无理根式的不定积分ppt课件

1、8.3 有理函数和可化为有理函数的不定积分,一、有理函数的不定积分 二、三角函数有理式的不定积分 三、某些无理根式的不定积分,1,有理函数的定义：,两个多项式的商表示的函数称之为有理函数.其一般形式为,一、有理函数的积分,（1）,2,假定分子与分母之间没有公因式,这有理函数是真分式；,这有理函数是假分式；,利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.,例,有理真分式必定可以表示成若干个部分分式之和(称为部分分式分解),3,有理函数化为部分分式之和的一般步骤：,第一步 对分母在实系数内作标准分解：,第二步 根据分母的各个因式分别写出与之相应的部分分式：,4,（1）分母中若有因式

2、，则分解后为,特殊地：,分解后为,5,特殊地：,分解后为,6,真分式化为部分分式之和的待定系数法,例1,7,代入特殊值来确定系数,取,取,取,并将 值代入,例2,8,例3,整理得,9,例4 求积分,解,10,例5 求积分,解,11,例6 求积分,解,令,12,13,说明,将有理函数化为部分分式之和后，只出现两类情况：,对于,14,则,记,令,15,16,令,17,有理函数的原函数都是初等函数.,结论,所以,注用求有理真分式的最简分式分解式的方法求其积分往往很麻烦。所以，当我们求有理函数的积分时，应尽可能地考虑是否有其它更简便的解法。,18,例7,解,19,由三角函数和常数经过有限次四则运算构成

3、的函数称之为三角有理式,三角有理式的定义,二、三角函数有理式的不定积分,一般记为,三角有理函数的积分，一般有如下规律,（一）,20,（二）万能代换,（万能置换公式）,21,例8,解法一：,22,解法二： ( 用初等化简 ),解法三： ( 用初等化简, 并凑微 ),23,例9 求积分,解,由万能置换公式,24,25,例10 求积分,解（一）,26,解（二）,修改万能置换公式,令,27,解（三）,可以不用万能置换公式.,结论,比较以上三种解法, 便知万能置换不一定是最佳方法, 故三角有理式的计算中先考虑其它手段, 不得已才用万能置换.,28,例11 求积分,解,29,30,1、讨论类型,解决方法,

4、作代换去掉根号.,例12 求积分,解 令,三、简单无理函数的积分,31,32,例13 求积分,解 令,说明,无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.,33,例14 求积分,解,先对分母进行有理化,原式,34,由于,若记,则此二次三项式必属于以下三种情形之一：,因此上述无理根式的不定积分也就转化为:,35,36,例15 求,解解法一按上述一般步骤，求得,37,由于,因此,38,解法二 若令,则可解出,于是所求不定积分化为有理函数的不定积分,39,注1 可以证明,所以两种解法所得结果是一致的此外，上述结果对同样成立,40,这类变换称为欧拉变换.,41,简单无理式的积分.,有理式分解成部分分式之和的积分.,（注意：必须化成真分式）,三角有理式的积分.（万能置换公式）,（注意：万能公式并不万能）,四、小结,五、作业,P198: 1 (1)(6),