指数与指数函数

1、,2.5,指数与指数函数,基础知识,自主学习,要点梳理,1,根式,(1),根式的概念,如果一个数的,n,次方等于,a,(,n,1,且,n,N,*,),，,那么这,个数叫作,a,的,n,次方根也就是，若,x,n,a,，则,x,叫作,其中,n,1,且,n,N,+,.,式子,n,a,叫作,，这里,n,叫作,，,a,叫作,.,a,的,n,次方根,根式,被开方数,根指数,(2),根式的性质,当,n,为奇数时，正数的,n,次方根是一个正数，负数的,n,次方,根是一个负数，这时，,a,的,n,次方根用符号,表示,当,n,为偶数时，正数的,n,次方根有两个，它们互为相反数，,这时，正数,a,的正的,n,次方根

2、用符号,表示，负的,n,次方根,用符号,表示,正负两个,n,次方根可以合写为,(,a,0),(,n,a,),n,.,当,n,为奇数时，,n,a,n,；,当,n,为偶数时，,n,a,n,|,a,|,.,负数没有偶次方根,a,a,.,),0,(,),0,(,?,?,?,?,?,?,a,a,a,a,n,a,n,a,-,n,a,n,a,2,有理数指数幂,(1),幂的有关概念,正整数指数幂：,(,n,N,*,),零指数幂：,a,0,(,a,0),负整数指数幂：,a,p,(,a,0,，,p,N,*,),正分数指数幂：,(,a,0,，,m,、,n,N,*,，且,m,n,为既约分数,),负分数指数幂：,(,a

3、,0,，,m,、,n,N,*,，且,m,n,为既,约分数,),0,的正分数指数幂等于,0,的负分数指数幂,.,a,n,=,a,a,a,n,个,1,1,a,p,n,a,m,1,n,a,m,没有意义,0,n,m,a,n,m,a,?,n,m,a,1,(2),有理数指数幂的性质,a,a,(,a,0,，,、,Q),；,(,a,),(,a,0,，,、,Q),；,(,ab,),(,a,0,，,b,0,，,Q),a,a,a,b,3,指数函数的图象与性质,y,a,x,a,1,0,a,1,图象,定义域,值域,(3),过定点,性质,(4),当,x,0,时，,；,x,0,时，,(5),当,x,0,时，,；,x,0,时

4、，,(6),在,R,上是,(7),在,R,上是,R,(0,，,),(0,1),y,1,0,y,1,0,y,1,y,1,增函数,减函数,(1),(2),难点正本,疑点清源,1,根式与分数指数幂的实质是相同的，通常利用分数,指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算，从而,可以简化计算过程,2,指数函数的单调性是由底数,a,的大小决定的，因此解,题时通常对底数,a,按：,0,a,1,和,a,1,进行分类讨论,基础自测,1,用分数指数幂表示下列各式,(1),3,x,2,_,；,(2),4,(,a,b,),3,_(,a,b,0),；,(3),m,3,m,_.,2,3,x,2,5,m,4,3,),(,b,a

5、,?,2,(2009,江苏,),已知,a,5,1,2,，函数,f,(,x,),a,x,，若实数,m,、,n,满足,f,(,m,),f,(,n,),，,则,m,、,n,的大小关系为,_,解析,0,a,5,1,2,1,，,函数,f,(,x,),a,x,在,R,上是减函,数又,f,(,m,),f,(,n,),，,m,n,.,m,n,3,已知函数,f,(,x,),a,x,b,(,a,0,且,a,1),的图象如图所示，,则,a,b,的值是,_,解析,?,?,?,?,?,a,2,b,a,0,b,3,，,?,?,?,?,?,a,b,4,，,a,b,2.,点评,结合图形，构建方程组，用方程的思想求解,2,4,

6、如图是指数函数,(1),y,a,x,，,(2),y,b,x,，,(3),y,c,x,，,(4),y,d,x,的图象，则,a,，,b,，,c,，,d,与,1,的大小关系是,(,),A,a,b,1,c,d,B,b,a,1,d,c,C,1,a,b,c,d,D,a,b,1,d,c,解析,方法一,当指数函数底数大于,1,时，,图象上升，,且当,底数越大时，,在第一象限内，,图象越靠近,y,轴；,当底数大于,0,且小于,1,时，图象下降，且在第一象限内，底数越小，图,象越靠近,x,轴故可知,b,a,1,d,c,，选,B.,方法二,令,x,1,，由图象知,c,1,d,1,a,1,b,1,，,b,a,1,d,

7、c,，故选,B.,B,5,已知,f,(,x,),2,x,2,x,，若,f,(,a,),3,，则,f,(2,a,),等于,(,),A,5,B,7,C,9,D,11,解析,f,(,x,),2,x,2,x,，,f,(,a,),3,，,2,a,2,a,3,，,f,(2,a,),2,2,a,2,2,a,(2,a,2,a,),2,2,9,2,7.,点评,本题体现了方程的思想，整体代换的思想，又体,现了幂的有关运算法则的运用,B,题型分类,深度剖析,题型一,指数式与根式的计算,例,1,(1),1,5,2,(,3,1),0,9,4,5,；,思维启迪,先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运算,性质进行计算,解,(

8、1),原式,5,2,1,?,5,2,?,2,(,5,2),1,(,5,2),1.,(2),原式,2,(,6),(,3),4,ab,0,4,a,.,5,2,1,1,1,1,3,2,6,2,3,6,a,b,?,?,?,?,),3,(,),6,)(,2,)(,2,(,6,5,6,1,3,1,2,1,2,1,3,2,b,a,b,a,b,a,?,?,?,探究提高,根式运算或根式与指数式混合运算时，将根,式化为指数式计算较为方便，对于计算的结果，不强求,统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求,写出结果但结果不能同时含有根号和分数指数，也不,能既有分母又含有负指数,变式训练,1,计算下列各式：,解

9、,(1),原式,(2),令,则原式,m,4,8,mn,3,m,2,2,mn,4,n,2,?,?,?,?,?,?,1,2,n,m,m,m,?,m,3,8,n,3,?,m,2,2,mn,4,n,2,m,2,m,2,n,m,3,?,m,2,n,?,m,2,2,mn,4,n,2,?,?,m,2,2,mn,4,n,2,?,m,2,n,?,m,3,a,.,1,2,0,0.25,6,3,4,3,3,4,1,3,3,3,3,2,2,3,3,3,7,2,(1)1.5,(,),8,2,(,2,3),(,),;,6,3,8,(2),(1,2,),.,2,4,a,a,b,b,a,a,a,ab,b,?,?,?,?,?,

10、?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,1,1,1,1,1,3,3,3,4,4,2,3,6,2,2,(,),1,(2,),2,(2,3,),(,),2,4,27,110.,3,3,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,3,1,3,1,n,b,m,a,?,?,题型二,指数函数的图象及应用,例,2,(1),函数,y,a,2 010,x,2 010(,a,0,且,a,1),恒过点,_,(2),方程,2,x,2,x,的解的个数为,_,解析,(1),a,0,1,，,该函数的图象过点,(2 010,2 011),(2),方程的解可看作函数,y,2,x,和,y,2,x,的图象交点的横坐标，分别作出这两

11、个函,数图象,(,如图,),由图象得只有一个交点，因此该方程只有,一个解,(2 010,2 011),1,探究提高,(1),指数函数图象经过定点的实质是利用了,a,0,1 (,a,0),，故应令幂指数等于,0,求定点的坐标,(2),将方程解的问题转化为两函数图象的交点问题，,体现,了数形结合思想的应用,变式训练,2,如图，过原点,O,的直线与函数,y,2,x,的图象交于,A,，,B,两点，过,B,作,y,轴的垂线交函数,y,4,x,的图象于点,C,.,若,AC,平行于,y,轴，求点,A,的坐标,解,设,C,(,a,4,a,),，,A,(,x,1,，,y,1,),，,B,(,x,2,，,y,2,

12、),，,AC,y,轴，,x,1,a,，,y,1,2,a,，,即,A,(,a,2,a,),，又,BC,x,轴,y,2,4,a,，,y,2,4,a,.,x,2,2,a,，即,B,(2,a,4,a,),又,点,O,、,A,、,B,共线，,2,a,a,4,a,2,a,，,2,a,2,，即,a,1.,A,的坐标为,(1,2),1,2,x,2,2,x,题型三,指数函数的性质,例,3,设,a,0,且,a,1,，函数,y,a,2,x,2,a,x,1,在,1,1,上,的最大值是,14,，求,a,的值,思维启迪,换元令,t,a,x,，,利用二次函数和指数函数的单,调性来研究函数的单调性，构建方程获解,解,令,t,

13、a,x,(,a,0,且,a,1),，,则原函数化为,y,(,t,1),2,2 (,t,0),当,0,a,1,时，,x,1,1,，,t,a,x,?,?,?,?,?,?,a,，,1,a,，,此时,f,(,t,),在,?,?,?,?,?,?,a,，,1,a,上为增函数,所以,f,(,t,),max,f,?,?,?,?,?,?,1,a,?,?,?,?,?,?,1,a,1,2,2,14.,所以,?,?,?,?,?,?,1,a,1,2,16,，所以,a,1,5,或,a,1,3,.,又因为,a,0,，所以,a,1,3,.,当,a,1,时，,x,1,1,，,t,a,x,?,?,?,?,?,?,1,a,，,a,

14、，,此时,f,(,t,),在,?,?,?,?,?,?,1,a,，,a,上是增函数,所以,f,(,t,),max,f,(,a,),(,a,1),2,2,14,，,解得,a,3(,a,5,舍去,),综上得,a,1,3,或,3.,探究提高,指数函数问题一般要与其它函数复合,本题,利用换元法将原函数化为一元二次函数,结合二次函数,的单调性和指数函数的单调性判断出原函数的单调性，,从而获解,由于指数函数的单调性取决于底数的大小，,所以要注意,对底数的分类讨论，避免漏解,变式训练,3,要使函数,y,1,2,x,4,x,a,在,x,(,，,1,上,y,0,恒成立，求,a,的取值范围,解,在,x,(,，,1,

15、上，,1,2,x,4,x,a,0,恒成立等价于,a,1,2,x,4,x,恒成立,又,1,2,x,4,x,?,?,?,?,?,?,1,2,2,x,?,?,?,?,?,?,1,2,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,2,x,1,2,2,1,4,.,x,(,，,1,，,?,?,?,?,?,?,1,2,x,?,?,?,?,?,?,1,2,，,，,当,?,?,?,?,?,?,1,2,x,取,1,2,时，,1,2,x,4,x,的最大值为,3,4,.,a,3,4,.,思想与方法,1,方程思想及转化思想在求参数中的应用,试题：,(14,分,),已知定义域为,R,的函数,f,(,x,

16、),2,x,b,2,x,1,a,是,奇函数,(1),求,a,，,b,的值；,(2),若对任意的,t,R,，不等式,f,(,t,2,2,t,),f,(2,t,2,k,)0,恒成立，求,k,的取值范围,审题视角,(1),f,(,x,),是定义在,R,上的奇函数，要求参数值，可,考虑利用奇函数的性质，构建方程：,f,(0),0,，,f,(1),f,(,1),(2),可考虑将,t,2,2,t,2,t,2,k,直接代入解析式化简，,转化成关于,t,的一元二次不等式,也可考虑先判断,f,(,x,),的单调性，,由单调性,直接转化为关于,t,的一元二次不等式,规范解答,解,(1),因为,f,(,x,),是,

17、R,上的奇函数，,所以,f,(0),0,，即,1,b,2,a,0,，解得,b,1,，,从而有,f,(,x,),2,x,1,2,x,1,a,.,4,分,又由,f,(1),f,(,1),知,2,1,4,a,1,2,1,1,a,，,解得,a,2.,7,分,(2),方法一,由,(1),知,f,(,x,),2,x,1,2,x,1,2,，,又由题设条件得,即,9,分,整理得,，因底数,21,，故,3,t,2,2,t,k,0.12,分,上式对一切,t,R,均成立，从而判别式,4,12,k,0,，,解得,k,1,3,.,14,分,0,2,2,2,2,2,1,2,1,2,1,2,1,2,2,2,2,2,2,?,

18、?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,k,t,k,t,t,t,t,t,.,0,),1,2,)(,2,2,(,),1,2,)(,2,2,(,2,2,2,2,2,1,2,2,1,2,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,k,t,t,t,t,t,k,t,1,2,2,3,2,?,?,?,k,t,t,方法二,由,(1),知,f,(,x,),2,x,1,2,x,1,2,1,2,1,2,x,1,，,由上式易知,f,(,x,),在,R,上为减函数，,又因为,f,(,x,),是奇函数，,从而不等式,f,(,t,2,2,t,),f,(2,t,2,k,)0,等价于,f,(,t,2,2

19、,t,),f,(2,t,2,k,),f,(,2,t,2,k,),因为,f,(,x,),是,R,上的减函数，,由上式推得,t,2,2,t,2,t,2,k,.,12,分,即对一切,t,R,有,3,t,2,2,t,k,0,，,而,4,12,k,0,，解得,k,1,3,.,14,分,批阅笔记,(1),根据,f,(,x,),的奇偶性，,构建方程求参数体现,了方程的思想；在构建方程时，利用了特殊值的方法，,在这里要注意的是：有时利用两个特殊值确定的参数，,并不能保证对所有的,x,都成立所以还要注意检验,(2),数学解题的核心是转化，本题的关键是将,f,(,t,2,2,t,),f,(2,t,2,k,)0,等价转化为：,t,2,2,t,2,t,2