） 1（d ） -3 或 13、方程 x23x 60 与方程 x26x30的所有根的乘积是4、两个不相等的实数m,n 满足 m26m4, n26n4 ，则 mn 的值为。5、设 x1 , x2 是关于 x 的一元二次方程x2px q0 的两个根， x11,x2 1 是关于 x 的一元二次方程x2qx p0的两个根，则p, q 的值分别等于多少？知识点七 .一

12、元二次方程的实际应用列一元二方程解应用题的一般步骤：（ 1）审题（ 2）设未知数（ 3）列方程（ 4）解方程（ 5）检验（ 6）写出答案。在检验时，应从方程本身和实际问题两个方面进行检验。1、有一个两位数，十位数字比个位数字大3，而此两位数比这两个数字之积的二倍多5，求这个两位数。2、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过连续两次降价后，由每盒 200 元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？一元二次方程综合复习1、下列方程中，关于x 的一元二次方程是（）22 x1122bxc 022x21a. 3 x 11 b.2x0 c. axd. xxx22是关

13、于 x 的一元二次方程， 则 m 足的条件是 （）（ a）m 1（ b）m 0（c）2、方程（ m1）x mx 50| m| 1（ d） m 13、若 x1 是一元二次方程 ax2bx20 的一个根， ab。4、 数 bb24ac 是方程的根（）2a（ a ） ax2bx c0（ b） ax2bx c 0（ c） ax2bx c0（ d） ax2bx c 05、方程 x2250 的解是：（）a. x 1x25 b. x 1x225c. x 15, x25d. x 1 25, x2256、关于 x 的一元二次方程 kx22x 10 两个不相等的 数根， k 的取 范 是（）（ a ） k1（ b

14、） k1（c） k0（ d） k1且k 07、在下列方程中，有 数根的是（）a ） x23x 10 b） 4x 11c） x22x 3 0d）x1x 1x 18、关于 x 的一元二次方程2x22x3m 10 有两个 数根x1, x2，且 x1 x2x1 x2 4 ， m 的取 范 是（）（ a ） m5（ b） m1（c） m551323（ d）m329.若（ x+y ）（ 1x y）+6=0 ， x+y 的 是（）a 2b 3c 2 或 3d 2 或 310、若（ m+1） xm (m2) 1+2mx 1=0 是关于 x 的一元二次方程， m 的 是 _11、填上适当的数，使等式成立：x 2

15、5x (x ) 2 12、当 x = ，代数式 x23x 比代数式2x2x1的 大 2 13、某商品原价每件25元，在圣 期 两次降价， 在商品每件16 元， 玩具平均每次降价的百分率是。17、设 x1, x2 是关于 x 的方程 x2m 1 x m 0 m 0 的两个根，且满足112，求 m 的值。x1x2319、已知关于x 的一元二次方程x2kx10 。(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)设的方程有两根分别为x1 , x2 ，且满足 x1x2x1 x2 求 k 的值。21.已知： abc 的两边 ab 、 ac 的长是关于 x 的一元二次方程 x22k 3 x k 23k2 0 的

16、两个实数根，第三边 bc 的长为 5，问： k 取何值时， abc 是以 bc 为斜边的直角三角形？22、一块长方形铁皮的长是宽的倍，四角各截去一个正方形，制成高是cm，容积是cm3 的无盖长方体容器。求这块铁皮的长和宽。23、如图，有一面积为150 m2 的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18 m），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35 m，求鸡场的长与宽各为多少米？24、西瓜经营户以2 元 / 千克的价格购进一批小型西瓜，以3 元/ 千克的价格出售，每天可售出200 千克，为了促销，该经营户决定降价，经调查发现，这种小西瓜每降价0.1 元 / 千克，每天可多售出40 千克，另外，每天的

17、房租等固定成本共24 元，该经营户要想每天盈利200 元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？25、在矩形 abcd 中， ab=6cm ， bc=3cm 。点 p 沿边 ab 从点 a 开始向点 b 以 2cm/s 的速度移动，点q 沿边 da 从点 d 开始向点 a 以 1cm/s 的速度移动。如果p、q 同时出发，用 t（ s）表示移动的时间（0t 3）。那么，当 t 为何值时， qap 的面积等于 2cm2?adpqbc1（）已知 a, b, c 均不为 0，且 a 2b3b c2ca ，求 c2b 的值；7572b3a（）已知：x0 ，且x6xy7 y0 ，求 x 的值y2已知关于x 的一元二次方程x24x k1 0（ 1）若 x =1 是方程的一个根，求k 值和方程的另一根；2（ 2）设 x1，x2 是关于 x 的